2024八年级数学下册专题突破期末复习5八年级下册期末复习之新定义型问题含解析新版浙教版

Page29期末复习之新定义型问题1．（鄞州区期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线l1∥l2，点A，D在直线l1上，点B，C在直线l2上，若∠BAD＝2∠BCD，则四边形ABCD是半对角四边形．（1）如图1，已知AD∥BC，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，若直线AD，BC之间的距离为，则AB的长是，CD的长是；（2）如图2，点E是矩形ABCD的边AD上一点，AB＝1，AE＝2．若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长；（3）如图3，以▱ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．点E是边AD上一点，满足BC＝AE+CE．①求证：四边形ABCE是半对角四边形；②当AB＝AE＝2，∠B＝60°时，将四边形ABCE向右平移a（a＞0）个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数y＝的图象上，求k的值．【分析】（1）过点A作AM⊥AD于点M，过点D作DN⊥BC于点N，通过解含30度角的直角三角形可求出AB，CD的长；（2）依据半对角四边形的定义可得出∠BCE＝45°，进而可得出∠DEC＝∠DCE＝45°，由等角对等边可得出CD＝DE＝1，结合AD＝AE+DE即可求出AD的长；（3）①由平行四边形的性质可得出BC∥AD，BC＝AD＝AE+ED＝AE+CE，进而可得出CE＝ED，依据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出∠AEC＝2∠EDC＝2∠B，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形ABCE是半对角四边形；②由平行四边形的性质结合AB＝AE＝2，∠B＝60°可得出点A，B，E的坐标，分点A，E落在反比例函数图象上及点B，E落在反比例函数图象上两种状况考虑：（i）利用平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出k值；（ii）同（i）可求出k值．综上，此题得解．【解答】解：（1）如图1，过点A作AM⊥AD于点M，过点D作DN⊥BC于点N．∵AD∥BC，∴∠ABM＝∠BAD＝60°．AM＝DN＝．在Rt△ABM中，AM＝，∠ABM＝60°，∠AMB＝90°，∴∠BAM＝30°，∴AB＝2BM，又∵AB2＝AM2+BM2，即AB2＝3+AB2，∴AB＝2；在Rt△DCN中，DN＝，∠DCN＝30°，∠DNC＝90°，∴CD＝2DN＝2．故答案为：2；2．（2）∵四边形ABCE为半对角四边形，∴∠BCE＝45°，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴CD＝DE＝1，∴AD＝AE+DE＝3．（3）①证明∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD＝AE+ED＝AE+CE，∴CE＝ED，∴∠AEC＝2∠EDC＝2∠B．又∵AE∥BC，∴四边形ABCE是半对角四边形；②由题意，可知：点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（﹣2，2），点E的坐标为（1，）．（i）当点A，E向右平移a（a＞0）个单位后落在反比例函数的图象上时，a•2＝（1+a）•，解得：a＝1，∴k＝2a＝2；（ii）当点B，E向右平移a（a＞0）个单位后落在反比例函数的图象上时，（﹣2+a）•2＝（1+a）•，解得：a＝5，∴k＝（1+a）＝6．综上所述：k的值为为2或6．2．（金华期末）定义：有一组邻边相等，且它们的夹角为60°的四边形叫做半等边四边形．（1）已知在半等边四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°．①如图1，若∠B＝∠D，求证：BC＝CD．②如图2，连结AC，探究线段AC、BC、CD之间的数量关系，并说明理由．如图3，已知∠MAC＝30°，AC＝10+10，点D是射线AM上的一个动点，记∠DCA＝α，点B在直线AC的下方，若四边形ABCD是半等边四边形，且CB＝CD．问：当点D在15°≤a≤45°的变更过程中运动时，点B也随之运动，请干脆写出点B所经过的路径长．【分析】（1）①如图1，连接BD，由等腰三角形的判定和性质可解决问题；②如图2，连接BD，在AC上截取CE＝CB，连接BE，通过证明点A，点B，点C，点D四点共圆，可得∠ACB＝∠ADB＝60°，由“SAS”可证△ABE≌△DBC，可得AE＝CD，即可得结论；（2）过点C作CE⊥AM于点E，过点B作BF⊥AC于点F，利用AAS证明△BCF≌△DCE（AAS），可得BF＝DE，则点B所经过的路径长与点D所经过的路径长相等，分别求出a＝15°时和a＝45°时AD的长，即可求解．【解答】证明：（1）①如图1，连接BD，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠CBD＝∠CDB，∴BC＝CD；②AC＝BC+CD，理由如下：如图2，连接BD，在AC上截取CE＝CB，连接BE，∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AB＝AD＝BD，∠BAD＝∠ABD＝ADB＝60°，∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，且BC＝CE，∴△BEC是等边三角形，∴BC＝BE＝CE，∠BEC＝60°，∴∠AEB＝120°＝∠BCD，且BE＝BC，AB＝BD，∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE＝CD，∴AC＝AE+EC＝CD+BC；（2）点B所经过的路径长为10，理由如下：∵CB＝CD，四边形ABCD是半等边四边形，∴∠BCD＝60°，过点C作CE⊥AM于点E，过点B作BF⊥AC于点F，如图：∴∠AEC＝∠BFC＝90°，∵∠MAC＝30°，∴∠ACE＝60°＝∠BCD，∴∠ACE﹣∠ACD＝∠BCD﹣∠ACD，即∠DCE＝∠BCF，在△BCF和△DCE中，，∴△BCF≌△DCE（AAS），∴BF＝DE，∴点B所经过的路径长与点D所经过的路径长相等，在Rt△ACE中，CE＝AC＝5+5，AE＝AC•cos∠MAC＝（10+10）×＝5+15，当a＝15°时，∠DCE＝45°，∴DE＝CE＝5+5，AD＝AE﹣DE＝10，当a＝45°时，过点D作DH⊥AC于点H，如图：∴DH＝CH，设DH＝CH＝x，则AH＝AC﹣CH＝10+10﹣x，在Rt△ADH中，∵tan∠MAC＝＝，∴DH＝AH•tan∠MAC，∴x＝（10+10﹣x）解得：x＝10，即DH＝10，∴AD＝2DH＝20，综上可知：当点D在15°≤a≤45°的变更过程中运动时，点D在AM上移动的路径长为20﹣10＝10，∴点B所经过的路径长为10．3．（丽水期中）小明在学习反比例函数后，为探讨新函数，先将函数变形为，画图发觉函数的图象可以由函数的图象向上平移1个单位得到．（1）依据小明的发觉，请你写出函数的图象可以由反比例函数的图象经过怎样的平移得到；（2）在平面直角坐标系中，已知反比例函数（x＞0）的图象如图所示，请在此坐标系中画出函数（x＞0）的图象；（3）若直线y＝﹣x+b与函数（x＞0）的图象没有交点，求b的取值范围．【分析】（1）先把函数化为y＝﹣1的形式，再依据函数图象平移的法则进行解答即可；（2）依据平移的法则画出图象即可；（3）求得直线y＝﹣x+b与函数y＝（x＞0）的图象只有一个交点时的b的值，然后依据平移的规律即可求得．【解答】解：（1）由“上加下减”的原则可知，把反比例函数y＝的图象向下平移1个单位后得到一个新的函数的图象的解析式为y＝﹣1，即y＝；（2）画出函数（x＞0）的图象如图所示：（3）整理得：x2﹣bx+5＝0，若直线y＝﹣x+b与函数y＝（x＞0）的图象只有一个交点，则△＝（﹣b）2﹣4×1×5＝0，∴b＝2，∴若直线y＝﹣x+b与函数（x＞0）的图象没有交点，则b＜2﹣1；4．（金华期中）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．（1）概念理解：如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件，使得四边形ABCD是“等邻边四边形”，请写出你添加的一个条件；（2）概念延长：下列说法正确的是（填入相应的序号）①对角线相互平分的“等邻边四边形”是菱形；②一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”是菱形；③有两个内角为直角的“等邻边四边形”是正方形；④一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角的“等邻边四边形”是正方形；（3）问题探究：如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，并将Rt△ABC沿∠B的平分线BB'方向平移得到△A'B'C′，连接AA′，BC′，小红要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移多少距离（即线段BB'的长）？【分析】（1）依据定义添加一组邻边相等即可；（2）先利用平行四边形的判定定理得平行四边形，再利用“等邻边四边形”定义得邻边相等，得出结论；（3）由平移的性质易得BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝4，B′C′＝BC＝3，A′C′＝AC＝5，再利用“等邻边四边形”定义分类探讨，由勾股定理得出结论．【解答】解：（1）AB＝BC或BC＝CD或AD＝CD或AB＝AD．答案：AB＝AD．（2）①正确，理由为：∵四边形的对角线相互平分，∴这个四边形是平行四边形，∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，∴这个“等邻边四边形”是菱形；②不正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等的“等邻边四边形”也有可能是等腰梯形；③不正确，理由为：有两个内角为直角的“等邻边四边形”不是平行四边形时，该结论不成立；④正确，理由为：一组对边平行，另一组对边相等且有一个内角是直角可得到“该四边形是矩形”；再“等邻边四边形”得到该矩形的一组邻边相等，则可推知该矩形是菱形，故④的说法正确．故答案是：①④；（3）∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，∴AC＝5，∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，∴BB′＝AA′，A′B′∥AB，A′B′＝AB＝4，B′C′＝BC＝3，A′C′＝AC＝5，（I）如图1，当AA′＝AB时，BB′＝AA′＝AB＝4；（II）如图2，当AA′＝A′C′时，BB′＝AA′＝A′C′＝5；（III）当A′C′＝BC′＝5时，如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，∵BB′平分∠ABC，∴∠ABB′＝∠ABC＝45°，∴∠BB′D＝′∠ABB′＝45°∴B′D＝BD，设B′D＝BD＝x，则C′D＝x+3，BB′＝x，∵在Rt△BC′D中，BD2+C′D2＝BC′2∴x2+（x+3）2＝52，解得：x1＝，x2＝（不合题意，舍去），∴BB′＝x＝．（Ⅳ）当BC′＝AB＝4时，如图4，与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+C′D2＝BC′2，设B′D＝BD＝x，则x2+（x+3）2＝42，解得：x1＝，x2＝（不合题意，均舍去），∴BB′＝，综上所述，要使平移后的四边形ABC′A′是“等邻边四边形”应平移4或5或或．5．（南浔区期末）定义：我们把对角线长度相等的四边形叫做等线四边形．（1）尝试：如图1，在3×3的正方形网格图形中，已知点A、点B是两个格点，请你作出一个等线四边形，要求A、B是其中两个顶点，且另外两个顶点也是格点；（2）推理：如图2，已知△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，∠AOD＝∠BOC＝90°，连结AB，CD，求证：四边形ABCD是等线四边形；（3）拓展：如图3，已知四边形ABCD是等线四边形，对角线AC，BD交于点O，若∠AOD＝60°，AB＝，BC＝，AD＝2．求CD的长．【分析】（1）以A、B为顶点作矩形即可（答案不唯一）；（2）连结AC，BD，由△AOD与△BOC均为等腰直角三角形知OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，再证△AOC≌△DOB得BD＝AC，从而得证；（3）分别以AD、BC为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点E．证△AEC≌△DEB得∠BDE＝∠CAE，继而证△AED是等边三角形、△BCE也是等边三角形，据此知EA＝ED＝AD＝2，．由知AE2+BE2＝AB2，即可得∠AEB＝90°，∠DEC＝150°．再过点C作CF⊥DE于点F，则∠CEF＝30°．从而得出，，利用勾股定理求解即可得出答案．【解答】解：（1）如图1所示，矩形APBQ即为所求．（2）证明：如图2，连结AC，BD．∵△AOD与△BOC均为等腰直角三角形，∴OA＝OD，OC＝OB，∠AOD＝∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC≌△DOB（SAS），∴BD＝AC，∴四边形ABCD是等线四边形．（3）解：如图3，分别以AD、BC为底作等腰△ADE、等腰△BCE，顶点均为点E．于是有，EA＝ED，EC＝EB，∵AC＝BD，∴△AEC≌△DEB（SSS），∴∠BDE＝∠CAE，∴∠AED＝∠AOD＝60°，∴△AED是等边三角形．同理，△BCE也是等边三角形．∴EA＝ED＝AD＝2，．∵，∴AE2+BE2＝AB2，∴∠AEB＝90°，∴∠DEC＝150°．过点C作CF⊥DE于交DE延长线于点F，则∠CEF＝30°．∴，EF＝CE＝，则，由勾股定理得，．6．（金华校级期末）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β＝180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．特例感知：（1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则AD长为．猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为随意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并赐予证明．拓展应用（3）如图4，在四边形ABCD，∠C＝90°，∠D＝150°，BC＝12，CD＝2，DA＝6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，赐予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由．【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD＝AB′即可解决问题；②首先证明△BAC≌△B′AC′，依据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD＝BC．如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题；（3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想方法证明PA＝PD，PB＝PC，再证明∠APD+∠BPC＝180°，即可；【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝AB′＝AC′，∵DB′＝DC′，∴AD⊥B′C′，∵∠BAC＝60°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝120°，∴∠B′＝∠C′＝30°，∴AD＝AB′＝BC，故答案为．②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD＝B′C′＝BC＝4，故答案为4．（2）结论：AD＝BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD＝BC．（3）存在．理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．∵∠ADC＝150°，∴∠MDC＝30°，在Rt△DCM中，∵CD＝2，∠DCM＝90°，∠MDC＝30°，∴CM＝2，DM＝4，∠M＝60°，在Rt△BEM中，∵∠BEM＝90°，BM＝14，∠MBE＝30°，∴EM＝BM＝7，∴DE＝EM﹣DM＝3，∵AD＝6，∴AE＝DE，∵BE⊥AD，∴PA＝PD，PB＝PC，在Rt△CDF中，∵CD＝2，CF＝6，∴tan∠CDF＝，∴∠CDF＝60°∴∠ADF＝90°＝∠AEB，∴∠CBE＝∠CFD，∵∠CBE＝∠PCF，∴∠CFD＝∠PCF，∵∠CFD+∠CDF＝90°，∠PCF+∠CPF＝90°，∴∠CPF＝∠CDF＝60°，易证△FCP≌△CFD，∴CD＝PF，∵CD∥PF，∴四边形CDPF是矩形，∴∠CDP＝90°，∴∠ADP＝∠ADC﹣∠CDP＝60°，∴△ADP是等边三角形，∴∠APD＝60°，∵∠BPF＝∠CPF＝60°，∴∠BPC＝120°，∴∠APD+∠BPC＝180°，∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”，在Rt△PDN中，∵∠PDN＝90°，PD＝AD＝6，DN＝，∴PN＝＝＝．（也可利用旋补中线长＝AB，求出AB即可）7．（金华校级期中）定义：有一组邻边相等，并且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．（1）如图1，等腰直角四边形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°，①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求对角线BD的长．②若AC⊥BD，求证：AD＝CD，（2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝9，点P是对角线BD上一点，且BP＝2PD，过点P作直线分别交边AD，BC于点E，F，使四边形ABFE是等腰直角四边形，求AE的长．【分析】（1）①只要证明四边形ABCD是正方形即可解决问题；②只要证明△ABD≌△CBD，即可解决问题；（2）若EF⊥BC，则AE≠EF，BF≠EF，推出四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，分别求解即可；【解答】解：（1）①∵AB＝CD＝1，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形，∴BD＝AC＝＝．②如图1中，连接AC、BD．∵AB＝BC，AC⊥BD，∴∠ABD＝∠CBD，∵BD＝BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD＝CD．（2）若EF⊥BC，则四边形ABFE是矩形，AE＝BF＝BC＝6，∵AB＝5，∴AE≠AB∴四边形ABFE表示等腰直角四边形，不符合条件．若EF与BC不垂直，①当AE＝AB时，如图2中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴AE＝AB＝5．②当BF＝AB时，如图3中，此时四边形ABFE是等腰直角四边形，∴BF＝AB＝5，∵DE∥BF，∴DE：BF＝PD：PB＝1：2，∴DE＝2.5，∴AE＝9﹣2.5＝6.5，综上所述，满足条件的AE的长为5或6.5．8．（金华市金东区期中）有一组邻边相等，且另外两边也相等的四边形我们把它叫做筝形，如图1，四边形ABCD中，AD＝DC，AB＝BC，那么四边形ACBD叫做筝形．（1）如图2，已知筝形ABCD的周长是18，AD＝CD＝3，那么AB＝；（2）在探究筝形的性质时，发觉筝形有一组对角相等，如图1，筝形ABCD中，AD＝DC，AB＝BC，那么∠A＝∠C，请证明这个结论；（3）如图2，筝形ABCD中，AD＝DC＝，∠ADC＝90°，∠DAB＝105°，求筝形ABCD的面积．【分析】（1）依据四边形周长为四边的和，相减得AB的长；（2）连接BD，证明所在的两个三角形全等；（3）筝形ABCD的面积等于两个三角形面积的和，主要求AC的OB的长，并说明OB是AC边上的高即可．【解答】解：（1）如图2，∵四边形ABCD为筝形，∴AB＝BC，∵筝形ABCD的周长是18，AD＝CD＝3，∴AB＝＝6，故答案为：6；（2）如图1，连接DB，∵AD＝DC，AB＝BC，BD＝BD，∴△ADB≌△CDB，∴∠A＝∠C（3）如图2，∵∠ADC＝90°，AD＝CD＝，∴AC＝＝2，∵四边形ABCD为筝形，∴∠DAB＝∠DCB＝105°，∵△ADC是等腰直角三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴∠BAC＝∠BCA＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD是AC的中垂线，∴BD⊥AC，∴AO＝CO＝1，∴tan∠BAC＝，∴BO＝1×tan60°＝，∴S筝形ABCD＝S△ADC+S△ABC＝AD•CD+AC•OB＝××+×2×＝1+．9．（金华校级期末）定义：在平面直角坐标系中，若P，Q为某个四边形相邻的两个顶点，且该四边形的两条对角线分别与x轴，y轴平行或重合，则称该四边形为点P，Q的“奇美四边形”．图1为点P，Q的“奇美四边形”的一个示意图．设点A（1，2），点B（b，0）【初步尝试】：（1）若b＝3，在图2网格中画出点A，B的一个“奇美四边形”，并记作：“奇美四边形”ABCD：【深化探究】：（2）①若（1）中得到的“奇美四边形“ABCD，满足AB＝DC，AB∥DC．求证：“奇美四边形”ABCD是菱形；②若点A，B的“奇美四边形”为矩形，求直线AB的函数解析式；【拓展应用】：（3）已知点C（3，2），在线段AC上存在点N，平面内存在一点M，使点M，N的“奇美四边形”为矩形，且点B到直线MN的距离始终为，请干脆写出b的取值范围【分析】【初步尝试】：（1）依据“奇美四边形”的定义画出图形即可．【深化探究】：（2）①依据对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明．②分两种求出求出点B的坐标即可解决问题．【拓展应用】：（3）求出点N与A重合时，满足条件的点B的坐标，求出点N与C重合时，满足条件的点B坐标，视察图象即可推断．【解答】【初步尝试】：（1）解：如图1中，四边形ABCD即为所求（答案不唯一）．【深化探究】：（2）①证明：如图2中，连接AC．BD．∵AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形．②如图3中，解：∵四边形ABCD是矩形，又∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，∴满足条件的点B的坐标为（3，0）或（﹣1，0），∵A（1，2），∴直线AB的解析式为y＝﹣x+3或y＝x+1．【拓展应用】：（3）：如图4中，当点N与A重合时，满足条件的点B的坐标分别为：B1（﹣3，0），B2（1，0），B3（5，0），当点N与C重合时，满足条件的点B的坐标分别为：B4（﹣1，0），B5（3，0），B6（7，0），视察图象可知满足条件的b的取值范围为﹣3≤b≤﹣1或1≤b≤3或5≤b≤7．10．（金华）背景：点A在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，AC⊥y轴于点C，分别在射线AC，BO上取点D，E，使得四边形ABED为正方形．如图1，点A在第一象限内，当AC＝4时，小李测得CD＝3．探究：通过变更点A的位置，小李发觉点D，A的横坐标之间存在函数关系．请帮助小李解决下列问题．（1）求k的值．（2）设点A，D的横坐标分别为x，z，将z关于x的函数称为“Z函数”．如图2，小李画出了x＞0时“Z函数”的图象．①求这个“Z函数”的表达式．②补画x＜0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质（两条即可）．③过点（3，2）作始终线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可．（2）①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．②利用描点法画出图象，依据函数图象可得结论（答案不唯一）．③由题意可知直线的解析式为z＝kx+2﹣3k，构建方程组，利用Δ＝0，求出k可得结论，另外直线x＝3也符合题意．【解答】解：（1）∵AC＝4，CD＝3，∴AD＝AC﹣CD＝1，∵四边形ABED是正方形，∴AB＝1，∵AC⊥y轴，AB⊥x轴，∴∠ACO＝∠COB＝∠OBA＝90°，∴四边形ABOC是矩形，∴OB＝AC＝4，∴A（4，1），∴k＝4．（2）①由题意，A（x，x﹣z），∴x（x﹣z）＝4，∴z＝x﹣．②图象如图所示．性质1：x＞0时，y随x的增大而增大．性质2：图象是中心对称图形．③设直线的解析式为z＝kx+b，把（3，2）代入得到，2＝3k+b，∴b＝2﹣3k，∴直线的解析式为z＝kx+2﹣3k，由，消去z得到，（k﹣1）x2+（2﹣3k）x+4＝0，当k≠1时，当Δ＝0时，（2﹣3k）2﹣4（k﹣1）×4＝0，解得k＝或2，当k＝时，方程为x2﹣x+4＝0，解得x1＝x2＝6．当k＝2时，方程为x2﹣4x+4＝0，解得x1＝x2＝2．当k＝1时．方程的解为x＝4，符合题意，另外直线x＝3，也符合题意，此时交点的横坐标为3，综上所述，满足条件的交点的横坐标为2或3或4或6．11．（江北区期末）如图1，在矩形ABCD中，点E是边AB的中点，点G是平面上一点，若在射线BC上存在一点F，使得四边形EDFG为菱形，我们称菱形EDFG是矩形ABCD的“矩菱形”．（1）命题“正方形的‘矩菱形’也是正方形”是真命题；（填“真命题”或“假命题”）（2）如图2，矩形ABCD为正方形，四边形EDFG是其“矩菱形”，EG交BC于点H，若HE＝，求CH的长；（3）假设＝k，①若矩形ABCD始终存在“矩菱形”，求k的取值范围．②如图3，若AB＝2，点M为菱形EDFG的中心点，连结EM、CM、CG、BG，请用含有k的代数式表示五边形EMCGB的面积S．【分析】（1）依据“矩菱形”定义，可得DE＝DF，再利用正方形性质即可证明Rt△ADE≌Rt△CDF（HL），进而得出答案；（2）如图2，连接DH，设正方形ABCD的边长为a，依据S△DFH＝S正方形EDFG＝DE2＝a2，可求得FH＝a，进而得出BH＝a，利用勾股定理可得出答案；（3）①如图3，设AB＝b，则AD＝kb，再由四边形EDFG是其“矩菱形”，可得DF2＝DE2＝（k2+）b2，再利用勾股定理得出CF2＝DF2﹣CD2＝（k2﹣）b