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Page21班级__________姓名__________学号__________本试卷共2页,共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效.一、选择题:本大题共10道小题,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.1.椭圆的焦点坐标是()A., B.,C., D.,)2.在空间直角坐标系中,,,,则是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.形态不确定3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4,若抛物线上一点P到y轴的距离是1,则|PF|等于()A2 B.3 C.4 D.54.直线截圆得到的劣弧所对的圆心角的大小为()A. B. C. D.5.双曲线的渐近线方程为,则双曲线离心率为()A.或 B.或 C. D.26.如图,一位运动员投掷铅球的成果是14m,当铅球运行的水平距离是6m时,达到最大高度4m.若铅球运行的路途是抛物线,则铅球出手时距地面的高度是()A.2.25m B.2.15m C.1.85m D.1.75m7.“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件8.将正方形沿对角线折成直二面角,以下结论中错误的是()A. B.等边三角形C.与平面所成的角为60° D.与所成的角为60°9.若曲线:上全部的点均在其次象限内,则的取值范围为()A. B. C. D.10.如图,在正方体中,是侧面内一动点,若到直线与直线的距离相等,则动点的轨迹是()A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线二、填空题:本大题共5小题,共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.11.点关于直线的对称点坐标为______________.12.已知,为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A,B两点,,则______________.13.如图,在四棱锥中,平面平面,底面为矩形,,为等边三角形,则直线与平面所成角的正弦值为______________.14.已知双曲线:的一个焦点到它的一条渐近线的距离为,则_________;若双曲线与C不同,且与C有相同的渐近线,则的方程可以为____________.(写出一个答案即可)15.曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹,给出下列四个命题:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于x轴对称;③曲线C与y轴有3个交点;④若点M在曲线C上,则的最小值是;其中,全部正确结论的序号是_________.三、解答题:本大题共4小题,共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程,并把答案写在答题纸中相应位置上.16.如图,在直三棱柱中,,,E,F分别为,的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求点到平面的距离;(3)求二面角的余弦值.17.已知椭圆的焦点是,,且,离心率为.(1)求椭圆C方程;(2)若椭圆C与直线交于M,N两点,且,求实数的值.18.已知圆:.(1)求圆心的坐标及半径的大小;(2)已知直线与圆相切,且在x,y轴上的截距相等且不为0,求直线的方程;(3)从圆C外一点向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有,求点P的轨迹方程.19.已知椭圆:右焦点为F(1,0),短轴长为2.直线过点F且不平行于坐标轴,与有两个交点A,B,线段的中点为M.(1)求椭圆的方程;(2)证明:直线斜率与的斜率的乘积为定值;(3)延长线段与椭圆交于点P,若四边形为平行四边形,求此时直线的斜率.
北京市第一六一中学2024—2025学年第一学期12月阶段练习高二数学2024.12班级__________姓名__________学号__________本试卷共2页,共120分.考试时长90分钟.考生务必将答案写在答题纸上,在试卷上作答无效.一、选择题:本大题共10道小题,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.1.椭圆的焦点坐标是()A., B.,C., D.,)【答案】B【解析】【分析】先依据椭圆的标准方程推断焦点的位置;再依据,,关系求出即可写出焦点坐标.【详解】由椭圆可得:椭圆的焦点在轴上,,.则,即.所以椭圆焦点坐标为:,.故选:B2.在空间直角坐标系中,,,,则是()A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.形态不确定【答案】B【解析】【分析】依据空间中两点距离公式即可求解长度,进而可推断.【详解】由,,,可得,,故,因此是等腰直角三角形,故选:B3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4,若抛物线上一点P到y轴的距离是1,则|PF|等于()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】由题意可得,再结合抛物线的定义可求出|PF|【详解】因为抛物线y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为4,所以,所以抛物线的焦点,准线方程为,因为抛物线上一点P到y轴的距离是1,所以点P到准线的距离为3,所以由抛物线的定义可得,故选:B4.直线截圆得到的劣弧所对的圆心角的大小为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由圆的标准方程找出圆心坐标和半径,利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离,由垂径定理及勾股定理求出直线被圆截得的弦长,即可依据等边三角形求解.【详解】过作,垂足为点,由圆的方程,得到圆心的坐标为,半径,圆心到直线的距离,直线被圆截得的弦,,,故选:D.5.双曲线渐近线方程为,则双曲线离心率为()A.或 B.或 C. D.2【答案】B【解析】【分析】依据焦点位置,分两种状况即可依据渐近线方程以及离心率公式求解.【详解】设双曲线方程为,则渐近线方程为,故,离心率为,设双曲线方程为,则渐近线方程为,故,离心率为,故选:B6.如图,一位运动员投掷铅球的成果是14m,当铅球运行的水平距离是6m时,达到最大高度4m.若铅球运行的路途是抛物线,则铅球出手时距地面的高度是()A.2.25m B.2.15m C.1.85m D.1.75m【答案】D【解析】【分析】建立坐标系,依据题意可设抛物线方程为,其中,再依据点在抛物线上,代入抛物线方程,得到该抛物线方程,令,可得结论.【详解】以该运动员脚所在的水平线为轴,该运动员所处位置的铅垂线为轴,建立坐标系如图.铅球运行的水平距离是时,达到最大高度,该抛物线的顶点坐标是,开口向下,设抛物线方程为,其中,运动员投掷铅球的成果是,所以点在抛物线上,,可得因此,抛物线方程为,令,则故选:D.7.“”是“直线与抛物线有唯一公共点”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】联立与,分与两种状况,结合根的判别式得到或,从而求出答案.【详解】联立与得,,当时,,只有一个根,满意要求,当时,令,解得,故直线与抛物线有唯一公共点”时,或,故是“直线与抛物线有唯一公共点”的充分不必要条件.故选:A8.将正方形沿对角线折成直二面角,以下结论中错误的是()A. B.是等边三角形C.与平面所成的角为60° D.与所成的角为60°【答案】C【解析】【分析】依据直二面角可得面面垂直,即可依据线面垂直求解A,依据长度关系即可求解B,依据线面垂直得线面角几何角,即可求解C,依据平行关系以及线线角的定义即可求解D.【详解】如图,其中二面角的平面角为,是的中点,则,,直二面角的平面角,对于A,,,,平面,平面,平面,平面,,故A正确;对于B,设正方形边长为2,在直角中,,,是等边三角形,故B正确;对于D,可取中点,的中点,连接,,,设正方形的边长为2,由于,所以,而,故是等边三角形,即为与所成的角,由于,所以与所成角为,故D正确.对于C,由于平面平面,且交线为,平面,所以平面,故与平面所成的线面角的平面角是,故与平面成的角不正确,故C错误.故选:C9.若曲线:上全部的点均在其次象限内,则的取值范围为()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依据曲线方程可推断出曲线是圆心为,半径为的圆,依据圆的位置可得关于的不等式组,解不等式组求得结果.【详解】由题意,曲线C的标准方程为:因此曲线C为圆心为,半径为的圆曲线上全部的点均在其次象限内,解得:的取值范围是故选:D10.如图,在正方体中,是侧面内一动点,若到直线与直线的距离相等,则动点的轨迹是()A.直线 B.圆C.双曲线 D.抛物线【答案】D【解析】【分析】由于在平面内,而平面,因此有,这样结合抛物线的定义可得结论.【详解】在正方体中,确定有,∴点为平面内到直线和到点的距离相等的点,其轨迹为抛物线.故选D.【点睛】本题考查抛物线的定义,考查立体几何中的垂直关系.属于跨章节综合题,难度不大.二、填空题:本大题共5小题,共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上.11.点关于直线的对称点坐标为______________.【答案】【解析】【分析】依据中点关系以及垂直斜率关系即可求解.【详解】设点关于直线的对称点坐标为,则,解得,所以对称点为,故答案为:12.已知,为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于A,B两点,,则______________.【答案】14【解析】【分析】依据焦点三角形的周长即可求解.【详解】椭圆中,,,为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于,两点,由椭圆定义知:,,.故答案为:1413.如图,在四棱锥中,平面平面,底面为矩形,,为等边三角形,则直线与平面所成角的正弦值为______________.【答案】##【解析】【分析】依据面面垂直可得线面垂直,即可依据线面角的定义找到其平面角,结合三角形的边角关系即可求解.【详解】取中点为,连接,由于是等边三角形,所以因为平面平面,其交线为,平面,所以平面,是直线与平面所成角.不妨设,在等边中,,,所以,故故直线与平面所成角的正弦值为.故答案为:14.已知双曲线:的一个焦点到它的一条渐近线的距离为,则_________;若双曲线与C不同,且与C有相同的渐近线,则的方程可以为____________.(写出一个答案即可)【答案】①.②.【解析】【分析】依据题意,由双曲线方程可得焦点坐标以及渐近线方程,再由点到直线的距离公式,代入计算,即可得到结果.【详解】因为双曲线:,所以其焦点坐标为,渐近线方程为,且双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为,则,所以;所以双曲线:,渐近线方程为,若双曲线与C不同,且与C有相同的渐近线,则该双曲线只需满意即可,则的方程可以为.故答案为:;15.曲线C是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹,给出下列四个命题:①曲线C过坐标原点;②曲线C关于x轴对称;③曲线C与y轴有3个交点;④若点M在曲线C上,则的最小值是;其中,全部正确结论的序号是_________.【答案】①②④.【解析】【分析】将所求点用干脆表示出来,然后依据条件列出方程即可求出轨迹方程,然后依据方程探讨性质即可求解①②③,利用消元法,然后利用函数的单调性求最值即可推断④.【详解】设动点的坐标为,曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于4的点的轨迹,,当时,,曲线过坐标原点,故①正确;将中的用代入该等式不变,曲线关于轴对称,故②正确;令时,,故曲线与轴只有1个交点,故③不正确;,,解得,若点在曲线上,则,故④正确.故答案为:①②④.三、解答题:本大题共4小题,共55分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程,并把答案写在答题纸中相应位置上.16.如图,在直三棱柱中,,,E,F分别为,的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值;(2)求点到平面的距离;(3)求二面角的余弦值.【答案】(1);(2);(3);【解析】【分析】(1)构建空间直角坐标系,然后依据向量的数量积求解直线夹角;(2)求解面的法向量,然后依据距离公式求解;(3)依据面与面的法向量,求解二面角的余弦值;【小问1详解】故以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,,,,所以异面直线与所成角的余弦值为.【小问2详解】设面的法向量为,,则,解得:令,可得,因为,所以所以点到平面的距离为.【小问3详解】面,所以面法向量为,设面的法向量为,又,,则,解得:,令,可得,所以二面角的余弦值为.17.已知椭圆的焦点是,,且,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)若椭圆C与直线交于M,N两点,且,求实数的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由题意求出,进而得到,求出椭圆方程;(2)联立直线与椭圆方程,依据根的判别式得到,得到两根之和,两根之积,利用弦长公式表达出弦长,得到方程,检验后求出答案【小问1详解】由题意得:,,解得,故,故椭圆C的方程为;【小问2详解】联立与得,,,解得,设,则,故,又,所以,解得,满意,故实数的值为18.已知圆:.(1)求圆心的坐标及半径的大小;(2)已知直线与圆相切,且在x,y轴上的截距相等且不为0,求直线的方程;(3)从圆C外一点向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有,求点P的轨迹方程.【答案】(1)圆心坐标,半径;(2)或;(3)【解析】【分析】(1)化圆的一般方程为
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