2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第7讲正态分布提能训练

第7讲正态分布A组基础巩固一、单选题1．(2023·江苏扬州调研)已知随机变量X～N(1，σ2)，P(X≥0)＝0.8，则P(X>2)＝(A)A．0.2 B．0.4C．0.6 D．0.8[解析]由X～N(1，σ2)，知：随机变量X的分布函数图象关于X＝1对称，∴P(X>2)＝P(X<0)＝1－P(X≥0)＝0.2.故选A.2．(2024·江苏苏州中学期初考试)已知随机变量ξ听从正态分布N(0,4)，若P(ξ≥2)＝0.3，则P(ξ≥－2)＝(C)A．0.2 B．0.3C．0.7 D．0.8[解析]由题意知μ＝0，∴P(ξ≤－2)＝P(ξ≥2)＝0.3.∴P(ξ≥－2)＝1－P(ξ≤－2)＝0.7.故选C.3．(2023·河北唐山一模)随机变量X听从正态分布N(μ，σ2)，若P(X<2)＝0.2，P(2<X<6)＝0.6，则μ＝(C)A．6 B．5C．4 D．3[解析]由题意可知P(X≥6)＝1－P(X<2)－P(2<X<6)＝0.2，∴P(X≥6)＝P(X<2)，∴μ＝eq\f(6＋2,2)＝4.选C.4．(2023·山东临沂二模)已知随机变量ξ听从正态分布N(3，σ2)，且P(ξ<5)＝0.7，则P(1<ξ<3)＝(D)A．0.6 B．0.5C．0.3 D．0.2[解析]P(1<ξ<3)＝eq\f(1－2Pξ>5,2)＝eq\f(1－2[1－Pξ<5],2)＝0.2.故选D.5．(2023·云南昆明、福建师大附中月考)已知某地区成年女性身高X(单位：cm)近似听从正态分布N(160，σ2)，且P(158<X≤160)＝0.2，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过162cm的人数大约为(D)A．200 B．400C．600 D．700[解析]因为P(158<X≤160)＝0.2，所以P(X≤162)＝0.2＋0.5＝0.7，则随机抽取该地区1000名成年女性，其中身高不超过162cm的人数听从Y～B(1000,0.7)，所以E(Y)＝np＝700，故选D.6．(2023·福建宁德质检)某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶．依据其种植阅历，在正常环境下，甲、乙两个品种的茶青每500克的红茶产量(单位：克)分别为X，Y，且X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是(D)A．Y的数据较X更集中B．P(X≤c)<P(Y≤c)C．甲种茶青每500克的红茶产量超过μ2的概率大于eq\f(1,2)D．P(X>c)＋P(Y≤c)＝1[解析]Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，A正确；因为c与μ2之间的与密度曲线围成的面积S1＞c，μ1与密度曲线围成的面积S2，P(Y≤c)＝eq\f(1,2)＋S1，P(X≤c)＝eq\f(1,2)＋S2，∴P(X≤c)＜P(Y≤c)，B正确；∵μ2＜μ1，∴甲种茶青每500克超过μ2的概率P＝P(X＞μ2)＞eq\f(1,2)，C正确；由B知：P(X>c)＝eq\f(1,2)－S2，P(Y<c)＝eq\f(1,2)＋S1，∴P(X>c)＋P(Y<c)＝1＋S1－S2>1，D错误．故选D.7．(2023·广东四校联考)已知随机变量X～B(6，p)，Y～N(μ，σ2)，且P(Y≥2)＝eq\f(1,2)，E(X)＝E(Y)，则p＝(B)A.eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]因为随机变量X～B(6，p)，所以E(X)＝6p，因为Y～N(μ，σ2)，P(Y≥2)＝eq\f(1,2)，所以μ＝2，即E(Y)＝2，又E(X)＝E(Y)所以6p＝2，即p＝eq\f(1,3).故选B.二、多选题8．已知某校高三年级有1000人参与一次数学模拟考试，现把这次考试的分数转换为标准分，标准分的分数转换区间为[60,300]，若使标准分X听从正态分布N(180,900)．(参考数据：①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)则下列结论正确的个数为(BC)A．这次考试标准分超过180分的约有450人B．这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997C．甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为eq\f(3,8)D．P(240<X≤270)＝0.0428[解析]这次考试标准分超过180分的约有500人，A错；∵P(90<X≤270)＝P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973，∴标准分在(90,270]内的人数约为0.9973×1000≈997，∴B正确；甲、乙、丙恰有2人超过180分的概率为Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,8)，∴C正确；∵P(240<X≤270)＝eq\f(P90<X≤270－P120<X≤240,2)＝eq\f(Pμ－3σ≤X≤μ＋3σ－Pμ－2σ≤X≤μ＋2σ,2)＝eq\f(0.9973－0.9545,2)＝0.0214，∴D错误．故选BC.9．(2023·湖南模拟)已知某种袋装食品每袋质量(单位：g)X～N(500,16)，P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973，则下面结论正确的是(ACD)A．σ＝4B．P(496<X≤504)＝0.9545C．随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间(492,504]的约8186袋D．随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于488g的不多于14袋[解析]对于A，X～N(500,16)，则σ2＝16，解得σ＝4，故A正确；对于B，P(496<X≤504)＝0.6827，故B错误；对于C，P(492<X≤504)＝P(492<X≤500)＋P(500<X≤504)＝eq\f(0.9545,2)＋eq\f(0.6827,2)＝0.8186，故随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间(492,504]的约10000×0.8186＝8186袋，故C正确；对于D，P(X<488)＝eq\f(1－P488<X≤512,2)＝0.00135，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于488g有0.00135×10000＝13.5，故D正确．故选ACD.10．(2024·安徽摸底)“世界杂交水稻之父”袁隆平独创了“三系法”籼型杂交水稻，胜利探讨出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系．某水稻种植探讨所调查某地杂交水稻的株高，得出株高(单位：cm)听从正态分布，其分布密度函数φ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，则(AC)A．该地杂交水稻的平均株高为100cmB．该地杂交水稻株高的方差为10C．该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多D．随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在(80,90)和在(100,110)的概率一样大[解析]因为正态分布密度函数为φ(x)＝，所以μ＝100，σ＝10，即均值为100，标准差为10，方差为100，故A正确，B错误；依据正态曲线的特征可知函数φ(x)关于x＝100轴对称，所以该地杂交水稻株高在120cm以上的数量和株高在80cm以下的数量一样多，故C正确，随机测量该地的一株杂交水稻，其株高在(80,90)和在(110,120)的概率不一样大．故D错误．故选AC.三、填空题11．(2023·山东青岛调研)某地有6000名学生参与考试，考试后数学成果X近似听从正态分布N(110，σ2)，若P(90≤X≤110)＝0.45，则估计该地学生数学成果在130分以上的人数为300.[解析]由正态分布曲线的对称轴为μ＝110，以及P(90≤X≤110)＝0.45，可得P(110≤X≤130)＝0.45，因此P(X>130)＝eq\f(1,2)－P(110≤X≤130)＝0.05，故130分以上的人数为6000×0.05＝300.12．长风工厂产品质量指标X听从正态分布N(100，σ2)．质量指标介于98至102之间的产品为良品．为使这种产品的良品率达到95.45%，则须要调整生产工艺，使得σ至多为1.(若X～N(μ，σ2)，则P(|X－μ|<2σ)＝0.9545)[解析]由P(98<X<102)≥95.45%＝0.9545，又P(μ－2σ<X<μ＋2σ)＝0.9545，而μ＝100，所以P(98<X<102)＝P(100－2<X<100＋2)≥P(μ－2σ<X<μ＋2σ)，故2σ≤2，即σ≤1，则σ至多为1.13．(2023·广东广州阶段测试)已知随机变量ξ听从正态分布N(4，σ2)，且P(ξ<6)＝5P(ξ<2)，则P(2<ξ<6)＝eq\f(2,3).[解析]设P(ξ<2)＝x，所以P(ξ<2)＝P(ξ>6)＝x，又P(ξ<6)＝5P(ξ<2)，∴P(2<ξ<6)＝4x，依据题意x＋4x＋x＝1，∴x＝eq\f(1,6)，∴P(2<ξ<6)＝4x＝eq\f(2,3).14．(2024·云南三校联考)某次数学考试中，学生成果X听从正态分布(105，σ2)．若P(90≤X≤120)＝eq\f(1,2)，则从参与这次考试的学生中随意选取3名学生，恰有2名学生的成果高于120的概率是eq\f(9,64).[解析]由题意知P(x≥120)＝eq\f(1－P90≤x≤120,2)＝eq\f(1,4).故所求概率为Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2×eq\f(3,4)＝eq\f(9,64).四、解答题15.(2024·云南大理统测)为深化学习党的二十大精神，激励青年学生主动奋勉向上．某学校团委组织学生参与了“青春心向党，奋进新时代”为主题的学问竞赛活动，并从中抽取了200份试卷进行调查，这200份试卷的成果(卷面共100分)频率分布直方图如图所示．(1)用样本估计总体，试估计此次学问竞赛成果的50%分位数；(2)将此次竞赛成果ξ近似看作听从正态分布N(μ，σ2)(用样本平均数和标准差s分别作为μ，σ的近似值)，已知样本的平均数约为80.5，标准差s≈7.5.现从该校参与学问竞赛的全部学生中任取100人，记这100人中学问竞赛成果超过88分的学生人数为随机变量X，求X的数学期望；参考数据：若ξ～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.68，P(μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)≈0.95，P(μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)≈0.99.[解析](1)由频率分布直方图可知：0.01×10＋0.04×10＝0.5，故此次学问竞赛成果的50%分位数为80分．(2)由题意可知ξ～N(80.5,7.52)，因为P(μ－σ<ξ≤μ＋σ)≈0.68，即：P(73<ξ≤88)≈0.68，故P(ξ>88)＝eq\f(1－0.68,2)＝0.16，由题意知：抽取的100人中学问竞赛成果超过88分的学生人数X听从二项分布，即X～B(100,0.16)，故X的数学期望E(X)＝100×0.16＝16.B组实力提升1．(2024·重庆西北狼教化联盟联考)已知随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～N(2，σ2)，若P(X≤1)＝0.36，P(Y<4)＝p，则P(0<Y<2)＝(C)A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4[解析]因为X～B(2，p)，Y～N(2，σ2)，P(X≤1)＝0.36，所以P(X≤1)＝(1－p)2＋2p(1－p)＝0.36，解得p＝0.8或p＝－0.8(舍)，由P(Y<4)＝p＝0.8，则P(Y≥4)＝1－0.8＝0.2，所以P(0<Y<2)＝eq\f(1,2)(1－0.2×2)＝0.3.故选C.2．(多选题)(2024·江西名校联考)若随机变量X～N(μ，σ2)，X的密度函数为f(x)＝，则正确的是(ACD)A．X的密度曲线与y轴只有一个交点B．X的密度曲线关于x＝σ对称C．2P(X>μ＋3σ)＝P(|X－μ|>3σ)D．若Y＝eq\f(X－μ,σ)，则E(Y)＝0，D(Y)＝1[解析]若X～N(μ，σ2)，则其密度函数f(x)＝，因此X的密度曲线与y轴只有一个交点，故A正确；X的密度曲线关于直线x＝μ对称，故B错误；P(|X－μ|>3σ)＝P(X<μ－3σ)＋P(X>μ＋3σ)＝2P(X>μ＋3σ)，故C正确；E(Y)＝eq\f(EX－μ,σ)＝0，D(Y)＝eq\f(1,σ2)D(X)＝1，故D正确．3．(2023·河北邯郸摸底)暑假期间，某学校建议学生保持晨读的习惯，开学后，该校对高二、高三随机抽取200名学生(该学校学生总数较多)，调查日均晨读时间，数据如表：日均晨读时间/分钟[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)人数51025505060将学生日均晨读时间在[30,60]上的学生评价为“晨读合格”．(1)请依据上述表格中的统计数据填写下面2×2列联表，依据α＝0.05的独立性检验，能否认为“晨读合格”与年级有关联？项目晨读不合格晨读合格合计高二高三15100合计(2)将上述调查所得到的频率视为概率来估计全校的状况，现在从该校全部学生中，随机抽取2名学生，记所抽取的2人中晨读合格的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考公式：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.参考数据：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828[解析](1)列联表如下：项目晨读不合格晨读合格合计高二2575100高三1585100合计40160200χ2＝eq\f(200×25×85－15×752,100×100×40×160)＝3.125<3.841＝x0.05，所以依据α＝0.05的独立性检验，不能认为“晨读合格”与年级有关联．(2)由题设，学生晨读合格的概率为eq\f(160,200)＝eq\f(4,5)，易知ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5)))，所以P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＝eq\f(1,25)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(8,25)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))0＝eq\f(16,25)，ξ的分布列为ξ012Peq\f(1,25)eq\f(8,25)eq\f(16,25)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,25)＋1×eq\f(8,25)＋2×eq\f(16,25)＝eq\f(8,5).4．(2024·福建宁德一中模拟)书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读渐渐成为很多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某探讨机构为了解某地年轻人的阅读状况，通过随机抽样调查了100位年轻人，对这些人每天的阅读时间(单位：分钟)进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．(1)依据频率分布直方图，估计这100位年轻人每天阅读时间的平均数eq\x\to(x)(单位：分钟)；(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)(2)若年轻人每天阅读时间X近似地听从正态分布N(μ，100)，其中μ近似为样本平均数eq\x\to(x)，求P(64<X≤94)；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，探讨机构采纳分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组[50,60)，[60,70)，[80,90)的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于[80,90)的人数ξ的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6827；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9545；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9973.[解析](1)依据频率分布直方图得：eq\x\to(x)＝(55×0.01＋65×0.02＋75×0.045＋85×0.02＋95×0.005)×10＝74.(2)由题意知X～N(74,100)，即μ＝74，σ＝10，所以P(64<X≤94)＝P(μ－σ<X≤μ＋2σ)＝eq\f(0.6827＋0.9545,2)＝0.8186.(3)由题意可知[50,60)，[60,70)和[80,90)的频率之比为：1∶2∶2，故抽取的10人中[50,60)，[60,70)和[80,90)分别为：2人，4人，4人，随机变量ξ的取值可以为0,1,2,3，P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(1,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,2)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(2,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(3,10)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))＝eq\f(1,30)，故ξ的分布列为：ξ0123Peq\f(1,6)eq\f(1,2)eq\f(3,10)eq\f(1,30)所以E(ξ)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,2)＋2×eq\f(3,10)＋3×eq\f(1,30)＝eq\f(6,5).5．(2023·广东中山一中等七校联考)在一个系统中，每一个设备能正常工作的概率称为设备的牢靠度，而系统能正常工作的概率称为系统的牢靠度，为了增加系统的牢靠度，人们常常运用“备用冗余设备”(即正在运用的设备出故障时才启动的设备)．已知某计算机网络服务器