小学数学解题研究（小学教育专业）全套教学课件

小学数学解题研究全套可编辑PPT课件第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章小学数学解题概述

小学数学解题常用的思想方法

计算问题应用问题图形与几何初等数论推理与反驳

数学名题选讲第一章小学数学解题概述知识目标1.理解小学数学解题的相关概念。2.了解小学数学解题的意义及作用。能力目标1.培养数学解题的基本思维能力。2.提高学生从事小学教师职业所必备的专业素养。思政目标了解数学解题的育人功能,培养辩证唯物主义观点。第一节有关概念的初步界定一、数学题1.数学题的定义数学题(简称题)是指数学上要求回答或解释的题目、需要研究或解决的矛盾。对于数学家而言,未知的数学题被称为题,一些解决了的数学题被称为定理或公式。一、数学题也包括课堂提问、例题、练习、课外作业和测验考试题及一些研究性、应用性课题等内容。对于学生而言,结论已知的数学题目也称为题。这时候的数学题是“要求回答或解释的题目”,指的是为实现教学目标而要求师生解答的问题系统,既包括需要计算的答案等内容、需要证明的结论(含定理、公式)、需要画出的图形、需要判断真假的命题、需要建立的概念、需要解决的实际问题等内容一、数学题单击添加小标题2.数学题的特点乔治·波利亚在《数学的发现》中将数学问题理解为“有意识地寻求某一适当的行动,以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的”,“解决问题是寻找这种活动”。1986年第六届国际数学教育大会的一份报告指出:“一个(数学)问题是一个对人具有智力挑战特征的、没有现成的直接方法、程序或算法的未解决的情境。”一、数学题单击添加小标题例如,鸡兔同笼问题可能对于小学低年级学生构成问题;对于中、高年级的小学生来说,可以通过假设法进行“问题解决”。对于初中高年级学生来说,因为他们已学习了二元一次方程组及一元二次方程的解法,鸡兔同笼问题就不再构成问题。一、数学题单击添加小标题在小学数学中,传统的数学练习题的内容是众人熟知的,学生通过对教材例题的模仿和操作练习就能完成;其结构是常规的,答案是确定的,条件不多不少,可以按照现成的公式或常规的思路得到解决。传统数学题的主要目的在于巩固基础和变式训练,具有接受性、封闭性和确定性的特点。一、数学题单击添加小标题在新课改背景下,小学数学题一方面更重视生活化,把生活实践当作学生认识发展的载体,把数学习题与生活实践紧密地联系起来,使学生认识到学习数学的有用、有趣,使其感受到学习数学的愉悦另一方面更强化思维能力、科学素养及探究精神的培养,通过数学游戏、名题趣题及数学家的故事等多种形式吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,树立学生在学习中的主导地位,从而达到引起学生主动探究的目的。一、数学题3.小学数学题的种类(2)按习题的结构差异可将其分为封闭题和开放题等。(1)按习题的形式差异可将其分为式题、文字题、应用题、作图题等。(4)按教学需要的差异可将其分为基本性练习题、单一性练习题、综合性练习题、准备性练习题、针对性练习题、对比性练习题、尝试性练习题、发展性练习题、创造性练习题、诊断性练习题、变式性练习题、实践性练习题等。(3)按习题的功能差异可将其分为基本题、拓展题、探究题等。二、解数学题解题就是解决问题,即求出数学题的答案,这个答案在数学上也称为“解”。

所以,解题就是找出题的解的活动。学生算出习题的答案,教师讲完定理的证明,由数学命题得出肯定或否定的结论,构建出实际问题的模型等,都称为解题。数学家的解题是一个创造和发现的过程,数学教学中的解题是一个再创造和再发现的过程。二、解数学题

数学的解题过程是一条寻找已知通往未知的通道,是一种探究的过程。它从问题中提取信息并将问题置于知识背景之中,忽略无用的、非本质的因素,用相关的定义、概念和知识对问题做出明确的表述,以寻求从已知到目标的合理途径。在这个过程中有猜测、有联想、有顿悟,最终有所发现,得到结果。(一)解题教学的基本含义解题教学是指学生在教师的引导下,通过对典型数学题的学习,探究、获得数学问题解决的基本规律,引导学生学会“数学思维”的教学过程。三、解题教学三、解题教学在数学教学过程中,解题是一种最基本的活动形式,无论是数学概念的形成、数学命题的掌握、数学方法与技能的获得,还是学生能力的培养与发展,都要通过解题活动来完成。(二)解题教学的基本形式解题教学包括例题教学和习题教学。例题教学往往是以教师为主导的示范性活动,在这一活动中,教师引导学生将概念、命题应用于数学问题的解决过程。三、解题教学习题教学则是以学生为主体的活动,在这一活动中学生按照教师的示范和通过对例题的模仿,把数学知识应用于解题实践之中。三、解题教学三、解题教学(三)解题教学的基本要求12345目的性示范性启发性变通性方法性

例题、习题的选配应该有明确的目的性,针对某一概念、法则、性质或方法的应用要做到有的放矢。1

解题教学中需要教师的示范,让学生通过例题的教学,遵循和模仿基本的解题方法,掌握基本的解题模式和解题技能,能用正确的格式表达解题过程。2

解题教学应充满启发性思维,能充分发挥学生的主体作用,引导学生积极思考。3三、解题教学12345目的性示范性启发性变通性方法性

解题教学中提倡由特殊到一般、抽象概括、总结规律、推广应用等活动,使学生弄清基本规律的来龙去脉,使其思维得到优化、概括能力得到发展。教师要采用一题多解、变式训练等不同的方式和角度分析问题、解决问题,以培养学生选择最优解法的能力。4

教师在解题教学时,不仅要给学生讲解题目的解法,更要注重讲解解法的发现过程,避免学生只知其然而不知其所以然,只会简单机械地模仿。教师要重视解题的思维过程,把解题思路的探索过程(包括成功的思路和失败的尝试)呈现给学生,在解题中渗透数学思想,引导学生学会解题,提高其思维能力。5四、解题策略数学的解题策略是为了实现解题目标而采取的方针。解题策略的思维基础是逻辑思维、形象思维和直觉思维。戴再平在《数学习题理论》中提出了八个解题策略:枚举法、模式识别、问题转化、中途点、以退求进、推进到一般、从整体看问题、正难则反。任樟辉在《数学思维论》中提出了十个解题策略:以简驭繁、进退互用、数形迁移、化生为熟、正难则反、倒顺相通、动静转换、分合相辅、引参求变、以美启真。并且认为数学思维策略的研究就是数学解题策略的研究。四、解题策略罗增儒在《数学解题学引论》中提出了十个解题策略:模式识别、映射化归、差异分析、分合并用、进退互化、正反相辅、动静转化、数形结合、有效增设、以美启真。解题策略介于具体的求解方法和抽象的解题思想之间,是思想转化为方法的桥梁。一方面,它是用来指导解题过程的具体方法;另一方面,它是运用解题方法的方法、寻找解题方法的方法、创造解题方法的方法。思考与练习(1)请你对小学数学题进行分类,说出你的分类标准。(2)你觉得在解题教学过程中教师应该注意哪些问题?请通过案例进行说明。第二节小学数学解题的作用及意义一、解题是数学的核心内容问题是数学的心脏,解题是数学研究与数学学习的主要活动。美国数学家哈尔莫斯认为:“数学家存在的主要理由就是解问题,数学的真正的组成部分是问题和解。一、解题是数学的核心内容对于数学工作者来说,“题”是研究的对象,“解”是研究的目标,“解题”是数学活动的基本形式和主要内容,“解题”也是数学活动的存在目的和兴奋中心。对于数学教学而言,不仅要把“题”作为研究的对象,把“解”作为研究的目标,而且要把“解题”也作为研究的对象,把“开发智力、促进人的发展”作为数学学习活动的目标。解题是真正发生在数学教育中的关键环节。！二、解题是学生掌握知识、形成数学能力的基本途径初学数学概念、公式、法则的小学生基础薄弱,对知识的理解不够深入,容易产生错误的观点。解题教学能使教师及时发现学生学习过程中存在的问题,并及时纠正其错误的观点,帮助其正确掌握知识。另外,小学生数学概念的掌握、数学技能的熟练、数学定理的理解、数学能力的培养及数学素质的提高等都离不开解题实践活动。三、解题是培养学生思维能力和良好心理品质的重要方法概念、定理、法则、公式同属于数学对象,拥有着共同的属性,可用于解决一系列的数学问题。通过解题教学,学生不仅可以加深对概念、定理、法则、公式的理解,达到思维训练的目的,还可以形成数学基本技能,为以后更高难度的数学学习奠定坚实的基础。三、解题是培养学生思维能力和良好心理品质的重要方法经常进行数学解题练习既可以培养学生认真负责、有始有终、一丝不苟的优良品质,也可以培养学生形成勇于克服困难的顽强意志和主动完成任务的工作精神。这些良好的心理品质对学生的成长及以后的工作都极为重要。四、解题是评价学生学习效果的重要方式

“解题教学及对学生的解题作业的分析可以帮助教师检查学生的认知水平,了解学生的解题能力,为其教学内容的设计和教法的调整提供依据。

尽管解题不是唯一的评价学生数学学习效果的方式,但它是当前用得最多、操作最方便、公众认可度较高的一种方式。可以这样认为:解题贯串于认知主体的整个学习生活乃至整个生命历程,它既是内在的个人追求,也是外在的工作需要。思考与练习(1)数学解题活动对于小学生学习数学有哪些作用?(2)影响小学生数学解题能力提升的因素有哪些?第三节小学数学解题的要求及步骤一、解题程序(一)国外对解题程序的研究在国外诸多对解题程序的研究成果中,较为著名的是乔治·波利亚的“怎样解题表”,它包括“弄清问题”“拟订计划”“实现计划”和“回顾”四个步骤1.弄清问题弄清问题即弄清问题未知的是什么,已知的是什么,条件是什么,条件是否充分或者多余一、解题程序2.拟订计划拟订计划即找出已知与未知之间的联系3.实现计划实现计划即实现求解的计划,检验每一步骤,确定这一步骤的正确性,并证明所做的每一步骤。4.回顾回顾即及时总结解题的经验与教训一、解题程序(二)国内对解题程序的研究在国内诸多对数学解题程序的研究成果中,比较著名的是解题动态流程及解题机制的控制论模型。1.解题动态流程一、解题程序

面对一个问题,首先应审题,并对其进行模式识别。如果有现成的模式,则直接给出解答;如果没有现成的模式,则选择合适的解题策略,接着判断阶梯问题是否有效,有效就得出解答,无效再回到审题环节重新进行解题。在审题时,无论是否有现成的模式,最后得到的解答都需要进行验证,如图1-1所示。2.解题机制的控制论模型一、解题程序

根据控制论的“反馈-控制”原理,有专家提出了解题机制的控制论模型,如图1-2所示。

该模型要求解题者首先按照问题的要求确立一个解题目标,然后比较初始条件、中间状态与解题目标之间的差异,以此来调整和确定解题方向,使差异逐步缩小,最终实现解题目标。传统的解题训练通常需要经历以下四个阶段。二、解题训练1.模仿

学生通过简单地模仿教师的示范或教科书的例题去解题。这是一个模仿者通过被模仿者的行为获得相应的表象,从而产生类似结果的过程,在这一过程中学生通过解题体验初步理解解题方法。2.变式

变式即学生在简单模仿的基础上迈出主动实践的一步,其主要表现为学生做足够数量的形式变化的习题,其本质是学生对所学的基础知识进行操作性活动与初步应用。学习数学虽然不能单靠模仿和练习,但这两步却是不可或缺的。二、解题训练3.领悟

领悟即学生在模仿与变式的基础上产生新的理解,是当事者在解题实践中领悟到了知识的深层结构,具体表现为当事者的豁然开朗和恍然大悟。这种领悟常常是直觉性的,“只可意会,不可言传”。单击添加小标题4.提升

提升是学生在学习数学过程中从自发到自觉、从被动到主动、从感性到理性的飞跃阶段,具体表现为解题思路的主动设计、模式的形成、知识的应用及解题策略的自觉调控。思考与练习(1)解题教学对学生以后的发展有什么作用?(2)请自行设计一道小学数学题,用乔治·波利亚的“怎样解题

表”的四个步骤解题并进行模拟教学。谢谢观看小学数学解题研究第二章小学数学解题常用的思想方法知识目标了解小学数学解题常用的思想方法。能力目标能合理运用正确的思想方法解决小学数学问题。思政目标通过对中国古典数学名题的介绍,增加读者对中国数学文化的认知和认同。第一节分析与综合一、主要理论分析法与综合法是逻辑思维的基本形式,是解决数学问题的一般方法。一、主要理论分析法,是把研究对象分解为各个组成部分、方面、层次和因素,分别加以考察,从而认识事物各个方面的本质属性。即从问题的结论出发,不断寻求解决问题所需的条件,直到最终找到已知事实的方法。由此可知,分析法的特点是:从结论入手,不断寻求解决问题的条件,从“结论”探求“需知”,逐步向“已知”接近,其逐步推理的过程实际上就是寻求结论的充分条件的过程。一、主要理论

综合法,是把研究对象的各个部分、方面、层次和因素连接起来做总体研究,从而认识和把握事物的本质规律。即从问题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,得到一系列的可知条件,最后得出结论。由此可知,综合法的特点是:把认识对象的各个部分联系起来加以研究,从“已知”推出“可知”,逐步推向“结论”,其逐步推理的过程实际上就是寻求已知的必要条件的过程。一、主要理论

综上可以看出,分析法与综合法是两种不同的逻辑方法,在解题思路上是相反的,但在实际的解题过程中,二者之间又是互相联系、互相转化的。分析法是由果溯因,有利于思考;综合法是由因索果,适用于表述。因此,分析法与综合法是解决数学问题行之有效的方法和策略。解题者在解决问题时,可以先用分析法探寻解题思路,再用综合法进行有条理的表述。二、教学实例分享单击添加小标题【例2-1】一条水渠长400米,已经修了5天,每天修50米,照这样计算,还需要几天修完?【分析】本题可以分别用分析法和综合法的思路进行解题。1.用分析法解题(1)分析法一。想要知道还需几天修完,必须知道剩下多少米和每天修多少米(50米);想要知道剩下多少米,必须知道一共要修多少米(400米)和已经修了多少米;想要知道已经修了多少米,必须知道每天修多少米(50米)和已经修了几天(5天)。由于最后这两个条件都是已知条件,那么该问题就迎刃而解。二、教学实例分享单击添加小标题【解答】列综合算式:(400-50×5)÷50=(400-250)÷50=150÷50=3(天)答:还需要3天修完。二、教学实例分享(2)分析法二。想要知道还需几天修完,必须知道一共修的天数和已经修的天数(5天);想要知道一共修的天数,必须知道一共修的米数(400米)和每天修的米数(50米)。由于最后这两个条件都是已知条件,那么该问题就迎刃而解了。【解答】列综合算式:400÷50-5=8-5=3(天)答:还需要3天修完。二、教学实例分享

已知水渠一共要修的米数(400米)和每天修的米数(50米),可以求出一共需要几天修完;知道一共需要几天修完和已经修的天数(5天)后,便可以求出还要几天修完。2.用综合法解题【解答】列综合算式:400÷50-5=8-5=3(天)答:还需要3天修完。二、教学实例分享单击添加小标题【例2-2】小东期末考试的语文、英语、科学的平均成绩是76分,数学成绩公布后,他的平均成绩提高了3分。小东的数学成绩是多少分?【分析】本题可以用分析与综合的思路进行求解。二、教学实例分享【解答】列综合算式:答:小东的数学成绩是88分。(76+3)×4-76×3=79×4-76×3=88(分)

要求数学成绩是多少分,可以用4科的总成绩减去除数学外其他3科的总成绩。由于4科的平均分比除数学外其他3科的平均分高3分,所以4科的平均分是76+3=79分。二、教学实例分享单击添加小标题【例2-3】将两个大小相同的正方形拼成一个长方形后,它的周长比原来两个正方形的周长的和减少了4厘米。原来正方形的周长是多少厘米?【分析】本题可以用分析与综合的思路进行求解。二、教学实例分享【解答】答:原来正方形的周长是8厘米。4÷2×4=8(厘米)

因为当两个大小相同的正方形拼成一个长方形后,有两条边会重合在长方形内,所以长方形的周长才会减少,其减少的长度就是原来正方形的两条边的长度之和。从而可以求出原正方形的边长,再由周长计算公式算出原正方形的周长。二、教学实例分享单击添加小标题【例2-4】(第六届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛试题)李师傅加工一批零件,如果每天做50个,要比原计划推迟8天完成;如果每天做60个,就可以提前5天完成。这批零件共有多少个?【分析】本题可以用分析与综合的思路或方程法进行求解。二、教学实例分享【解答】1.用分析与综合的思路解题

要求这批零件共有多少个,可以求出在原计划的天数内两种不同情况下所做的零件数的差,而造成这个差的原因是李师傅每天多做了10个,由此便可求出原计划的天数是多少天,接着可以求出零件的总数。如果每天做50个,那么在原计划的天数内少做了50×8=400(个)如果每天做60个,那么在原计划的天数内多做了60×5=300(个)二、教学实例分享

后者比前者在原计划的天数内一共多做了700个,是因为每天多做了10个,所以原计划的天数是700÷10=70(天)那么这批零件共有70×60-300=3900(个)或70×50+400=3900(个)答:这批零件共有3900个。二、教学实例分享单击添加小标题【例2-5】一个大型方队,外层每边30人,内层每边10人,中间的位置由16人进行体操表演。这个方队共有多少人?【分析】方队外层每边30人,内层每边10人,可推算出实有的层数中间空心方阵的人数,将实心方阵的人数减去空心方阵的人数,再加上中间进行体操表演的16人,就能求出这个方队的总人数。302-(10-2)2+16=900-64+16=852(人)二、教学实例分享【分析2】也可先求出一共有几层,再求出中空方阵的人数,最后求出方队的总人数。[30-(10-2)]÷2=11(层)11层共有人数:30×11×2+(30-11×2)×11×2=836(人)总人数:836+16=852(人)答:方队的总人数为852人。三、本课小结单击添加小标题

在解答数学问题时,分析法一般是从局部、个别去研究问题,而综合法则是从全局、整体去把握问题。如果没有分析,那么认识就无法深入,对问题的认识就只能局限于表面三、本课小结单击添加小标题如果只有分析,那么认识就只能局限于枝节,而不能统观全局。因此,在解题时使用综合法必须以分析法为基础,使用分析法必须以综合法为指导。思考与练习(1)超市将20千克奶糖和10千克水果糖混合成什锦糖出售。若每千克奶糖卖100元,每千克水果糖卖40元,那么每千克什锦糖应卖多少元?(2)小英前5次数学测验的平均成绩是88分,为了使平均成绩达到92.5分,小英要连续考多少次满分(假设每次测验的满分是100分)?(3)将362个苹果和234个梨等分给若干位小朋友,最后多了5个苹果和3个梨,每位微课部分题目讲解(一)小朋友分到的苹果和梨的总数不超过30个,那么小朋友一共有多少人?思考与练习(4)李叔叔到外地出差,5天没有回家。等到他回家后,一次撕下这5天的日历,发现这5天日期数的和刚好是40。李叔叔回家这天是几号?(5)某商场以每台1800元的相同价格售出两台不同牌号的录音机,其中一台盈利20%,另一台亏损20%,结果是盈利、亏损还是不盈不亏?第二节观察与归纳一、主要理论

归纳法是通过对特殊对象的研究得出一般性结论的方法。从思维方向看,归纳是由部分到整体,由个别到一般的推理形式。归纳法在发现事物规律、探求问题解决途径时有着重要作用,许多数学概念和命题都是在归纳的基础上概括形成的一般结论。一、主要理论

在研究问题的范围内,按照研究的对象是否完全,可以把归纳法分为完全归纳法与不完全归纳法。

归纳往往从观察开始,观察是发现问题、解决问题的基础。生物学家会观察各种生物的生活,物理学家会观察各种晶体的形状,数学家会观察各种形和数……一、主要理论

正如著名数学家乔治·波利亚所言:“先收集有关的观察材料,考察它们并加以比较,注意到一些规律,最后把零零碎碎的细节归纳成有明显意义的整体。”

在解题过程中,观察并不是简单地观看,而是有意识、有目的地搜索信息和捕获规律,发现题目中隐含着的某种特征,并由此进行分析、联想、构造、变换,获得解决问题的途径或优化问题的解法。一、主要理论(2)综合分析,从相同的性质中归纳猜想出具有一般意义的结论。(1)观察若干具体实例,发现某些相同的性质。(3)检验结论的正确性,确认结论。用观察与归纳法解决问题的一般步骤如下:二、教学实例分享解题就是解决问题,即求出数学题的答案,这个答案在数学上也称为“解”。

【例2-6】观察A,B,C三幅图的图形变化,在D图中填上适当的图形。二、教学实例分享解题就是解决问题,即求出数学题的答案,这个答案在数学上也称为“解”。

【解答】D图如下所示:【分析】观察A,B,C三幅图中图形的变化情况可以发现所有的图形都是按逆时针方向进行位置变化的。如“☆”是按“左上→左下→右下”的位置进行变化的,由此可知,D图中的“☆”的位置应在右上角。以此类推,便可以得到其他三种图形在D图中的具体位置。二、教学实例分享【例2-7】找出下列数的排列规律,在横线上填上合适的数。(1)3,4,6,9,13,,,。(2)2,6,10,14,18,,,。(3)3,5,9,17,33,,,。二、教学实例分享【分析】经过观察,可以发现:(1)从第二个数起,后一个数依次比前一个数大1、大2、大3、大4……所以横线上应分别填13+5=18,18+6=24,24+7=31。(2)从第二个数起,后一个数比前一个数大4,所以横线上应分别填18+4=22,22+4=26,26+4=30。(3)从第二个数起,后一个数依次比前一个数大2、大4、大8、大16……所以横线上应分别填33+32=65,65+64=129,129+128=257。二、教学实例分享【解答】(1)18,24,31。(2)22,26,30。(3)65,129,257。二、教学实例分享【例2-8】在一张白纸上画30条直线,它们最多能有多少个交点?【分析】在纸上画1条直线,有0个交点;在纸上接着画第2条直线,它们最多有1个交点;在纸上接着画第3条直线,它就可能与前两条直线各有一个交点,即最多增加2个交点。以此类推,接着画第4条直线、第5条直线、第6条直线……图中增加的交点数最多分别为3个、4个、5个……二、教学实例分享【解答】把上述规律整理如下(表2-1):由表2-1可知30条直线最多的交点个数为1+2+3+4+…+29=(1+29)×29÷2=30×29÷2=435(个)答:画30条直线最多能有435个交点。二、教学实例分享【例2-9】从1开始,每隔两个整数写一个整数,可得到一列数:1,4,7,10,…。问:第100个数是多少?【分析】若根据已知条件直接将这100个数写出,就显得非常麻烦,其实只需要写出前几个数便能寻找到其中的规律。二、教学实例分享【解答】

从第2个数起,4=1+3×1,7=4+3=1+3×2,10=7+3=1+3×3,……通过观察,便可归纳出这些数有如下规律:第2个数是1加上1个3,第3个数是1加上2个3,第4个数是1加上3个3……可以推出,第100个数就是1加上99个3,即第100个数是1+3×99=298。如果不想被打倒，只有增加自身的重量。二、教学实例分享【例2-10】有一个一千位数,它的各位数字都是1,这个数被7除后余数是多少?【分析】直接求这个一千位数被7除后的余数很麻烦,可先用较小的数如1,11,111,1111等除以7,观察其余数的变化,看能否找到解题的规律。二、教学实例分享【解答】1÷7=0……111÷7=1……4111÷7=15……61111÷7=158……511111÷7=1587……2111111÷7=158731111111÷7=158730……1…………

由上面几个数被7除的余数可以看出:6位数的111111能被7整除,7位数的1111111除以7的余数就等于1位数的1除以7的余数1,8位数的11111111除以7的余数等于2位数的11除以7的余数4……即在所有数位都为1的一千位数中,从左开始每隔6位数为1个循环。因为1000÷6=166……4,所以所有数位都为1的一千位数除以7的余数就等于4位数的1111除以7的余数5。因此,本题的答案为5。TECHNOLOGY三、本课小结

从特殊现象推断出一般现象是归纳的核心,由于在这个过程中由归纳所获得的结论超越了前提所包含的内容,因而通过观察、归纳获得的规律或结论一般来说还只是一种猜测,它的正确性还有待于进一步检验。但归纳特有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识功能有助于猜想解题思路。作为一种解题的思想方法,观察与归纳在小学数学解题中起着举足轻重的作用。思考与练习(1)找出数的排列规律,在横线上填上合适的数。①9,12,21,33,

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。②1,2,2,3,3,4,5,5,

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。③12478,24781,47812,78124,

,

。(2)由1000个1组成的一千位数除以3,余数是多少?(3)1991个1991相乘所得的积,末两位数字是多少?第三节枚举与筛选一、主要理论GOODMORING早安在解决问题时把所有可能的情况不重复、不遗漏、有顺序地一一列举出来,称为枚举。在枚举过程中将重复的和不合要求的情况除去并将遗漏的情况找回来,称为筛选。一、主要理论

枚举与筛选是小学数学常用的解题思想方法之一。有的数学题所给的条件或所求的问题比较多,有的数学题的数量关系比较隐蔽,已知条件与问题之间的关系不明显,那么这些数学题从整体上就难以找到统一的解决方法。一、主要理论

枚举与筛选有着悠久的历史。早在公元前3世纪,古希腊数学家埃拉托色尼为了研究素数在自然数列中的分布而制作出世界上第一张素数表时,用的就是先枚举后筛选的方法。放假通知二、教学实例分享【分析】把各种找法列举出来。可用列表的方法作答,先排5角硬币,再排1元硬币。【例2-11】某商店营业员只有5角和1元的两种硬币,若他要找给顾客5元钱,有几种不同的找法?二、教学实例分享【解答】两种硬币的具体找法如表2-2所示。由表2-2可知,共有6种找法。答:有6种不同的找法。二、教学实例分享【例2-12】小明和小红玩掷骰子的游戏。将2枚骰子一起掷出,若点数和为7,则小明胜;若点数和为8,则小红胜。试判断他们两人谁获胜的可能性更大二、教学实例分享【分析】把14分成两个自然数的和,设这两个数为a,b,不妨设a≤b,已知a+b=14,采用枚举法,则可列表2-3【解答】根据以上分析,筛选相关数据后,可知把14分成7与7的和时乘积最大,最大乘积为7×7=49。二、教学实例分享【例2-14】将50这个数拆成10个质数的和,要求其中最大的质数尽可能大,那么这个最大的质数是几?【分析】依题意,要将50拆成10个质数的和,并且要求最大的质数尽可能大,那么其余9个质数应尽可能小。列举出所有可能的情况,即可从中找出问题的答案。二、教学实例分享【解答】因为最小的质数是2,若10个数中除最大的数以外的9个质数全部是2,那么这9个质数的和就是2×9=18,最大的数就是50-18=32。又因为32不是质数,但是比32小1的31是质数,那么显然最大的质数是31,其余9个质数中有8个质数是2,另一个质数是3。2×8+3+31=50答:这个最大的质数是31。三、本课小结12345示范性启发性变通性方法性

枚举与筛选虽然古老、简单,但在当今的数学研究中仍然闪烁着耀眼的光芒。运用枚举与筛选解题的关键在于以下两点:(1)将整体分解成不重复也不遗漏的各种情况。(2)对枚举的结果进行综合考察、筛选并得出结论。思考与练习(1)将长度为16厘米的铁丝围成长方形或正方形,怎样围面积最大?最大面积是多少?(2)甲、乙、丙3个自然数的和是100,用甲数除以乙数或用丙数除以甲数,得到的结果都是“商5余1”,那么甲数是多少?(3)两个自然数之和为50,它们的最大公约数是5,求这两个自然数(大减小)之差。思考与练习(4)有0,1,4,7,9这几个数字,从中任意选出4个数字组成不同的四位数,如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来,那么第5个数的末位数字是几?(5)期末考试结束了,三年级学生语文得100分的有8人,数学得100分的有6人。王老师让在这次期末考试中所有得了100分的学生举手,请问:会有多少人举手?(6)已知60以内的两个两位数的最大公约数是8,求这两个两位数分别是多少。第四节化归一、主要理论化归是转化归结的简称。

化归是运用某种方法或手段,把有待解决的较为生疏或较为

复杂的问题转化归结为较为

熟悉或较为简单的问题来

解决的思想方法。一、主要理论

人类在研究和学习数学的长期实践中,获得了大量的成果,也积累了丰富的经验,许多问题的解决已经形成了固定的方法和约定俗成的步骤。

我们把这种有既定解决方法和程序的问题称为规范问题,而把一个生疏或复杂的问题转化为规范问题的过程称为问题的规范化(或称为化归)。

化归原则的核心是实现问题的规范化,也就是把一个生疏、复杂的问题转化为熟悉的、简单的问题,以便于运用已知的理论、方法和程序去促成问题的解决。由此可看出,熟悉化和简单化是化归的基本方向。一、主要理论化归包含三个基本要素:化归的对象化归的目标化归的方法

化归的对象就是待解决的数学问题,化归的目标就是某一已知的数学模型,化归的方法就是规范化的解题手段和技巧。其中,化归的方法是实现成功化归的关键。一、主要理论利用化归策略解决问题的过程如图2-1所示。二、教学实例分享【例2-15】周末小红在家做作业,开始时看见钟面上的分针略超过时针,做完作业时,发现时针和分针恰好互换了位置。小红做作业用了多少分钟?【分析】由“原来分针略超过时针,后来时针和分针恰好互换了位置”可知,分针和时针在钟面上一共走了60格。根据分针转速是时针转速的12倍,可以把原题化归为和倍问题:甲的速度是乙的12倍,甲、乙共行了60千米,甲行了多少千米?此时便可用已知解法进行解答了。二、教学实例分享【解答】小红做作业用的时间为60÷(12+1)×12=60÷13×12=55153(分)答:小红做作业用了55153分钟。二、教学实例分享【例2-16】用大、小两辆汽车运煤,大汽车运了9次,小汽车运了10次,两车一共运了132吨。已知大汽车3次运的量等于小汽车4次运的量,求大、小汽车的载重量各是多少吨。【分析】通过题目的已知条件,把两种车转化成一种车,问题便很容易得到解决。二、教学实例分享【解答】因为大汽车3次运的量等于小汽车4次运的量,所以大汽车9次运的量就等于小汽车12次运的量。那么“大汽车9次+小汽车10次=132吨”便可转化为“小汽车12次+小汽车10次=132吨”,从而求得小汽车的载重量。小汽车的载重量为

60÷(12+1)×12

=60÷13×12

=55153(分)答:大汽车的载重量是8吨,小汽车的载重量是6吨。大汽车的载重量为6÷34=8(吨)二、教学实例分享【例2-17】已知被除数是29,除数是5。若被除数和除数都加上一个相同的数后,新被除数与新除数的比为19∶7。求加上的这个数是多少。【分析】被除数与除数都加上同一个数后,它们的差不会变,仍为29-5=24,但都加上同一个数后,新被除数与新除数的比变为了19∶7,也就是说,新被除数是新除数的179倍。这样,原题便可化归为差倍问题:已知新被除数与新除数的差是24,新被除数是新除数的179倍,求新除数是多少。二、教学实例分享【解答】加上这个数后的新除数是

(29-5)÷(179-1)

=24÷172

=14答:所以加上的这个数是14-5=9。所以加上的这个数是14-5=9。二、教学实例分享【例2-18】求图2-2中甲、乙两个阴影部分的面积差。(单位为厘米,π取3.14)【分析】设甲、乙阴影部分的面积分别是a,b,由题目已知条件可知,要想先计算出a,b,再计算a-b难以做到。但是如果给a,b都增加c(设c为两圆相交时重叠部分的面积),那么a+c,b+c就分别是大、小圆的面积,这时两个阴影部分的面积差就转化为两圆的面积差,问题也就迎刃而解了。二、教学实例分享【解答】

a-b=(a+c)-(b+c)

=π×32-π×22

=5π

=15.70(平方厘米)答:

图中甲、乙两个阴影部分的面积差是15.70平方厘米。二、教学实例分享【例2-19】某校男生人数与女生人数的比为5∶7。已知女生人数比男生人数多45人,学校共有学生多少人?【分析】由题意可知,男生人数与女生人数的比是5∶7,所以可求得男生人数占全校总人数的55+7=152。同理,可求得女生人数占全校总人数的57+7=172。因为女生人数比男生人数多45人,而女生人数比男生人数多(172-152)=16。45人与16相对应,用除法计算,可算出全校一共有45÷16=45×6=270人。将题目中的比例问题转化为分数问题来求解,收到了意想不到的效果。二、教学实例分享【解答】学校共有学生

45÷(57+7-55+7)=45÷16=270(人)答:

学校共有学生270人。三、本课小结

化归不是指直接解决数学问题,而是指把该问题转化为已解决的或容易解决的问题,再返回去求得原问题的解答。实施化归时,既可以变更问题的条件,也可以变更问题的结论;既可以变换问题的内部结构,也可以变换问题的外部形式。数学中实现化归的方法有很多,如化复杂为简单、化抽象为具体、化生僻为熟悉、化一般为特殊、化未知为已知、化综合为基本等。思考与练习(1)有3根铁丝,一根长15米,一根长18米,还有一根长27米。如果要把它们截成同样长的小段,不允许有材料剩余,那么每段最长是几米?(2)师傅、徒弟两人合做零件2小时,共生产零件110个;如果他们分别工作5小时,那么师傅比徒弟多生产25个。求师傅、徒弟每小时各生产多少个零件。思考与联系(3)学校体育室买了5个足球和2个排球,共用去304元。已知一个排球比一个足球便宜9元,求一个足球多少元。(4)甲、乙两人下棋,规定甲胜一局得3分,乙胜一局得2分。如果他们共下了10局,且两人的得分相等,那么乙胜了几局?(5)从时针指向4时开始,再经过多少分,时针正好与分针重合?(6)甲、乙两数的和是21,甲数的12等于乙数的15。求甲、乙两数。第五节假设根据所研究的具体问题,从题设条件的各种可能情况中做出某种假设,然后从这一假设出发,对其进行推理或计算,从而寻找到问题的正确答案,这种解决问题的思想方法就是假设。一、主要理论假设法是指针对题目中的已知问题提出假设,对照题目的已知条件进行推算,根据出现的矛盾数字适当调整或修改后,得到正确答案的一种方法。一、主要理论假设是小学数学重要的解题方法之一。用假设法解决问题时,可以先根据题目中的已知条件或某种现象做出假设。例如,假设要求的两个或几个未知数相等,或者要求的两个未知量是同一种量,等等;然后按照假设进行推算,如果发现推算的结果与已知条件矛盾,则可分析矛盾产生的原因,最后找出原问题的正确答案。二、教学实例分享【例2-20】某汽车站售出汽车月票若干张。已知学生票每张6元,成人票每张14元;售出的学生票比成人票多700张,售出的成人票比学生票多收入6200元。问该汽车站售出的成人票与学生票各有多少张。【分析】假设该汽车站再售出成人票700张,则售出的学生票的张数就与成人票的张数同样多了,那么成人票又要多收入700×14=9800元。这样,售出的成人票就比售出的学生票一共要多收入6200+9800=16000元。由于每张成人票比学生票要多收入14-6=8元,而16000元里面包含了16000÷8=2000个8元,那么学生票共售出2000张。二、教学实例分享【解答】列综合算式:学生票数为(6200+700×14)÷(14-6)

=16000÷8

=2000(张)成人票数为2000-700=1300(张)答:该汽车站售出成人票1300张,学生票2000张。二、教学实例分享【例2-21】有两根同样长的钢管,第一根用去了130米,第二根用去了130。哪一根钢管用去的长一些?【分析】第一根钢管用去的长度是已知的,第二根钢管用去的长度是未知的。要想知道第二根钢管用去的长度,必须先知道钢管的总长度,而题目中并没有说明钢管的总长度。因此,可以先假设钢管的总长度是某一个具体的值,再通过计算确定答案。二、教学实例分享【解答】

(1)假设钢管的总长度是1米,那么两根钢管用去的长度一样。(2)假设钢管的总长度是10米,那么第二根钢管用去的长度就是10×130=3(米),因为3米>130米,所以第二根钢管用去的长一些。(3)假设钢管的总长度是12米,那么第二根钢管用去的长度就是12×130=230(米),因为130米>230米,所以第一根钢管用去的长一些。综上所述,两根钢管哪一根用去的长一些取决于钢管的总长度。答:如果钢管的总长度是1米,则两根钢管用去的一样长;如果钢管的总长度大于1米,则第二根钢管用去的长一些;如果钢管的总长度小于1米,则第一根钢管用去的长一些。二、教学实例分享【例2-22】制药厂委托搬运公司运送500个玻璃瓶,双方商定每个玻璃瓶的运费是0.24元,如果打破一个,不但不给运费,还要赔偿1.26元。结果搬运公司最终共得搬运费115.50元。搬运过程中打破了几个玻璃瓶?【分析】假设500个玻璃瓶在搬运过程中都没有被打破,那么搬运公司一共应得运费0.24×500=120元,然而实际上少得了120-115.50=4.50元,由于打破一个玻璃瓶要少得0.24+1.26=1.50元,由此可以算出搬运公司在搬运过程中打破的玻璃瓶的个数。二、教学实例分享【解答】列综合算式:(0.24×500-115.50)÷(0.24+1.26)=4.50÷1.50=3(个)答:搬运过程中打破了3个玻璃瓶。二、教学实例分享【例2-23】在同一个笼子里有若干只鸡和兔,从笼子上看有30个头,从笼子下数有70只脚,这个笼子里的鸡、兔各有多少只?【分析】如果假设全部是鸡,则30只鸡的脚数应为2×30=60只,比题目中的条件少70-60=10只。因为每只鸡比兔少2只脚,所以10只脚就有10÷2=5只兔子。也可以假设全部是兔子,推算出鸡的脚数。二、教学实例分享【解法1】假设全部是鸡。兔的只数为(70-2×30)÷(4-2)=5(只)

鸡的只数为30-5=25(只)答:这个笼子里鸡有25只,兔有5只。【解法2】假设全部是兔子。鸡的只数为(4×30-70)÷(4-2)=25(只)兔子的只数为30-25=5(只)三、本课小结在解题过程中根据题目的特点巧妙地对条件或问题进行假设,可以起到化繁为简、化难为易的效果,从而很快地找到解决问题的突破口。思考与练习(1)甲、乙两个粮食仓库共存放粮食110吨。运走甲仓库库存的14和乙仓库库存的15后,两仓库的粮食共被运走了25吨。甲、乙两个仓库原来各有粮食多少吨?(2)学校买来6张桌子和8把椅子,共付款588.8元。已知每张桌子比每把椅子贵38.4元,求每张桌子和每把椅子的价格。(3)小红和小英一起跳绳,小红先跳了2分钟,然后两人各跳了3分钟,一共跳了780下。已知小红比小英每分钟多跳12下,小红比小英一共多跳了多少下?思考与练习(4)红星小学五年级3班的同学去公园划船。已知公园的大船每船能坐6人,小船每船能坐4人,46位同学一共租了10条船,刚好坐满。问大船和小船各租了多少条。(5)一次知识竞赛共有15道题,规定每答对一题得8分,每答错一题倒扣4分。小英在竞赛中一共得了72分,她答对了几道题?第六节数形结合一、主要理论

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田”“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。一、主要理论

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。

我国著名数学家华罗庚先生的诗句“数缺形时少直观,形少数时难入微”形象地阐述了数与形在数学解题中的重要作用。抽象的数学语言三、解题教学数量关系与直观的几何图形位置关系结合起来通过“以形助数”或“以数解形”,使复杂问题简单化、抽象问题具体化。这种将数与形融为一体的解题思想方法就是数形结合。一、主要理论

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。

数形结合是一种化归途径,它同时也独立成为一种解题的思想方法。它能发挥数与形两种信息的转换互补的优势,使本来比较隐蔽、复杂、抽象的数量关系直观地显示出来,更有利于解题

者分析条件与问题之间的联系,从而找到解题的途径。一、主要理论

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-24】甲、乙两桶油共72千克,从甲桶往乙桶倒入9千克油后,两桶油的质量正好相等。甲、乙两桶油原来各有多少千克?二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【分析】根据题意画出线段图(图2-3)

从线段图可以看出,在甲桶倒出9千克油,往乙桶倒入9千克油后,甲、乙两桶油的质量才相等,也就是说,原来甲桶中的油比乙桶中的油多两个9千克,即原来两桶中的油的质量差为9×2=18千克。二、教学实例分享【解答】1.方法一列综合算式:甲桶原有油为

(72+9×2)÷2

=90÷2

=45(千克)乙桶原有油为

72-45=27(千克)2.方法二列综合算式:乙桶原有油为

(72-9×2)÷2

=54÷2

=27(千克)甲桶原有油为

72-27=45(千克)答:甲桶原来有45千克油,乙桶原来有27千克油。二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-25】一群小学生,女生比男生多30人。在女生和男生各走了15人之后,女生人数是男生人数的2.5倍。原来男生和女生各有多少人?二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【分析】依题意画出线段图(图2-4)。

从线段图中可以看出,在男生、女生各走了15人之后,女生比男生多的30人正好是男生人数的2.5-1=1.5倍。因此,在双方各走15人之后,男生的人数应是30÷(2.5-1)=20人,并由此算出原来男生的人数是15+20=35人,原来女生的人数是35+30=65人。二、教学实例分享【解答】列综合算式:男生

30÷(2.5-1)+15

=30÷1.5+15

=20+15

=35(人)答:原来男生有35人,女生有65人。女生

35+30=65(人)二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-26】在一张长32厘米、宽18厘米的长方形纸中剪一个最大的正方形,然后在余下的纸中再剪一个最大的正方形,接着再次在余下的纸中剪一个最大的正方形,求最后余下的纸的面积。二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【分析】依题意画出示意图(图2-5)

由示意图可知,在长方形纸中剪最大的正方形,必须以短边(宽)为正方形的边长。二、教学实例分享【解答】三次所剪的正方形纸的边长分别为18厘米、32-18=14厘米、18-14=4厘米,用原长方形纸的面积减去3个正方形纸的面积之和,便可算出最后余下的纸的面积。列综合算式:

32×18-(182+142+42)

=576-(324+196+16)

=576-536

=40(平方厘米)答:最后余下的纸的面积是40平方厘米。二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-27】三(1)班的同学参加了绘画和书法两个课外兴趣小组。已知参加绘画小组的有32人,参加书法小组的有30人,两个小组都参加的有9人,那么三(1)班共有学生多少人?二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【分析】根据题意画出示意图(图2-6)。

从示意图中可以看出:中间重叠(阴影)部分所表示的绘画小组和书法小组都参加的9人,既包含在参加绘画小组的32人中,也包含在参加书法小组的30人中,因而他们被重复计算了一次。所以要计算全班人数,必须从32+30=62人中减去被重复计算的9人。二、教学实例分享【解答】32+30-9=53(人)答:三(1)班共有学生53人。三、本课小结、COVID-19

数形结合的思想方法,充分体现了图形与数字的重要特征和内在联系,它能使抽象的概念和复杂的数量关系直观化、形象化与简单化,有利于解题者拓宽解题思路、探求解题途径。思考与练习(1)在一个周长为60米的圆形池塘边种树,每隔4米种一棵树,一共可以种多少棵树?(2)三年级1班有学生48人,其中参加学校舞蹈队的有20人,既参加舞蹈队又参加合唱队的有9人,两队都没有参加的有12人。求参加合唱队的人数。思考与练习(3)某小学三、四年级学生共528人,排成四路纵队去博物馆参观。已知队伍的行进速度是每分钟25米,前后两人都要相距1米。现在队伍走过一座桥,整个队伍从上桥到离桥共用了16分钟。这座桥长多少米?(4)兄妹两人同时离家去上学。哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米,哥哥到校门口时,发现忘记带数学课本了,立即沿原路回家去取,走到离学校180米处与妹妹相遇。他们家离学校有多远?思考与练习(5)甲对乙说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你才3岁。”乙对甲说:“当我的岁数是你现在的岁数时,你将15岁。”甲现在多少岁?乙现在多少岁?(6)把一个正方形分成3个完全一样的长方形,已知每个长方形的周长为72厘米,求原来正方形的周长。第七节类比与猜想一、主要理论

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田”“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。类比法是根据两个或两类对象之间某些属性的相同或相似,而推出它们的其他某种属性也相同或相似的逻辑方法,又称为类比推理。

类比法是从特殊到特殊的推理。在对两个或两类不同对象的属性进行比较时,若发现它们有较多的相同点或相似点,就可以把其中一个或一类对象的另一种属性推移到另一个或另一类对象中。一、主要理论

由于类比法是根据两个或两类不同对象的某些特殊属性的比较而做出有关另一个特殊属性的结论的,因此类比是一种合情推理。因为其前提与结论的从属关系不是必然关系,且逻辑根据不充分,所以由类比得到的结果具有不确定性,还有待于严格证明。尽管如此,它仍然不失为一种重要的解题思想方法。一、主要理论二

、可以在求解问题中得到应用一

、可以提出新问题和获得新的发现三

、可以用来对猜想进行检验乔治·波利亚在论及类比法时,认为它有三个作用:一、主要理论在小学数学解题活动中,运用类比与猜想的方法解题的思路是审题找类比的模型猜想解答二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-28】一批布,可以做成人服装60套,改做儿童服装可以做90套。如果先做成人服装和儿童服装各30套,然后用余下的布做儿童服装,还可以做多少套?【分析】可以把“这批布”理解为“工作总量1”,把“这批布可以做成人服装60套,儿童服装90套”理解为“甲单独完成这项工作要60天,乙单独完成这项工作要90天”。因此,此题可类比为工程问题:一项工作,甲单独完成要60天,乙单独完成要90天。甲、乙合做30天后将剩下的留给乙做,乙还要做几天才能完成任务?二、教学实例分享【解答】列综合算式:

答:余下的布还可以做15套儿童服装。二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-29】从5点整开始,再经过多少分钟时针正好与分针重合?【分析】此题与追及问题相似。如果把钟面上1分钟的距离看作1格,那么分针每小时走60格,时针每小时走5格。因此,分针每走1格的同时时针就走112格。要求经过多少时间分针与时针重合,实质上就是求多少时间后分针追上时针。二、教学实例分享【解答】5点整时,时针指向5,分针指向12,时针和分针相隔25小格。此时分针和时针同时出发,当分针追上时针时,两针就重合了。

二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-30】有甲、乙两个公交车站,从甲站到乙站与从乙站到甲站每隔10分钟同时各发车一辆,且都是行驶60分钟到达对方公交站。某旅客从甲站乘车去乙站,在途中可以看到几辆从乙站开往甲站的公交车?【分析】由于甲、乙两站每隔10分钟同时各发车一辆,且都是行驶60分钟到达对方公交站,所以某旅客所乘的公交车从甲站起动时,正好有一辆从乙站开来的公交车到站停车(这辆车不算是旅客在途中看到的),且其在途中每隔10÷2=5分钟就能看到一辆从乙站开往甲站的公交车。因此,此题可类比为植树问题:在一条长为60米的马路一侧种树,每隔5米种一棵树,路的两端不种,一共种了多少棵树?二、教学实例分享【解答】列综合算式:60÷(10÷2)-1=12-1=11(辆)答:旅客在途中可以看到11辆从乙站开往甲站的公交车。三、本课小结

运用类比与猜想的方法解决数学问题的关键是善于引入“辅助问题”。通过该题与“辅助问题”的类比形成猜想并发现解题思路,进而预见可能的答案,最后解决该问题。

但要注意:只有本质上相同或相似的问题才能进行类比与猜想,而形式相似但本质不相同的问题进行类比与猜想容易造成错误。思考与练习(1)小明平时每天6点回家吃晚饭。一天,他的妈妈从6点开始等他,一直等到时针与分针第二次成直角时小明才到家。问小明是几点到家的。(2)王老师为学校购买音乐器材。已知他带去的钱可以买10台手风琴或50把提琴,如果他买了6台手风琴后,将剩下的钱全部买提琴,那么可以买多少把提琴?思考与练习(3)在同一条直线上的A,B,C,D,E,F,G7个站,每相邻两站间距离都是600米。问A站与G站之间的距离是多少米。(4)时钟3点敲3下,6秒敲完。那么9点敲9下,多少秒可以敲完?第八节逆推与还原一、主要理论

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田”“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。有些数学问题,若直接从正面顺向思考,难度较大,不易求解,教师就要善于引导学生转换思维视角,逆向思维,根据已知数量关系的变化过程和最后结果,由后向前一步一步地倒着推算,使解题思路清晰明了,进而使问题得以轻松解决。

逆推法,也称倒推法,主要是指从最后结果出发,结合逆运算关系,由后向前逆向推理,层层深入,直到问题解决。它是逆向思维的一种方式,也是求解数学问题常用的方法,有助于培养学生思维的灵活性和创造性。三、解题教学原来是减的,运算时需要用加在从后往前推算的过程中,每一步都是与原来相反的运算:原来是除的,运算时需要用乘原来是加的,运算时需要用减你的用逆推与还原的方法解题时往往要涉及倒过来的推算原来是乘的,运算时需要用除二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-31】【例2-31】根据算式中数的变化,填写运算符号和括号。

200100501680=30080080=30010=290二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【分析】如果按照从上到下、从左到右的计算习惯先填出200,100,50,16及80之间的运算符号和括号,解题会比较困难。但是如果用逆推与还原的思想方法从最后的结果往前进行推算,问题就容易得到解决。

290=300

10=300

800

80=200

100

50

16

80由上式第一个等号可知:要想300与10的运算结果为290,只可能是300-10=290。由上式第二个等号可知:要想800与80的运算结果为10,只可能是800÷80=10。由上式第三个等号可知:要想200与100的运算结果为300,只可能是200+100=300;要想50与16的运算结果为800,只可能是50×16=800。考虑到运算顺序,“200+100”的外面要加上括号。二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【解答】

(200+100)-50×16÷80

=300-800÷80

=300-10

=29二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-32】一捆电线,第一次用去全长的一半多3米,第二次用去余下的一半少10米,第三次用去15米,最后还剩7米。这捆电线原有多少米?【分析】用逆推与还原的思想方法从最后的结果出发往前进行推算即可。二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【解答】从“第三次用去15米,最后还剩7米”可以推出第二次用完后剩下的电线长度是15+7=22米;接着可以推出第一次用完后剩下的电线长度是(22-10)×2=24米;最后可以推出第一次用之前的电线长度是(24+3)×2=54米。因此,这捆电线原有54米。列综合算式:

[(7+15-10)×2+3]×2

=[12×2+3]×2

=27×2

=54(米)答:这捆电线原有54米。二、教学实例分享

《九章算术》开创了中国古代数学中数形结合的独特的研究方法,如在“方田“商功”“勾股”章用数解决了种种平面图形和立体图形的问题;同时,也用形的直观来解释数的算法,如“开方术”“开立方术”等。刘徽在《九章算术注》中更将其发展为“析理以辞,解体用图”的系统方法,对我国数学的发展起到了巨大的推动作用。【例2-33】小明和奶奶聊天。小明问奶奶今年是多大年纪,奶奶说:“把我的年龄减去7岁后缩小为1/9,再加上2岁后扩大10倍,结果