微专题提优讲义8 余弦定理的奥秘答案

微专题提优讲义8余弦定理的奥秘余弦定理对于已知两边及其夹角、已知三边或已知两角及一对边求解三角形的问题起着很重要的作用，定理丰富的内涵也是命题者命制试题的来源.下面以三角形中角A的余弦公式cosA＝b2＋c2一、乘法公式价值高，模型构造威力显观察角A的余弦公式，发现分子为b2＋c2－a2，变形可得（b＋c）2－a2－2bc.由此可利用乘法公式设计构造出平方差公式，再变形构造出余弦公式.【例1】在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（b－c）·（sinB＋sinC）＝（a－3c）·sinA，则角B的大小为（）A.30° B.45°C.60° D.120°解析：A由正弦定理得（b－c）·（sinB＋sinC）＝（a－3c）·sinA可化为（b－c）（b＋c）＝（a－3c）a，化简得到b2－c2＝a2－3ac，即a2＋c2－b2＝3ac，可以得到a2＋c2－b22二、平方关系真给力，夹角范围确定易观察角A的余弦公式，发现分子为b2＋c2－a2，比较分子与0的大小，可得：当b2＋c2＞a2时，cosA＞0，此时角A为锐角；当b2＋c2＝a2时，cosA＝0，此时角A为直角；当b2＋c2＜a2时，cosA＜0，此时角A为钝角.【例2】在非等边△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a为最大边，如果sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C，则角A的取值范围为（π3，π2）解析：由于sin（B＋C）＝sin（π－A）＝sinA，所以sin2（B＋C）＜sin2B＋sin2C可转化为sin2A＜sin2B＋sin2C，由正弦定理得a2＜b2＋c2，即b2＋c2－a2＞0，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＞0，即0＜A＜π2.又因为△ABC非等边，且a为最大边，所以A＞π3，则有π3＜三、周长面积“影子”现，相互依存和谐见余弦公式通过变形可得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b＋c）2－a2－2bc2bc，从公式中我们可以找到【例3】已知△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝1517，a＋c＝6，三角形的面积为2，则b＝2解析：因为cosB＝1517得sinB＝817，又因为三角形的面积为2，即S＝12acsinB＝2，ac＝2SsinB＝4817＝172，又a＋c＝6，所以有cosB＝a2＋四、和、积合作有情意，两根关系来设计余弦公式通过变形可得：cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b【例4】△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知三角形的两边a，b为一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根且夹角C为60°，则三角形的周长为3＋6.解析：由a，b为一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个根，可得a＋b＝3，ab＝1.又由cosC＝a2＋b2－c22ab＝（a＋b）2－c2－2五、加法、乘法巧联系，最值获取最省力由于cosA＝b2＋c2－a22bc＝（b＋c）2－a2－2bc2bc，公式中含有bc与b＋【例5】△ABC内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，c＝3，求当ab取得最大值时，三角形的面积.解：由（a＋b－c）（a＋b＋c）＝ab，得（a＋b）2－c2＝ab，则有a2＋b2－3＝－ab，即3－ab＝a2＋b2，由基本不等式可得，3－ab＝a2＋b2≥2ab，得ab≤1（当且仅当a＝b时取等号）.又由a2＋b2－c2＝－ab，得cosC＝a2＋b2－c所以sinC＝32当ab取得最大值1时，S△ABC＝12absinC＝12×1×32练习1.已知△ABC的外接圆半径为4，sinB+sinC=34A．558 B．C．215564 详解：由sinB+sinC=解得sinB=由正弦定理可得b=2RsinB=3，所以B=C，sinA=∴S2.（多选）在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知cosBcosC=A．cosB=12C．a+c=23 D．详解：∵cos由正弦定理可得cosB整理可得sinB所以sinB∵A为三角形内角，sinA≠0∴cosB=12，∵B∈(0,∵S△ABC=3∴334由余弦定理b2=a解得a+c=23或a+c=−23.（多选）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B的值为（）A． B． C． D．详解：根据余弦定理可知，代入，可得，即，因为，所以或.4.分别为内角的对边．已知，则的最小值为．详解：由余弦定理得．当且仅当时，取等号.所以的最小值为5．已知在中，角A，B，C所对的边分别为a，