备考2025届高考数学一轮复习分层练习第二章函数第2讲函数的单调性与最值

第2讲函数的单调性与最值1.[2024河北省唐山市其次中学模拟]下列函数中，在区间（0，＋∞）上单调递减的是（C）A.f（x）＝－3x B.f（x）＝｜xC.f（x）＝15x D.f（x）＝2｜x－解析A：由反比例函数的性质知，f（x）＝－3x在（0，＋∞）上单调递增，不符合题意B：f（x）＝｜x｜＝－x，x<0，xC：由指数函数的单调性知，f（x）＝15x＝（15）x在（0，D：f（x）＝2｜x－1｜＝2x－1，x≥1，2.若函数f（x）＝2x2+31+x2，则f（A.（－∞，3] B.（2，3）C.（2，3] D.[3，＋∞）解析f（x）＝2x2+31+x2＝2＋1x2+1，∵x2≥0，∴x2＋1≥1，∴0＜1x2+1≤1，∴2＜2＋1x23.设函数f（x）在R上为增函数，则下列结论确定正确的是（D）A.y＝1f（xB.y＝｜f（x）｜在R上为增函数C.y＝－1f（xD.y＝－f（x）在R上为减函数解析设f（x）＝x，则y＝1f（x）＝1x的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域上无单调性，A错误；y＝｜f（x）｜＝｜x｜在R上无单调性，B错误；y＝－1f（x）＝－1x的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域上无单调性，C错误；y＝－f（x4.[2024广东七校联考]若函数f（x）＝2｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，则a的取值范围是（B）A.[1，＋∞） B.（1，＋∞）C.（－∞，1） D.（－∞，1]解析函数f（x）＝2｜x－a｜＋3的大致图象如图所示，其形态如一个“V”，开口向上，顶点坐标为（a，3），对称轴方程为x＝a.由于函数f（x）＝2｜x－a｜＋3在区间[1，＋∞）上不单调，因此需满意对称轴x＝a在直线x＝1的右侧，则a＞1，故选B.5.[2024甘肃兰化一中模拟]已知函数f（x）＝ex－e－x，x>0，－x2，x≤0，若a＝50.01，b＝A.f（a）＞f（b）＞f（c） B.f（b）＞f（a）＞f（c）C.f（a）＞f（c）＞f（b） D.f（c）＞f（a）＞f（b）解析因为y＝ex是增函数，y＝e－x是减函数，所以f（x）＝ex－e－x在（0，＋∞）上单调递增，且f（x）＞0.又f（x）＝－x2在（－∞，0]上单调递增，且f（x）≤0，所以f（x）在R上单调递增.又c＝log20.9＜0，0＜b＝log32＜1，a＝50.01＞1，即a＞b＞c，所以f（a）＞f（b）＞f（c）.6.[2024浙江名校联考]已知函数y＝log2（ax2－x）在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围为（D）A.（0，12） B.（12，1） C.（12，＋∞） D.[1解析由题意可得，函数y＝log2（ax2－x）是由函数y＝log2u与函数u＝ax2－x复合而成的，因为函数y＝log2u在定义域内单调递增，所以由复合函数单调性的推断依据“同增异减”可知，要使函数y＝log2（ax2－x）在区间（1，2）上单调递增，则函数u＝ax2－x在区间（1，2）上单调递增.若a≤0，则易知函数u＝ax2－x在（0，＋∞）上单调递减，所以不满意题意；若a＞0，此时要满意题意，需a×12－1≥0解得a≥1.故选D.7.[2024浙江省嘉兴市阶段性测试]若函数f（x）＝（2－3a）x+1，x≤1，ax，x>1满意对随意两个不同的实数x1，A.[23，＋∞） B.（23，34] C.（23，1） D.[解析∵对随意两个不同的实数x1，x2，都有f（x1）－f（x2）x1－x2＜0成立，∴f（x∴实数a的取值范围是（23，34].8.[多选]已知函数f（x）＝x－ax（a≠0），下列说法正确的是（BCDA.当a＞0时，f（x）在定义域上单调递增B.当a＝－4时，f（x）的单调递增区间为（－∞，－2），（2，＋∞）C.当a＝－4时，f（x）的值域为（－∞，－4]∪[4，＋∞）D.当a＞0时，f（x）的值域为R解析当a＞0时，f（x）＝x－ax，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞）∵f（x）在（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增，∴A错误.若a＞0，当x→－∞时，f（x）→－∞，当x→0－时，f（x）→＋∞，∴f（x）的值域为R，故D正确.当a＝－4时，f（x）＝x＋4xf（x）的图象如图，由图象可知，B，C正确.9.[2024河南郑州模拟]函数f（x）＝4x－2x＋1－1的值域是[－2，＋∞）.解析由题知f（x）＝（2x）2－2·2x－1，令2x＝t（t＞0），得m（t）＝t2－2t－1＝（t－1）2－2（t＞0），由于m（t）＝（t－1）2－2（t＞0）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增，所以m（t）≥m（1）＝－2，故f（x）的值域为[－2，＋∞）.10.已知函数f（x）＝2025x－2025－x＋1，则不等式f（2x－1）＋f（2x）＞2的解集为（14，＋∞）解析由题意知，f（－x）＋f（x）＝2，所以f（－2x）＋f（2x）＝2，所以f（2x－1）＋f（2x）＞2＝f（－2x）＋f（2x），所以f（2x－1）＞f（－2x），又由题意知函数f（x）在R上单调递增，所以2x－1＞－2x，所以x＞14，即原不等式的解集为（14，＋∞11.[2024南昌市模拟]已知函数f（x）的值域为A，函数g（x）＝f（x）[f（x）]2+1的值域为B，则“A＝[－1，1]”是“B＝A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析令t＝f（x），t∈[－1，1]，则函数g（x）可化为y＝tt2+1，t∈[－1，1]，当t＝0时，y＝0；当t≠0时，y＝1t＋1t，记画出u＝t＋1t在[－1，1]上的图象，如图中实线所示，易知u≤－2或u≥2，从而y＝1t＋1t∈[－12，0）∪（0，12].综上，B＝[－12，12]，充分性成立.反之，令f（x）＝2，则g（x）＝f（x）[f（x）]2+1＝25∈[－112.已知函数f（x）＝logaa－x2+x（a＞0，a≠1）为奇函数，其定义域为A.函数g（x）＝1x+2＋46－x，当x∈A时，g（x）≥M恒成立，当且仅当x＝x0时取等号，则A.－1 B.－log23 C.log23 D.log25解析因为函数f（x）＝logaa－x2+x（a＞0，a≠1）为奇函数，所以f（－x）＋f（x）＝logaa＋x2－x＋logaa－x2+x＝logaa2－x24－xf（0）＝0得出）故f（x）的定义域为A＝（－2，2）.由g（x）≥M在（－2，2）上恒成立，知M≤g（x）min.因为x∈A，所以x＋2＞0，6－x＞0，所以g（x）＝18（1x+2＋46－x）[（x＋2）＋（6－x）]＝18[5＋6－xx+2＋4（x+2）6－x]≥18（5＋4）＝98，当且仅当6－x＝2（x＋2），即x＝2313.[多选/2024浙江名校联考]已知f（x）是定义在{x｜x≠0}上的奇函数，当x2＞x1＞0时，x1x2[f（x1）－f（x2）]＋x1－x2＞0恒成立，则（BC）A.y＝f（x）在（－∞，0）上单调递增B.y＝f（x）－12x在（0，C.f（2）＋f（－3）＞1D.f（2）－f（－3）＞1解析因为当x2＞x1＞0时，x1x2[f（x1）－f（x2）]＋x1－x2＞0，可以化简为f（x1）－f（x2）＞1x1－1x2＞0，所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，因为函数f（x）是定义在{x｜x≠0}上的奇函数，所以函数f（x）在（－∞，由f（x1）－f（x2）＞1x1－1x2＞0可得f（x1）－12x1－[f（x2）－12x2]＞12x1－12x2＞0取x1＝2，x2＝3，则f（2）－f（3）＞12－13＝16，因为函数f（x）是定义在{x｜x≠0}上的奇函数，所以f（－3）＝－f（3），所以f（2）＋f（－3）＞1f（x）在（0，＋∞）上单调递减，但函数解析式不确定，所以若取f（2）＝112，f（3）＝－16，则f（2）－f（－3）＝f（2）＋f（3）＝112－16＝－112＜1614.[探究创新/多选/2024福建上杭一中模拟]高斯是德国闻名数学家，有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[－2.1]＝－3，[2.1]＝2.则下列说法正确的是（ACD）A.函数y＝x－[x]在区间[k，k＋1）（k∈Z）上单调递增B.∀x∈R，x≥[x]＋1C.若函数f（x）＝｜1+sin2x－1－sin2x｜，则y＝[f（x）]的值域为{D.函数f（x）＝[2x+11+2x－13]的值域为{－解析对于A，x∈[k，k＋1），k∈Z，有[x]＝k，则函数y＝x－[x]＝x－k在[k，k＋1）上单调递增，A正确；对于B，当x＝2时，[x]＋1＝3，有2＜[2]＋1，B错误；对于C，f（x）＝｜1+sin2x－1－sin2x｜＝（1+sin2当0≤｜co