2025版新教材高中数学第2章直线和圆的方程2.1直线的倾斜角与斜率2.1.1倾斜角与斜率素养作业新人教A版选择性必修第一册

A组·基础自测一、选择题1．下图中，α能表示直线l的倾斜角大小的是(C)A．① B．①②C．①③ D．②④[解析]①③中直线的倾斜角为α，故选C.2．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(D)A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2[解析]直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.3．已知直线过A(3，m＋1)，B(4,2m＋1)，且倾斜角为eq\f(5π,6)，则m的值为(C)A．－eq\r(3) B．eq\r(3)C．－eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(3),3)[解析]依据题意，直线AB的倾斜角为eq\f(5π,6)，则其斜率k＝taneq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),3).又点A(3，m＋1)，B(4,2m＋1)，则直线AB的斜率k＝eq\f(2m＋1－m＋1,4－3)＝m，所以m＝－eq\f(\r(3),3).故选C.4．已知点A(2，－1)，B(3，m)，若m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，则直线AB的倾斜角的取值范围为(B)A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(5π,6))) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(5π,6))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π))[解析]设直线AB的倾斜角为α，则直线AB的斜率k＝eq\f(m＋1,3－2)＝m＋1，又m∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，则k的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\r(3)))，即tanα的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\r(3)))，又0≤α<π，则α∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)，π)).5．(多选题)下列说法中，正确的是(CD)A．直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tanαB．一条直线的倾斜角为－30°C．若直线的倾斜角为α，则sinα≥0D．随意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα[解析]依据题意，依次分析选项：对于A，直线的倾斜角为α，当α＝90°时，斜率不存在，A错误；对于B，直线的倾斜角的范围为[0°，180°)，B错误；对于C，直线的倾斜角的范围为[0°，180°)，则有sinα≥0，C正确；对于D，随意直线都有倾斜角α，且α≠90°时，斜率为tanα，D正确．二、填空题6．已知点A(n，－n－3)，B(2，n－1)，C(－1,4)，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，则实数n的值为_1或2__.[解析]由题意知n≠－1，直线AC的斜率为eq\f(4＋n＋3,－1－n)，直线BC的斜率为eq\f(4－n－1,－1－2)，所以eq\f(n＋7,－1－n)＝3×eq\f(5－n,－3)，整理得n2－3n＋2＝0，解得n＝1或n＝2.7．已知A(2,4)，B(1,1)两点，直线l过点C(0,2)且与线段AB相交，直线l的斜率k的取值范围是_[－1,1]__.[解析]依据题意，画出图形，如图所示．∵直线AC的斜率kAC＝eq\f(4－2,2－0)＝1，直线BC的斜率kBC＝eq\f(1－2,1－0)＝－1，∴当kBC≤k≤kAC时，直线l与线段AB相交．∴斜率k的取值范围是[－1,1]．8．直线l经过点(－1,0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为_30°__，斜率为eq\f(\r(3),3).[解析]如图所示，因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，斜率k＝tanα＝tan30°＝eq\f(\r(3),3).三、解答题9．已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直线AB和AC的斜率；(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时，求直线AD的斜率的变更范围．[解析](1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB＝eq\f(2－3,－4－3)＝eq\f(1,7).直线AC的斜率kAC＝eq\f(－2－3,0－3)＝eq\f(5,3).故直线AB的斜率为eq\f(1,7)，直线AC的斜率为eq\f(5,3).(2)如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变更范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7)，\f(5,3))).B组·素养提升一、选择题1．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(ABC)A．若α1＜α2，则两直线的斜率：k1＜k2B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2C．若两直线的斜率：k1＜k2，则α1＜α2D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2[解析]当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k1＞k2，选项A说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B说法错误；若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1＜k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C说法错误；若k1＝k2说明斜率确定存在，则必有α1＝α2，选项D正确．2．若直线经过A(2,1)，B(1，m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是(D)A．0°≤α＜180°B．45°≤α＜90°或90°＜α＜180°C．0°≤α≤45°D．0°≤α≤45°或90°＜α＜180°[解析]过A(2,1)，B(1，m2)两点直线l的斜率k＝tanα＝eq\f(m2－1,1－2)＝1－m2，因为m2≥0，所以1－m2≤1，因为0°≤α＜180°，所以0°≤α≤45°或90°＜α＜180°，故选D.3．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(C)A.eq\f(5,4) B．eq\f(4,5)C．－eq\f(5,4) D．－eq\f(4,5)[解析]设点P(a，b)是直线l上的随意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知，这两点都在直线l上，∴直线l的斜率为k＝eq\f(b－5－b,a＋4－a)＝－eq\f(5,4).二、填空题4．已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)、P2(x2,5)、P3(3,1)是此直线上的三点，则x2＋y1＝_7__.[解析]∵α＝45°，∴直线l的斜率k＝tan45°＝1，又P1，P2，P3都在此直线上，故kP1P3＝kP2P3＝k，即eq\f(1－y1,3－2)＝eq\f(1－5,3－x2)＝1，解得x2＝7，y1＝0.∴x2＋y1＝7.5．光线从点A(－2，eq\r(3))射到x轴上的B点后，被x轴反射，这时反射光线恰好过点C(1,2eq\r(3))，则光线BC所在直线的倾斜角为_60°__.[解析]点A(－2，eq\r(3))关于x轴的对称点为A′(－2，－eq\r(3))由物理学问知kBC＝kA′C＝eq\f(2\r(3)－－\r(3),1－－2)＝eq\r(3)，所以所求倾斜角为60°.三、解答题6．过点A(2,1)，B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，求实数m的取值范围．[解析]由直线的倾斜角α的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))得，直线的斜率存在时，有k≤－1或k≥1又kAB＝eq\f(3－1,m－2)＝eq\f(2,m－2)，所以eq\f(2,m－2)≤－1或eq\f(2,m－2)≥1，解得0≤m＜2或2＜m≤4.当直线的斜率不存在时，m＝2.综上，实数m的取值范围是[0,4]．C组·实力拓展点M(x，y)在函数y＝－2x＋8的图象上，当x∈[2,5]时，求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范围．[解析]eq\f(y＋1,x＋1)＝eq\f(y－－1,x－－1)的几何意义是过M(x，y)，N