2023-2024学年江苏省徐州市邳州市高二上学期10月阶段性质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省徐州市邳州市2023-2024学年高二上学期10月阶段性质量检测数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页．满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线在轴上的截距为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗，取得到，即直线在轴上的截距为.故选：C.2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，故选：D.3.设为实数，若直线与直线平行，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为直线与直线平行，则，解得.故选：A.4.2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意：，，解得，，故离心率.故选：D.5.已知三点，且，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，则，解得.故选：D.6.设点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆，即，圆心，，圆，圆心，，，当最大时，最大，，此时.故选：C.7.设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗如下图所示：连接、，设，由对称性可知，为的中点，，因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，故为的中点，又因为，且、互相垂直且平分，所以，四边形为正方形，则，所以，，所以，该双曲线的离心率为.故选：A.8.已知实数满足，则的最大值为（）A. B.6 C. D.12〖答案〗C〖解析〗设，，，故，在圆上，且，表示到直线的距离之和，原点到直线的距离为，如图所示：，，是的中点，于，，，故在圆上，.故的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，集合，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由整理可得.因为集合，.（1）直线过点，则，解得，此时，直线与直线不平行；（2）若直线与平行，则，解得.综上所述，或.故选：BD.10.已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（）A.抛物线的方程是 B.C.当时， D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，抛物线的准线方程为，因为点在抛物线的准线上，则，可得，所以，抛物线的方程为，A错；对于B选项，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，可得，，则，所以，，B对；对于C选项，因为，即，则，因为，可得，则，则，此时，，C对；对于D选项，，同理可得，所以，，所以，，D对.故选：BCD.11.设为实数，已知圆，点在圆外，以线段为直径作圆，与圆相交于两点．下列结论正确的是（）A.直线与圆相切 B.当时，点在圆上C.直线与圆相离 D.当时，直线方程为〖答案〗ABD〖解析〗圆，圆心，半径，点在圆外，则，对选项A：在圆上，故，故直线与圆相切，正确；对选项B：，，，故，故点在圆上，正确；对选项C：到圆心的距离为，故相交，错误；对选项D：，半径，故圆的方程为：，两圆方程相减得到，即直线方程为，正确.故选：ABD.12.平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（）A.曲线的方程为 B.曲线关于原点对称C.面积的最大值为2 D.的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗对选项A：设，则，即，整理得到，即，正确；对选项B：当点在曲线，即，则也在曲线，正确；对选项C：设，，则，故，面积的最大值为，错误；对选项D：，解得，，故，正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把〖答案〗直接填写在答题卡相应位置上．13.若直线经过点，则的倾斜角为______．〖答案〗〖解析〗设的倾斜角为，，，则，，.故〖答案〗为：.14.写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：_______.①焦点在轴上；②离心率为.〖答案〗(〖答案〗不唯一).〖解析〗由于双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.因为双曲线的离心率为，所以，解得.所以写出一个同时满足下列条件①②双曲线的标准方程可以为.故〖答案〗为：(〖答案〗不唯一).15.已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，点在上，，则该椭圆的长轴长为______．〖答案〗〖解析〗由题意知，因为，将代入可得，故，由于，故∽，即得，即，，则，由得，即有，故该椭圆的长轴长为，故〖答案〗为：16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图所示：圆心为，取，则，，故，，，当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设为实数，已知双曲线与椭圆有相同焦点．（1）求的值；（2）若点在上，且，求的面积．解：（1）根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上，故，即，，解得或，又，故.（2）由（1）可得双曲线方程为：，设其左右焦点分别为，故可得，根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上，设，由双曲线定义可得：，即，又三角形为直角三角形，则，即，即，，故△的面积.18.在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点．（1）若线段中点的横坐标为2，求线段的长；（2）若直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．解：（1）设，由题意，抛物线中，焦点弦长.（2）由已知准线方程为，焦点为,直线的斜率显然存在，设直线的方程为，由得，∴，直线方程为，令得，又，，所以，，，显然异号，所以，所以与轴平行，即与抛物线的对称轴平行．19.在平面直角坐标系中，已知直线过两条直线和的交点．（1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程；（2）若直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点，求使的面积最小时直线的方程．解：（1）联立方程组，解得，所以直线过点.原点到直线的距离为2，斜率不存在时直线的方程是，此时原点到直线的距离为2符合题意；当斜率存在时，设直线方程为,则，可得，故直线的方程为或．（2）设直线的方程为，由（1）知，直线l过的点，则，因，所以，解得，当且仅当，即时，等号成立，则面积，所以面积的最小值为4，此时直线l的方程为，即.20.已知圆过点，且圆心在直线上．（1）求圆的方程；（2）若从点发出的光线经过直线反射，反射光线恰好平分圆的圆周，求反射光线所在直线的方程．解：（1），则的垂直平分线的斜率为，中点为，故的垂直平分线为，，解得，即圆心为，圆的半径，故圆方程.（2）反射光线恰好平分圆的圆周，故反射光线过圆心，设关于直线对称的点为，则，且，解得，即，，故反射光线为，即.21.设为实数，直线与直线相交于点．记的轨迹为曲线．（1）求证：；（2）求曲线的方程；（3）是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得的弦为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．（1）证明：因为直线的方程为，直线的方程，且，故（2）解：对于直线，其方程可变形为，由，解得，故直线过定点，对于直线，其方程可变形为，由，解得，故直线过定点，因为，设点，则，即，整理可得，所以，曲线的方程为.（3）解：设直线的方程为，设点、，联立可得，，即，解，由韦达定理可得，，，，由题意可知，，则，解得或（舍），故，所以，直线的方程为.22.已知椭圆的左焦点为，点在上．（1）求椭圆的方程；（2）过的两条互相垂直的直线分别交于两点和两点，若的中点分别为，证明：直线必过定点，并求出此定点坐标．解：（1）椭圆的左焦点为，，则右焦点为，点在椭圆上，取得到，即，又，解得，，（舍去负值），故椭圆方程为，（2）当两条直线斜率存在时，设的直线方程为，，，则，整理得到，，故，，即，同理可得：，则，故直线的方程为：，取，.故直线过定点，当有直线斜率不存在时，为轴，过点，综上所述：直线必过定点.江苏省徐州市邳州市2023-2024学年高二上学期10月阶段性质量检测数学试题注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页．满分为150分，考试时间为120分钟．考试结束后，请将答题卡交回．2．答题前，请您务必将自己的姓名、学校、考试号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗．作答非选择题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，必须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线在轴上的截距为（）A. B.2 C. D.4〖答案〗C〖解析〗，取得到，即直线在轴上的截距为.故选：C.2.抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，所以焦点坐标为，准线方程为：，故选：D.3.设为实数，若直线与直线平行，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为直线与直线平行，则，解得.故选：A.4.2023年7月20日中国太空探索又迈出重要一步，神州十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮成功完成出舱任务，为国家实验室的全面建成贡献了力量．假设神州十六号的飞行轨道可以看作以地球球心为左焦点的椭圆（如图中虚线所示），我们把飞行轨道的长轴端点中与地面上的点的最近距离叫近地距离，最远距离叫远地距离．设地球半径为，若神州十六号飞行轨道的近地距离为，远地距离为，则神州十六号的飞行轨道的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根据题意：，，解得，，故离心率.故选：D.5.已知三点，且，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，则，解得.故选：D.6.设点是圆上的动点，过点作圆的切线，切点为，则的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圆，即，圆心，，圆，圆心，，，当最大时，最大，，此时.故选：C.7.设点为双曲线的右焦点，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的渐近线交于两点（均异于点）．若，则双曲线的离心率为（）A. B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗如下图所示：连接、，设，由对称性可知，为的中点，，因为，则线段是以为直径的圆的一条直径，则为圆心，故为的中点，又因为，且、互相垂直且平分，所以，四边形为正方形，则，所以，，所以，该双曲线的离心率为.故选：A.8.已知实数满足，则的最大值为（）A. B.6 C. D.12〖答案〗C〖解析〗设，，，故，在圆上，且，表示到直线的距离之和，原点到直线的距离为，如图所示：，，是的中点，于，，，故在圆上，.故的最大值为.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知集合，集合，且，则（）A. B. C. D.〖答案〗BD〖解析〗由整理可得.因为集合，.（1）直线过点，则，解得，此时，直线与直线不平行；（2）若直线与平行，则，解得.综上所述，或.故选：BD.10.已知点在抛物线的准线上，过抛物线的焦点作直线交于、两点，则（）A.抛物线的方程是 B.C.当时， D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，抛物线的准线方程为，因为点在抛物线的准线上，则，可得，所以，抛物线的方程为，A错；对于B选项，抛物线的焦点为，若直线与轴重合，此时，直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，所以，直线不与轴重合，设直线的方程为，联立，可得，，则，所以，，B对；对于C选项，因为，即，则，因为，可得，则，则，此时，，C对；对于D选项，，同理可得，所以，，所以，，D对.故选：BCD.11.设为实数，已知圆，点在圆外，以线段为直径作圆，与圆相交于两点．下列结论正确的是（）A.直线与圆相切 B.当时，点在圆上C.直线与圆相离 D.当时，直线方程为〖答案〗ABD〖解析〗圆，圆心，半径，点在圆外，则，对选项A：在圆上，故，故直线与圆相切，正确；对选项B：，，，故，故点在圆上，正确；对选项C：到圆心的距离为，故相交，错误；对选项D：，半径，故圆的方程为：，两圆方程相减得到，即直线方程为，正确.故选：ABD.12.平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线（Cassinioval）．在平面直角坐标系中，，动点满足，其轨迹为曲线，则（）A.曲线的方程为 B.曲线关于原点对称C.面积的最大值为2 D.的取值范围为〖答案〗ABD〖解析〗对选项A：设，则，即，整理得到，即，正确；对选项B：当点在曲线，即，则也在曲线，正确；对选项C：设，，则，故，面积的最大值为，错误；对选项D：，解得，，故，正确；故选：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．请把〖答案〗直接填写在答题卡相应位置上．13.若直线经过点，则的倾斜角为______．〖答案〗〖解析〗设的倾斜角为，，，则，，.故〖答案〗为：.14.写出一个同时满足下列条件①②的双曲线的标准方程：_______.①焦点在轴上；②离心率为.〖答案〗(〖答案〗不唯一).〖解析〗由于双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.因为双曲线的离心率为，所以，解得.所以写出一个同时满足下列条件①②双曲线的标准方程可以为.故〖答案〗为：(〖答案〗不唯一).15.已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，上顶点为，点在上，，则该椭圆的长轴长为______．〖答案〗〖解析〗由题意知，因为，将代入可得，故，由于，故∽，即得，即，，则，由得，即有，故该椭圆的长轴长为，故〖答案〗为：16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆．已知圆上的动点和定点，则的最小值为______．〖答案〗〖解析〗如图所示：圆心为，取，则，，故，，，当且仅当三点共线，且在线段上时等号成立，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.设为实数，已知双曲线与椭圆有相同焦点．（1）求的值；（2）若点在上，且，求的面积．解：（1）根据题意，显然，且双曲线的焦点在轴上，故，即，，解得或，又，故.（2）由（1）可得双曲线方程为：，设其左右焦点分别为，故可得，根据双曲线的对称性，不妨设点在双曲线的左支上，设，由双曲线定义可得：，即，又三角形为直角三角形，则，即，即，，故△的面积.18.在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与抛物线交于两点．（1）若线段中点的横坐标为2，求线段的长；（2）若直线交抛物线的准线于点，求证：直线平行于抛物线的对称轴．解：（1）设，由题意，抛物线中，焦点弦长.（2）由已知准线方程为，焦点为,直线的斜率显然存在，设直线的方程为，由得，∴，直线方程为，令得，又，，所以，，，显然异号，所以，所以与轴平行，即与抛物线的对称轴平行．19.在平面直角坐标系中，已知直线过两条直线和的交点．（1）若原点到直线的距离为2，求直线的方程；（2）若直线与轴正半轴，轴正半轴分别交于两点，求使的面积最小时直线的方程．解：（1）联立方程组，解得，所以直线过点.原