七年级数学下册-第07讲 单项式乘单项式（6种题型+强化训练）（解析版）

第07讲单项式乘单项式1．理解单项式相乘的法则，会进行单项式的乘法运算；2．能运用单项式乘以单项式的法则解决实际生活中的问题；3．培养学生观察、分析的能力，自主探索的能力，以及对已有知识归纳、总结、迁移的能力1.单项式乘单项式法则:单项式与单项式相乘,把它们的系数、相同字母的幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式【要点归纳】（1）单项式乘单项式法则的实质是乘法的交换律、结合律和同底数幂的乘法法则的综合运用.(2)单项式乘单项式的步骤:①确定积的系数，注意符号问题:②同底数幂相乘;③单独出现的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.(3)有乘方运算的先算乘方,再进行乘法运算.(4)运算的结果仍为单项式.2.拓展:单项式乘单项式法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.3.易错警示:(1)只在一个单项式里含有的字母,在计算中容易遗漏;(2)计算中容易出现符号错误.题型一：利用单项式乘单项式法则计算1．（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）计算：．【答案】【分析】本题主要考查了整式的运算，解题的关键是熟练掌握积的乘方和单项式乘单项式运算法则，准确计算．【详解】解：．2．（2024上·湖南长沙·八年级统考期末）计算：．【答案】【分析】本题考查积的乘方和单项式的乘法，掌握先运算乘方，然后运算乘法是解题的关键．【详解】解：．题型二：利用单项式乘法法则进行单项式乘法与加减的混合运算3．（2024上·福建泉州·八年级校考期末）计算：．【答案】【分析】本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方．根据积的乘方以及单项式乘以单项式进行计算即可求解．【详解】解：．4．（2024上·北京朝阳·八年级北京市陈经纶中学分校校考期中）计算：【答案】【分析】本题考查了单项式乘单项式，先算积的乘方，再按照单项式乘单项式的计算方法计算．【详解】解：5．（2022上·广东东莞·八年级东莞市东莞中学初中部校考期中）先化简，再求值：，其中【答案】，12【分析】先对整式进行化简，然后再代值求解即可．【详解】解：原式==，把代入得：原式=．【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握积的乘方、同底数幂的乘法及单项式乘单项式是解题的关键．题型三：利用单项式乘单项式的法则解决实际问题6．（2023上·八年级课时练习）将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地进行建设革命历史博物馆．求每块大理石的体积．（结果用科学记数法表示）

【答案】【分析】根据长方体的体积长宽高，先求出它的体积，再用科学记数法表示．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，是正数；当原数的绝对值小于1时，是负数．【详解】解：根据题意，得．答：每块大理石的体积为．【点睛】本题主要考查了长方体的体积公式，科学记数法的表示方法，及同底数的幂的乘法．解题的关键是明确同底数幂的乘法的运算法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．7．（2023下·江苏·七年级专题练习）有一个长方体模型，它的长为，宽为，高为，它的体积是多少？【答案】【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则求出即可．【详解】解：长方体的体积为：．答：这个长方体模型的体积是．【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式以及科学记数法的表示方法，正运用同底数幂的乘法法则是解题关键．题型四：单项式乘单项式法则的应用8．若，则m+n的值为.【答案】2【分析】根据单项式的乘法的法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加的性质计算，然后再根据相同字母的次数相同列出方程组，整理即可得到m+n的值．【详解】解：（am+1bn+2）•（a2n-1b2m），=am+1+2n-1•bn+2+2m，=am+2n•bn+2m+2，=a5b3，∴，两式相加，得3m+3n=6，解得m+n=2,故答案为2.【点睛】本题考查了单项式的乘法法则和同底数幂的乘法的运算，根据数据的特点两式相加求解即可，不需要分别求出m、n的值．9．（2023下·江苏·七年级专题练习）若，求的值．【答案】【分析】首先利用单项式乘法可得，进而得到，再把两个方程相加可得答案．【详解】解：，则，∴，即，，∴．【点睛】本题主要考查了单项式乘以单项式，关键是掌握单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．10．（2023下·江苏·七年级专题练习）若，则求的值．【答案】．【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【详解】解：∵，∴，，∴．【点睛】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．题型五：利用单项式乘单项式解决新定义运算11．（2023下·浙江·七年级专题练习）如果表示，表示，则=【答案】【分析】根据题目所给的信息得表示，表示，再进行单项式乘以单向式的运算即可．此题考查了新定义下的单项式乘以单项式的运算，解题的关键是读懂题意，根据题目所给的信息写出相应的式子．【详解】解：根据题意，得表示，表示，则．故答案为：．12．（2023下·江苏·七年级专题练习）三角表示，方框表示，求×．【答案】【分析】根据题意理解三角和方框表示的意义，然后即可求出要求的结果．【详解】解：×．【点睛】本题考查单项式乘单项式的知识，关键是根据题意理解三角和方框所表示的意义．题型六：利用单项式乘单项式解决有关面积问题13．（2024上·广东广州·八年级统考期末）边长分别为a和的两个正方形如下图的样式摆放，则图中阴影部分的面积为．【答案】【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是能根据图列出代数式及整式的混合运算顺序和运算法则﹒由图可知阴影部分的面积为两正方形面积之和减两空白直角三角形面积据此计算即可．【详解】解：两正方形面积分别为：，两空白直角三角形面积分别为：，阴影部分的面积为：，故答案为：．14．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期中）将两个正方形如图摆放，已知大正方形的边长为a，小正方形的边长为，则图中阴影部分的面积为（用含有a的代数式表示）【答案】【分析】本题考查了列代数式，整式的混合运算；用大、小正方形的面积和减去空白部分大三角形的面积，列式计算即可．【详解】解：阴影部分的面积为：，故答案为：．15．（2023上·山西朔州·八年级统考期末）如图，池塘边有一块长为2a，宽为a的长方形土地，现将其余三面都留出宽是3的小路，中间余下的长方形部分做菜地，则菜地的面积为．（用含a的式子表示）【答案】【分析】可以利用割补法求出菜地的面积，也可以先求出菜地的长和宽再求出菜地的面积．【详解】解：长方形的总面积为：，小路面积为：，故菜地面积为：，故答案为：．【点睛】本题考查整式的加减，多项式乘单项式，能够根据题意列出算式是解决本题的关键．16．（2023上·浙江·八年级专题练习）如图，在一块长为100m，宽为50m的长方形草地内部，修建两条宽均为x（m）且互相垂直的内部道路，那么阴影部分草地的面积与x的关系式为（）．

【答案】【分析】结合已知条件，根据阴影部分面积=大矩形的面积两条道路的面积+两条道路重叠部分的面积即可求得答案．【详解】解：∵大长方形草地的长为100m，宽为50m，两条道路的宽均为xm，则大长方形草地的面积为，两条道路的面积分别为，，两条道路重叠部分的面积为，那么阴影部分的面积为，即，故答案为：．【点睛】本题考查单项式乘法的几何应用，结合图形及已知条件，利用面积的和差表示出阴影部分的面积是解题的关键．17．（2022上·北京·七年级人大附中校考期末）已知一个长为，宽为的长方形，如图1所示，沿图中虚线裁剪成四个相同的小长方形，按图2的方式拼接，则阴影部分正方形的面积是．（用含a的代数式表示）

【答案】【分析】根据题意和题目中的图形，可以得到图2中小长方形的长和宽，从而可以得到拼成的阴影部分正方形的边长，即可得阴影部分小正方形的面积．【详解】解：由图可得，图2中每个小长方形的长为，宽为，则阴影部分小正方形的边长是：，阴影部分小正方形的面积是：，故答案为：．【点睛】本题考查了列代数式，整式的加减，整式的法则与正方形的面积公式和长方形的面积公式经常联系在一起．要学会观察．18．（2023上·河南南阳·八年级校考阶段练习）计算变压器铁芯片阴影部分的面积（图中长度单位：cm）．

【答案】【分析】先计算出铁芯片的长和宽，再根据长方形面积公式计算阴影部分的面积．【详解】解：∵，，∴变压器铁芯片阴影部分的面积．【点睛】此题考查了整式的混合运算，正确掌握计算法则及理解题意是解题的关键．一．选择题（共5小题）1．（2023春•东海县月考）计算的结果是A． B． C． D．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则计算即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．2．（2022春•阜宁县校级月考）下列算式：①；②；③；④．其中，正确的个数是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】直接根据单项式乘法的运算法则计算判断即可．【解答】解：①，不合题意；②，正确，符合题意；③，不合题意；④，不合题意；故选：．【点评】此题考查的是整式的乘法运算，掌握其运算法则是解决此题的关键．3．（2023春•南京期中）计算的结果是A． B． C． D．【分析】本题属于单项式与单项式相乘，把系数和相同字母分别相乘得结果．【解答】解：原式．故选：．【点评】本题考查了整式的乘法，掌握单项式乘单项式法则是解决本题的关键．4．（2022春•涟水县校级期中）已知单项式与的积为，那么A． B．5 C．1 D．【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则解决此题．【解答】解：，．，．．故选：．【点评】本题主要考查单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式的乘法法则是解决本题的关键．5．（2022春•姑苏区校级期中）已知与的积与是同类项，求A．2 B．3 C．4 D．5【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则得出：，再利用同类项的定义得出，的值，即可得出答案．【解答】解：，与的积与是同类项，，，解得：，，．故选：．【点评】此题主要考查了单项式乘单项式，正确得出，的值是解题关键．二．填空题（共7小题）6．（2022春•淮安期末）计算：的结果是．【分析】直接根据单项式乘单项式的乘法运算法则计算即可．【解答】解：原式．故答案为：．【点评】此题考查的是单项式乘单项式，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．7．（2022春•鼓楼区校级月考）计算：．【分析】直接利用幂的乘方运算法则化简，再利用单项式乘单项式计算得出答案．【解答】解：．故答案为：．【点评】此题主要考查了幂的乘方运算、单项式乘单项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．8．（2022春•海州区期中）已知单项式与的积为，那么．【分析】将两单项式相乘后利用待定系数即可取出与的值．【解答】解：，，，．．故答案为：．【点评】本题考查单项式乘以单项式，解题的关键是熟练运用整式的乘法法则，本题属于基础题型．9．（2022春•宝应县期中）填空：．【分析】根据乘法的意义先进行，即可得到答案．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查的是单项式乘单项式，单项式除以单项式，掌握“单项式除以单项式的法则进行运算”是解本题的关键．10．（2022春•宜兴市校级月考）某长方体的长为，宽为，高为，则长方体的体积是．【分析】根据单项式乘单项式的运算法则、科学记数法计算即可．【解答】解：长方体的体积，则长方体的体积是，故答案为：．【点评】本题考查的是科学记数法、单项式乘单项式，掌握单项式乘单项式的运算法则是解题的关键．11．（2023春•宝应县月考）一种计算机每秒可做次运算，它工作了，共可做次运算．（用科学记数法表示）【分析】根据单项式乘单项式的乘法法则进行计算即可．【解答】解：．故答案为：．【点评】本题考查了单项式乘单项式，解答本题的关键是掌握同底数幂的乘法法则．12．（2022春•玄武区校级期中）下列是某同学在一次测试中的计算：①；②；③④．其中运算正确的为④．（填序号）【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则计算，判断即可．【解答】解：①与不是同类项，不能合并，计算错误；②，计算错误；③，计算错误；④，计算正确；其中运算正确的为④．故答案为：④．【点评】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键．三．解答题（共6小题）13．（2022春•阜宁县期末）计算：．【分析】先根据积的乘方与幂的乘方法则化简，然后运用单项式乘单项式的法则运算即可．【解答】解：原式．【点评】本题考查了整式乘法运算，熟记法则是解题的关键，单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．14．（2022春•射阳县校级月考）已知，求的值．【分析】根据积的乘方，可得同底数的幂，根据同底数的幂相等，可得答案．【解答】解：，，，，，．【点评】此题考