上海市浦东新区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷

上海市浦东新区2023-2024学年高二下学期期末质量检测数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1．（3分）2与8的等比中项是．2．（3分）若f（x）＝2x3，则f′（2）＝．3．（3分）等差数列{an}中a3＝2，a9＝﹣10，则a4＝．4．（3分）f（x）＝x2sinx，则f′（x）＝．5．（3分）已知等差数列{an}中，a1＝50，a8＝15，则S8＝．6．（3分）函数f（x）＝x3﹣x﹣2的驻点是．7．（3分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝．8．（3分）函数的极值点的个数是．9．（3分）已知数列{an}满足an+1＝2an，a2＝4，则数列{an}的前4项和等于．10．（3分）函数y＝﹣x3+12x﹣1，x∈[0，3]的值域是．11．（3分）在数列1、x、y、15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是．12．（3分）已知函数f（x）＝x2+lnx，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有≥4恒成立，则a的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个13．（3分）下列说法正确的是（）A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值14．（3分）已知{an}是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（）A．{a2n} B．{an•an+1} C．{log2an} D．{}15．（3分）函数y＝f（x）的图象如图所示，y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则不等式的解集为（）A．（﹣3，﹣1） B．（0，1） C．（﹣3，﹣1）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）16．（3分）数列{an}满足a1a2…an＝n2．给出如下两个结论：①a5＝；②S5＝．则下面判断正确的为（）A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤。17．（8分）（1）求函数f（x）＝x3+4x的单调区间．（2）数列{an}的通项公式是，证明该数列是严格减数列．18．（10分）已知数列{an}为等比数列，a1＝1，a3＝3a2．（1）求a5的值；（2）求数列{an+2}的前n项和．19．（10分）圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？20．（12分）已知函数f（x）＝x+ln（ax）+xex．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率；（2）当a＝﹣1时，讨论f（x）的单调性．21．（12分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1＝b1＝﹣4，a4＝2，a5＝8b4．（1）求通项公式{an}，{bn}；（2）求满足am•bm＞1的正整数m．参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。1．（3分）2与8的等比中项是±4．【解答】解：2与8的等比中项是：G＝＝±4．故答案为：±4．2．（3分）若f（x）＝2x3，则f′（2）＝24．【解答】解：因为f（x）＝2x3，所以f′（x）＝6x2，则f′（2）＝24．故答案为：24．3．（3分）等差数列{an}中a3＝2，a9＝﹣10，则a4＝0．【解答】解：∵等差数列{an}中a3＝2，a9＝﹣10，∴等差数列的公差d＝＝＝﹣2，∴a4＝a3+d＝2+（﹣2）＝0．故答案为：0．4．（3分）f（x）＝x2sinx，则f′（x）＝2xsinx+x2cosx．【解答】解：因为f（x）＝x2sinx，则f′（x）＝2xsinx+x2cosx．故答案为：2xsinx+x2cosx．5．（3分）已知等差数列{an}中，a1＝50，a8＝15，则S8＝260．【解答】解：设等差数列的公差为d，∵a1＝50，a8＝15，∴．∴．故答案为：260．6．（3分）函数f（x）＝x3﹣x﹣2的驻点是1或﹣1．【解答】解：因为f（x）＝x3﹣x﹣2，所以f′（x）＝x2﹣1，令f′（x）＝0，可得x＝1或x＝﹣1．故答案为：1或﹣1．7．（3分）已知数列{an}的前n项和Sn＝n2+n，则an＝2n．【解答】解：∵数列{an}的前n项和，∴a1＝S1＝1+1＝2，n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2+n）﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n，n＝1时，上式成立，∴an＝2n．故答案为：2n．8．（3分）函数的极值点的个数是0．【解答】解：函数的定义域为{x|x≠0}，y′＝1+＞0，所以函数在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增，所以函数无极值．故答案为：0．9．（3分）已知数列{an}满足an+1＝2an，a2＝4，则数列{an}的前4项和等于30．【解答】解：∵an+1＝2an，a2＝4，∴a1＝＝2，又＝2，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列，∴数列{an}的前4项和为＝30．故答案为：30．10．（3分）函数y＝﹣x3+12x﹣1，x∈[0，3]的值域是[﹣1，15]．【解答】解：函数y＝﹣x3+12x﹣1，x∈[0，3]，可得y′＝﹣3x2+12，令﹣3x2+12＝0，解得x＝±2，当x∈（0，2）时，y′＞0，函数是增函数，当x∈（2，3）时，y′＜0，函数是减函数，所以x＝2函数取得极大值，f（0）＝﹣1，f（3）＝﹣27+36﹣1＝8，f（2）＝﹣8+24﹣1＝15．函数y＝﹣x3+12x﹣1，x∈[0，3]的值域是：[﹣1，15]．故答案为：[﹣1，15]．11．（3分）在数列1、x、y、15中，若1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，则x、y的值分别是或．【解答】解：∵1、x、y成等比数列，且x、y、15成等差数列，∴x2＝y，2y＝x+15，把y＝x2代入2y＝x+15得，2x2＝x+15，解得x＝3或﹣，当x＝3时，y＝9，此时1、3、9成等比数列，且3、9、15成等差数列，符合题意，当x＝﹣时，y＝，此时1、﹣、成等比数列，且﹣、、15成等差数列，符合题意，∴x、y的值分别是或．故答案为：或．12．（3分）已知函数f（x）＝x2+lnx，若对任意两个不等的正数x1，x2，都有≥4恒成立，则a的取值范围为[4，+∞）．【解答】解：因为对于任意两个不等的正数x1，x2，都有≥4恒成立，所以不妨设x1＞x2，则f（x1）﹣4x1≥f（x2）﹣4x2，令g（x）＝f（x）﹣4x，则g（x）在（0，+∞）上单调递增，g′（x）＝ax+﹣4≥0，在（0，+∞）上恒成立，所以a≥﹣+在（0，+∞）上恒成立，而﹣+＝﹣（﹣2）2+4，当x＝时，﹣+取得最大值为4，所以a≥4，所以a的取值范围为[4，+∞）．故答案为：[4，+∞）．二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个13．（3分）下列说法正确的是（）A．函数在某区间上的极大值不会小于它的极小值 B．函数在某区间上的最大值不会小于它的最小值 C．函数在某区间上的极大值就是它在该区间上的最大值 D．函数在某区间上的最大值就是它在该区间上的极大值【解答】解：如图，为函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象：对于选项A：极大值f（x1）＜极小值f（x4），故A错误；对于选项B：根据最大值的概念可知，函数的最大值一定大于或等于它的最小值，故B正确；如图所示，函数f（x）在区间[a，b]上的极大值f（x3），而不是最大值，故C错误；同时，最大值f（b）不是极大值，故D也错误．故选：B．14．（3分）已知{an}是等差数列，则下列数列必为等比数列的是（）A．{a2n} B．{an•an+1} C．{log2an} D．{}【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，对于A，当数列{an}是各项都为0的等差数列时，{a2n}不是等比数列，故A错误；对于B，当数列{an}是各项都为0的等差数列时，{an•an+1}不是等比数列，故B错误；对于C，当数列{an}是各项都为0的等差数列时，log2an无意义，故C错误；对于D，因为＝＝2d为常数，所以数列一定是等比数列，故D正确．故选：D．15．（3分）函数y＝f（x）的图象如图所示，y＝f′（x）为函数y＝f（x）的导函数，则不等式的解集为（）A．（﹣3，﹣1） B．（0，1） C．（﹣3，﹣1）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）【解答】解：由图象可知，在区间（﹣∞，﹣3），（﹣1，1）上f′（x）＜0，在区间（﹣3，﹣1），（1，+∞）上f′（x）＞0，∴不等式的解集为（﹣3，﹣1）∪（0，1）．故选：C．16．（3分）数列{an}满足a1a2…an＝n2．给出如下两个结论：①a5＝；②S5＝．则下面判断正确的为（）A．①对②错 B．①错②对 C．①②都对 D．①②都错【解答】解：因为a1a2…an＝n2，所以a1a2…an+1＝（1+n）2，两式相除得，an+1＝（）2，故a5＝，①正确；S5＝a1+a2+a3+a4+a5＝1+22+++＝，②正确．故选：C．三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤。17．（8分）（1）求函数f（x）＝x3+4x的单调区间．（2）数列{an}的通项公式是，证明该数列是严格减数列．【解答】（1）解：f′（x）＝3x2+4＞0在R上恒成立，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞），没有单调递减区间；（2）证明：因为，所以an+1﹣an＝2+（）n+1﹣2﹣（）n＝﹣（）n＜0，所以an+1＜an，故数列{an}是严格减数列．18．（10分）已知数列{an}为等比数列，a1＝1，a3＝3a2．（1）求a5的值；（2）求数列{an+2}的前n项和．【解答】解：（1）等比数列中，a3＝a2q＝3a2，得q＝3．因为a1＝1，得：（n∈N*），即；（2）an+2＝3n﹣1+2，令Tn为其前n项和，则：＝＝（n∈N*）．19．（10分）圆锥的高为H，底面圆的半径为R，里面有一个内接圆柱，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆周在圆锥的侧面上，如图所示．当圆柱的高h为多少时，圆柱的体积最大？最大为多少？【解答】解：设圆柱的底面圆的半径为r，又圆锥的高为H，底面圆的半径为R，∴，∴r＝，∴圆柱的体积为πr2h＝，＝≤＝，当且仅当H﹣h＝2h，即h＝时，等号成立，∴圆柱的体积最大为．20．（12分）已知函数f（x）＝x+ln（ax）+xex．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率；（2）当a＝﹣1时，讨论f（x）的单调性．【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝x+lnx+xex，所以曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为2e+2．（2）当a＝﹣1时，f（x）＝x+ln（﹣x）﹣xex，易知f（x）的定义域为（﹣∞，0），又，因为x∈（﹣∞，0），所以，所以x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）；单调递减区间为（﹣1，0）．21．（12分）已知等差数列{an}和等比数列{bn}，a1＝b1＝﹣4，a4＝2，a5＝8b4．（1）求通项公式{an}，{bn}；（2）求满足am•bm＞1的正整数m．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由a1＝b1＝﹣4，a4＝2，a5＝8b4，可得﹣4+3d＝