2023-2024学年江苏省盐城市高二上学期第一次学情调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省盐城市2023-2024学年高二上学期第一次学情调研数学试题一、单选题：共8小题，每题5分，共40分.1.已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得：，直线的斜率，直线的倾斜角为.

故选：C.2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A.1 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗将直线化为，因为直线与直线平行，设两条平行线间的距离为，所以根据两平行线之间的距离公式.故选：B.3.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意设所求方程为，因为直线经过点，所以，即，所以所求直线为.故选：A.4.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.故选：B.5.直线与圆的位置关系是（）A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心〖答案〗D〖解析〗圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．故选：D.6.已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗整理为，故圆心为，半径为，设，故当与圆的弦垂直时，弦最短，其中，由垂径定理得.故选：B7.已知点，，若圆：上存在点M，使得，则实数t的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，点，，可得以为直径的圆的方程为，则圆心，半径，又由圆：，可得圆心，半径，两圆的圆心距为，要使得圆：上存在点M，使得，即两圆存在公共点，则满足，即，解得,所以实数t的取值范围是.故选：A.8.阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，由圆的性质得：，解得，，所以C的长度为.故选：B.二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；D：不在上，不符合.故选：ABC.10.已知圆和圆的交点为A，B，则（）.A.两圆的圆心距B.直线AB的方程为C.圆上存在两点P和Q使得D.圆上的点到直线AB的最大距离为〖答案〗BD〖解析〗由圆和圆，可得圆和圆，则圆的圆心坐标为和半径为，圆的圆心坐标和半径，

对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦AB的方程为，故B正确；对于C，直线AB经过圆的圆心坐标，所以线段AB是圆的直径，故圆中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线AB：的距离为，所以圆上的点到直线AB的最大距离为，故D正确．故选：BD.11.以下四个命题表述错误的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于C.曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为D.已知圆，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故A错误；对于B，因为圆的圆心是，半径为，则圆心到直线距离为，故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故B正确；对于C，曲线，即，圆心为，半径为，曲线，即，圆心为，半径为，若两圆恰有四条公切线，则两圆相离，则，解得，故C错误；对于D，因为，故当最小时，最小，又最小值为圆心到直线的距离，即，故的最小值为，故D错误．故选：ACD．12.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A.的“欧拉线”方程为B.圆M上存在三个点到直线的距离为C.若点在圆M上，则的最小值是D.若圆M与圆有公共点，则〖答案〗BD〖解析〗因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，由、可得：的中点，即，，所以，故的方程为：，即，选项A错误；因为与圆相切，故，又圆心到的距离，所以圆M上存在三个点到直线的距离为，B选项正确；点在圆M上，表示圆上的点与的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方时（如图所示），此时，最小，设直线：，由，解得：，因为，所以，即的最小值是，C选项错误；圆的圆心坐标为，半径，则要想圆M与圆有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故，解得：，故D选项正确.故选：BD.三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.13.点到直线的距离为___________.〖答案〗〖解析〗由已知所求距离为．故〖答案〗为：．14.与圆同圆心，且过点的圆的方程是________.〖答案〗〖解析〗依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得.所以所求圆的方程为．故〖答案〗：.15.已知实数满足方程，则的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗方程=化为,表示的图形是一个半圆,令,即y=kx,如图所示,当直线与半圆相切时,k=,所以的取值范围是故〖答案〗为16.若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______．〖答案〗〖解析〗由，则圆心为，半径为2，由直线被圆所截得的弦长为，故直线过圆心，所以且，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；（2）中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.解：（1）由题意得：，，故，因为焦点在轴上，故椭圆方程为.（2）如图，由题意得：，，所以，，结合焦点在轴上，故椭圆方程为：.18.已知平面内两点．（1）求的垂直平分线方程；（2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程．解：（1）易求得中点坐标为．又，所以的中垂线的斜率为，的中垂线的方程为即．（2）由（1）知，，所以直线的方程为，直线经过点得，综上：为和19.已知直线.（1）求证：直线经过定点，并求出定点P；（2）经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.解：（1）证明：将直线l的方程改写为，令，且，两式联立，解得，，所以直线过定点.（2）如图，设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，设点A，B的坐标分别是，，则有，，又A，B两点分别在直线，上，所以，，由以上四个式子解得，，即，所以直线AB的方程为.20.已知圆C过点，且圆心C在直线上．（1）求圆C的方程；（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆C的圆周，求反射光线的一般方程．解：（1）由，得直线AB的斜率为，线段中点所以，直线CD的方程为，即，联立，解得，即，所以半径，所以圆C的方程为；（2）由恰好平分圆C圆周，得经过圆心，设点M关于直线的对称点，则直线MN与直线垂直，且线段MN的中点在上，则有，解得，所以，所以直线CN即为直线，且，直线方程为，即.21.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-4x=0及点A（-1，0），B（1，2）．（1）若直线l平行于AB，与圆C相交于M，N两点，且MN=AB，求直线l的方程；（2）圆C上是否存在点P，使得PA2+PB2=12?若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．解：（1）圆C的标准方程为，所以圆心C（2，0），半径为2．因为l∥AB，且A（-1，0），B（1，2），所以直线l的斜率为．设直线l的方程为x-y+m=0，则圆心C到直线l的距离为．因为，而，所以，解得m=0或m=-4，所以直线l的方程为x-y=0或x-y-4=0．（2）假设圆C上存在点P，设P（x，y），则，所以PA2+PB2=，整理得x2+y2-2y-3=0，即x2+(y-1)2=4．因为，所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交，所以点P的个数为2．22.已知圆C与x轴相切于点T（1，0），与y轴正半轴交于两点A，B（B在A上方），且|AB|.（1）求圆C的标准方程；（2）过点A任作一条直线与圆O：x2+y2＝1相交于M，N两点.求证：为定值，并求出这个定值.解：（1）过C向y轴作垂线，垂足为P，则|CP|＝1，|BP|，|AB|，∴圆C的半径为|BC|，故C（1，），∴圆C标准方程为：(x-1)2+(y)2.（2）由（1）可知A（0，），B（0，2），设M（cosα，sinα），则∴，故为定值．江苏省盐城市2023-2024学年高二上学期第一次学情调研数学试题一、单选题：共8小题，每题5分，共40分.1.已知直线方程为，则该直线的倾斜角为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由得：，直线的斜率，直线的倾斜角为.

故选：C.2.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A.1 B. C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗将直线化为，因为直线与直线平行，设两条平行线间的距离为，所以根据两平行线之间的距离公式.故选：B.3.过点且与直线平行的直线方程是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意设所求方程为，因为直线经过点，所以，即，所以所求直线为.故选：A.4.以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.故选：B.5.直线与圆的位置关系是（）A.相交且过圆心 B.相切C.相离 D.相交但不过圆心〖答案〗D〖解析〗圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，又因为直线不过圆心，所以直线与圆相交但不过圆心．故选：D.6.已知圆的方程为，过点的该圆的所有弦中，最短弦的长为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗整理为，故圆心为，半径为，设，故当与圆的弦垂直时，弦最短，其中，由垂径定理得.故选：B7.已知点，，若圆：上存在点M，使得，则实数t的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意，点，，可得以为直径的圆的方程为，则圆心，半径，又由圆：，可得圆心，半径，两圆的圆心距为，要使得圆：上存在点M，使得，即两圆存在公共点，则满足，即，解得,所以实数t的取值范围是.故选：A.8.阿波罗尼斯（公元前262年~公元前190年），古希腊人，与阿基米德、欧几里得一起被誉为古希腊三大数学家．阿波罗尼斯研究了众多平面轨迹问题，其中阿波罗尼斯圆是他的论著中的一个著名问题：已知平面上两点A，B，则所有满足（，且）的点P的轨迹是一个圆．已知平面内的两个相异定点P，Q，动点M满足，记M的轨迹为C，若与C无公共点的直线l上存在点R，使得的最小值为6，且最大值为10，则C的长度为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗依题意，M的轨迹C是圆，设其圆心为点D，半径为r，显然直线l与圆C相离，令点D到直线l的距离为d，由圆的性质得：，解得，，所以C的长度为.故选：B.二、多选题：共4小题，每题5分，共20分，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗A：显然在上，且在x、y轴上的截距均为1，符合；B：显然在上，且在x、y轴上的截距均为3，符合；C：显然在上，且在x、y轴上的截距均为0，符合；D：不在上，不符合.故选：ABC.10.已知圆和圆的交点为A，B，则（）.A.两圆的圆心距B.直线AB的方程为C.圆上存在两点P和Q使得D.圆上的点到直线AB的最大距离为〖答案〗BD〖解析〗由圆和圆，可得圆和圆，则圆的圆心坐标为和半径为，圆的圆心坐标和半径，

对于A，因为两个圆相交，所以两圆的圆心距，故A错误；对于B，将两圆方程作差可得，即得公共弦AB的方程为，故B正确；对于C，直线AB经过圆的圆心坐标，所以线段AB是圆的直径，故圆中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆的圆心坐标为，半径为2，圆心到直线AB：的距离为，所以圆上的点到直线AB的最大距离为，故D正确．故选：BD.11.以下四个命题表述错误的是（）A.直线恒过定点B.圆上有且仅有个点到直线的距离都等于C.曲线与恰有四条公切线，则实数的取值范围为D.已知圆，为直线上一动点，过点向圆引条切线，其中为切点，则的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，因为直线，即，令，解得，即直线恒过定点，故A错误；对于B，因为圆的圆心是，半径为，则圆心到直线距离为，故圆上有且仅有个点到直线的距离都等于，故B正确；对于C，曲线，即，圆心为，半径为，曲线，即，圆心为，半径为，若两圆恰有四条公切线，则两圆相离，则，解得，故C错误；对于D，因为，故当最小时，最小，又最小值为圆心到直线的距离，即，故的最小值为，故D错误．故选：ACD．12.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，满足，顶点、，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（）A.的“欧拉线”方程为B.圆M上存在三个点到直线的距离为C.若点在圆M上，则的最小值是D.若圆M与圆有公共点，则〖答案〗BD〖解析〗因为，所以是等腰三角形，由三线合一得：的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设的欧拉线为，则过的中点，且与直线垂直，由、可得：的中点，即，，所以，故的方程为：，即，选项A错误；因为与圆相切，故，又圆心到的距离，所以圆M上存在三个点到直线的距离为，B选项正确；点在圆M上，表示圆上的点与的连线的斜率，当连线与圆相切且位于圆的下方时（如图所示），此时，最小，设直线：，由，解得：，因为，所以，即的最小值是，C选项错误；圆的圆心坐标为，半径，则要想圆M与圆有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故，解得：，故D选项正确.故选：BD.三、填空题：共4小题，每题5分，共20分.13.点到直线的距离为___________.〖答案〗〖解析〗由已知所求距离为．故〖答案〗为：．14.与圆同圆心，且过点的圆的方程是________.〖答案〗〖解析〗依题意，设所求圆的方程为，由于所求圆过点，所以，解得.所以所求圆的方程为．故〖答案〗：.15.已知实数满足方程，则的取值范围是_______.〖答案〗〖解析〗方程=化为,表示的图形是一个半圆,令,即y=kx,如图所示,当直线与半圆相切时,k=,所以的取值范围是故〖答案〗为16.若直线被圆所截得的弦长为，则的最小值为_______．〖答案〗〖解析〗由，则圆心为，半径为2，由直线被圆所截得的弦长为，故直线过圆心，所以且，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4；（2）中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.解：（1）由题意得：，，故，因为焦点在轴上，故椭圆方程为.（2）如图，由题意得：，，所以，，结合焦点在轴上，故椭圆方程为：.18.已知平面内两点．（1）求的垂直平分线方程；（2）直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程．解：（1）易求得中点坐标为．又，所以的中垂线的斜率为，的中垂线的方程为即．（2）由（1）知，，所以直线的方程为，直线经过点得，综上：为和19.已知直线.（1）求证：直线经过定点，并求出定点P；（2）经过点P有一条直线l，它夹在两条直线与之间的线段恰被P平分，求直线l的方程.解：（1）证明：将直线l的方程改写为，令，且，两式联立，解得，，所以直线过定点.（2）如图，设直线l夹在直线，之间的部分是AB，且AB被平分，设点A，B的坐标分别是，，则有，，又A，B两点分别在直线，上，所以，，由以上四个式子解得，，即，所以直线AB的方程为.20.已知圆C过点，且圆心C在直线