新教材同步备课2024春高中数学第6章平面向量及其应用6.2平面向量的运算6.2.4向量的数量积第1课时向量数量积的概念及性质学生用书新人教A版必修第二册

向量的数量积第1课时向量数量积的概念及性质学习任务1．了解向量的数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功．(数学抽象)2．驾驭向量的数量积的定义及投影向量．(数学抽象)3．会计算平面对量的数量积．(数学运算)大力士拉车，沿着绳子方向上的力为F，车的位移是s，力和位移的夹角为θ．问题：该大力士所做的功是多少？学问点1向量的数量积1．两向量的夹角已知两个____向量a，b，O是平面上的随意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ(________)叫做向量a与b的夹角．当θ＝0时，向量a，b____；当θ＝π时，向量a，b____；当θ＝π2时，向量a与b____，记作a⊥b1．如何作出向量a与b的夹角？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2．平面对量数量积的定义已知两个____向量a与b，它们的夹角为θ，把数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝______________．规定：零向量与任一向量的数量积为__．2．把“a·b”写成“ab”或“a×b”可以吗，为什么？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________3．投影向量设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，称这种变换为向量a向向量b投影，________叫做向量a3．如图，设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么OM1与e，a，θ_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________学问点2向量数量积的性质设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则(1)a·e＝e·a＝|a|cosθ．(2)a⊥b⇔_________＝0．(3)当a与b同向时，a·b＝_________；当a与b反向时，a·b＝_________．特殊地，a·a＝_________或|a|＝_______．(4)|a·b|_____|a||b|．4．若a·b＝0，则a⊥b确定成立吗？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________5．a·b的符号与两向量的夹角有何关系？_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．若|a|＝3，|b|＝4，a，b的夹角为135°，则a·b＝()A．－32B．－62C．62D．22．若向量a，b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角为________．3．已知|a|＝5，|b|＝2，a与b的夹角为60°，则向量b在a方向上的投影向量为________．类型1定义法求向量的夹角【例1】已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，依据“一作二证三算”的步骤求出．[跟进训练]1．如图，已知△ABC是等边三角形．(1)求向量AB与BC的夹角；(2)若E为BC的中点，求向量AE与EC的夹角．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型2平面对量的数量积运算【例2】如图，在▱ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：(1)AD·BC；(2)AB·DA．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________定义法求平面对量的数量积(1)求模：即分别求|a|和|b|．(2)求夹角：尤其留意向量a与b的方向．(3)求数量积：即a·b＝______________．[跟进训练]2．已知|a|＝6，|b|＝5，分别求下列状况下a与b的数量积：(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a与b的夹角为60°．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________类型3投影向量【例3】已知|a|＝3，|b|＝1，向量a与向量b的夹角为120°，求：(1)向量a在向量b上的投影向量；(2)向量b在向量a上的投影向量．[尝试解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________投影向量的求法方法一：用几何法作出恰当的垂线，干脆得到投影向量．方法二：利用公式．向量a在向量b上的投影向量为_________________．[跟进训练]3．已知|a|＝12，|b|＝8，a·b＝24，求向量a在向量b上的投影向量．_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1．在▱ABCD中，∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°2．已知|a|＝3，|b|＝6，当a∥b时，a·b＝()A．18 B．－18C．±18 D．03．设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为________．4．已知|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为π3，则b在a方向上的投影向量为________回顾本节学问，自主完成以下问题：1．向量夹角的范围是多少？2．如何求两个向量的数量积？对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？3．如何求向量b在a方向上的投影向量？如何求向量a在b方向上的投影向量？4．设a与b都是非零向量，若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？5．|a·b|与|a||b|的大小关系如何？第1课时向量数量积的概念及性质[必备学问·情境导学探新知]学问点11．非零0≤θ≤π同向反向垂直思索1提示：2．非零|a||b|cosθ|a||b|cosθ0思索2提示：不行以，数量积是两个向量之间的乘法，在书写时，确定要严格，必需写成“a·b”的形式．3．A思索3提示：OM1＝|a|cosθ学问点2(2)a·b(3)|a||b|－|a||b||a|2a·思索4提示：不愿定，也可能a＝0或b＝0．思索5提示：a·b<0，由a·b＝|a||b|cosθ可知，两向量的夹角是钝角或180°．而a·b>0时，由a·b＝|a||b|cosθ可知，两向量的夹角是锐角或0°．课前自主体验1．B[a·b＝|a||b|cos135°＝3×4×-22＝－62．120°3．15a[向量b在a(|b|cosθ)aa＝2×cos60°×15a＝1[关键实力·合作探究释疑难]例1解：如图所示，作OA＝a，OB＝b，且∠AOB＝60°．以OA，OB为邻边作▱则OC＝a＋b，BA＝a－b．因为|a|＝|b|＝2，所以▱OACB是菱形，又∠AOB＝60°，所以OC与OA的夹角为30°，BA与OA的夹角为60°．即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°．跟进训练1．解：(1)因为△ABC为等边三角形，所以∠ABC＝60°．如图，延长AB至点D，使BD＝AB，则AB＝BD，所以∠DBC为向量AB与BC的夹角．因为∠ABC＝60°，所以∠DBC＝120°，所以向量AB与BC的夹角为120°．(2)因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，所以向量AE与EC的夹角为90°．例2解：(1)因为AD∥BC，且方向相同，所以AD与BC的夹角是0°，所以AD·BC＝|AD||BC|·cos0°＝3×3×1＝9．(2)因为AB与AD的夹角为60°，所以AB与DA的夹角为120°，所以AB·DA＝|AB||DA|·cos120°＝4×3×-1发觉规律(3)|a||b|cosθ跟进训练2．解：(1)当a∥b时，若a与b同向，则θ＝0°，a·b＝|a||b|cos0°＝6×5＝30；若a与b反向，则θ＝180°，a·b＝|a||b|cos180°＝－6×5＝－30．(2)当a⊥b时，a与b的夹角为90°，a·b＝|a||b|cos90°＝0．(3)当a与b的夹角为60°时，a·b＝|a||b|cos60°＝6×5×12例3解：(1)∵|b|＝