高考数学一轮复习专题训练：空间向量在立体几何中的应用（含详细答案解析）

第10单元空间向量在立体几何中的应用（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方向向量分别是，，那么这条斜线与平面所成的角是（）A．90° B．30° C．45° D．60°【答案】D【解析】∵，又由题意知，∴．答案D．2．平面经过三点，，，则平面的法向量可以是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】设平面的法向量为，对于A选项，，故A选项错误；对于B选项，，故B选项错误；对于C选项，，故C选项错误；对于D选项，由于，，故D选项符合题意．所以本题选D．3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（）A． B． C． D．与相交【答案】C【解析】∵直线l的方向向量为，平面的法向量为，∴，∴，∴，故选C．4．如图，在平行六面体中，为的中点，设，，，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据向量的三角形法则得到．故选A．5．在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的正切值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设异面直线与所成角为，则，，，异面直线与所成角正切值为，故选A．6．正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，以点为坐标原点，以，，方向分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设棱长2，则，，，，所以，，因为在正方体中，，平面，所以，又，所以平面，因此向量为平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，则．故选A．7．对于空间任意一点和不共线的三点，，，且有，则，，是四点共面的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】B【解析】空间任意一点和不共线的三点，，，且，则四点共面等价于，若，，，则，所以四点共面，若四点共面，则，不能得到，，，所以，，是四点共面的充分不必要条件，故选B．8．已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为（）A． B． C．或 D．【答案】C【解析】∵，，设与之间的夹角为，，，，二面角的大小可能为和．9．已知在平行六面体中，，，，，，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】在平行六面体中，，，，，，，，则，故选D．10．如图，已知矩形与矩形全等，二面角为直二面角，为中点，与所成角为，且，则（）A．1 B． C． D．【答案】C【解析】以A为原点，AF为x轴，AB为y轴，AD为z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝2a，BC＝2b，则F（2b，0，0），M（0，a，0），B（0，2a，0），D（0，0，2b），（﹣2b，a，0），（0，﹣2a，2b），∵FM与BD所成角为θ，且，∴，整理得，∴，解得，或（舍），∴，故选C．11．在空间直角坐标系中，四面体各顶点坐标分别为，，，则该四面体外接球的表面积是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图，在空间坐标系里画出四个点，可得面，因此可以把四面体补成一个长方体，其外接球的半径，所以外接球的表面积为，故选B项．12．如图，四边形，，，现将沿折起，当二面角的大小在时，直线和所成角为，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】取BD中点O，连结AO，CO，∵AB＝BD＝DA＝4．BC＝CD，∴CO⊥BD，AO⊥BD，且CO＝2，AO，∴∠AOC是二面角的平面角，以O为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B（0，﹣2，0），C（2，0，0），D（0，2，0），设二面角的平面角为θ，则，连AO、BO，则∠AOC＝θ，，∴，，设AB、CD的夹角为α，则，∵，∴，∴．∴cos的最大值为．故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知点关于坐标原点的对称点为，关于平面的对称点为，关于轴的对称点为，则线段的中点的坐标为_______．【答案】【解析】点关于坐标原点的对称点A1的坐标为，点关于xOz平面的对称点A2的坐标为，点关于z轴的对称点A3的坐标为，∴线段AA3的中点M的坐标为．14．在直三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值为__________．【答案】【解析】因为，所以角为直角，又直棱柱中，侧棱与底面垂直，所以两两垂直，以点为坐标原点，以方向分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设异面直线与所成角为，则．故答案为．15．如图，在正方体中，、分别为的中点，则平面和平面所成二面角的正弦值为__________．【答案】【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则E(1，0，0)，F(0，0，1)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，，，设平面EFC1B的法向量，则，取，得，平面BCC1的法向量，设平面EFC1B和平面BCC1所成二面角为，则，所以，故填．16．将直角三角形沿斜边上的高折成的二面角，已知直角边，那么下面说法正确的是_________．（1）平面平面；（2）四面体的体积是；（3）二面角的正切值是；（4）与平面所成角的正弦值是，【答案】（3）（4）【解析】画出图像如下图所示，由图可知（1）的判断显然错误；由于，故是二面角的平面角且平面，故．过作交的延长线于，由于，故是三棱锥的高．在原图中，，，，，，所以，故（2）错误；以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系．，，，，，设平面的法向量为，则，令，则，即．平面的法向量是．设二面角的平面角为，由图可知为锐角，故，则其正切值为．故（3）判断正确；平面的法向量为，，设直线和平面所成的角为，则，故（4）判断正确．综上所述，正确的有（3），（4）．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在正四棱柱中，分别为棱的中点，．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：在正四棱柱中，，底面，，又，平面，则，，，，，则，，平面．又平面，∴平面平面．（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，．设是平面的法向量，，即，令，得，由（1）知，平面ABE的一个法向量为，，故平面与平面ABE所成锐二面角的余弦值为．18．（12分）如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且，．（1）求证：平面平面；（2）若的长度为，求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：平面平面，两平面交线为，平面，，平面，平面，，是直角，，平面，平面，平面平面．（2）如图，连结，以点为坐标原点，在平面中，过作的垂线为轴，所在的直线为轴，在平面中，过作的垂线为轴，建立空间直角坐标系．的长度为，，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，解得，，，平面的一个法向量，，，二面角的正弦值为．19．（12分）如图，在多面体中，四边形是边长为的菱形，，与交于点，平面平面，，，．（1）求证：平面；（2）若为等边三角形，点为的中点，求二面角的余弦值．【答案】（1）见证明；（2）．【解析】（1）证明：取的中点，连结、、，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为、分别为、的中点，所以且．又，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，所以平面．（2）因为菱形，所以．所以，，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，所以，，设平面的法向量为，由，得，取，可得，平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则，因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为．20．（12分）已知四棱锥的底面是菱形，，底面，是上的任意一点．（1）求证：平面平面；（2）设，是否存在点使平面与平面所成的锐二面角的大小为？如果存在，求出点的位置，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴．∵四边形是菱形，∴．∵，∴平面．∵平面，∴平面平面．（2）设与的交点为，以、所在直线分别为、轴，以过垂直平面的直线为轴建立空间直角坐标系（如图），则，，，，．设，则，设，∴，∴，∴，，设平面的法向量，∵，∴．求得为平面的一个法向量．同理可得平面的一个法向量为，∵平面与平面所成的锐二面角的大小为，∴，解得．∴为的中点．21．（12分）如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=AB=BC=1，CD=2，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（1）证明：平面POB⊥平面ABCE；（2）若直线PB与平面ABCE所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：在等腰梯形ABCD中，易知△DAE为等边三角形，所以OD⊥AE，OB⊥AE，即在△PAE中，OP⊥AE，∴AE⊥平面POB，AE⊂平面ABCE，所以平面POB⊥平面ABCE．（2）在平面POB内作PQ⊥OB=Q，∴PQ⊥平面ABCE．∴直线PB与平面ABCE夹角为，又∵OP=OB，∴OP⊥OB，O、Q两点重合，即OP⊥平面ABCE，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得，各点坐标为，，，∴，，设平面PCE的一个法向量为，则，即，设，则，，∴，由题意得平面PAE的一个法向量，设二面角为α，．即二面角为α的余弦值为．22．（12分）如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接．（1）求证：平面平面；（2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．【答案】（1）见证明；（2）2．【解析】（1）连接，∵菱形中，，∴为等边三角形，又为中点，∴．又，则，又，∴平面，又，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）∵平面平面，且交线为，，平面，∴，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，则，，设平面的一个法向量为，则，即，可取，又平面的法向量可取，由题意得，解得，即，又菱形的面积，∴四棱锥的体积为．第10单元空间向量在立体几何中的应用（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若直线的方向向量与平面的法向量的夹角等于120°，则直线与平面所成的角等于（）A．120° B．30° C．60° D．60°或30°【答案】B【解析】设直线与平面所成的角为，则，故选B．2．若两个向量，，则平面的一个法向量为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设平面ABC的法向量为，则，即，令，则，即平面ABC的一个法向量为，故选A．3．已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量不重合那么下列说法中：；；；．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】∵平面，不重合；平面，的法向量平行垂直等价于平面，平行垂直，正确；直线l的方向向量平行垂直于平面的法向量等价于直线l垂直平行于平面，都错误．故选B．4．如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，，∴，故选D．5．在正三棱柱中，若，则与所成角的大小为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得，平面，设，则，又，，所以．故，即，即与所成角的大小为．故选D．6．已知在长方体中，，，，是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】在长方体中，，，，是侧棱的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，0，，，，，0，，，0，，1，，设平面的法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则．直线与平面所成角的正弦值为，故选B．7．已知，，，则“”是“，，构成空间的一个基底”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当“”时，，易得，，不共面，即，，能构成空间的一个基底，即“”是“，，构成空间的一个基底”的充分条件；当，，能构成空间的一个基底，则，，不共面，设，，共面，即，解得，即，即，，能构成空间的一个基底时，m的取值范围为，即当，，能构成空间的一个基底，不能推出，即“”是“，，构成空间的一个基底”的不必要条件，综合得：“”是，，构成空间的一个基底”的充分不必要条件，故选A．8．已知正四棱柱的体积为，底面ABCD的边长为1，则二面角的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】过D作于，连接AO，则就是二面角的平面角．正四棱柱的体积为，底面ABCD的边长为1，．在中，，，可得，．在中，，．故选C．9．在正方体中，点E是棱的中点，点F是线段上的一个动点．有以下三个命题：①异面直线与所成的角是定值；②三棱锥的体积是定值；③直线与平面所成的角是定值，其中真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】以A点为坐标原点，AB，AD，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，可得B(1，0，0)，C(1，1，O)，D(0，1，0)，(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，1)，(0，1，1)，设F(t，1，1-t)，（0≤t≤1），可得=(1，1，1)，=(t-1，1，-t)，可得，故异面直线与所得角是定值，故①正确；三棱锥的底面面积为定值，且∥，点F是线段上的一个动点，可得F点到底面的距离为定值，故三棱锥的体积是定值，故②正确；可得=(t，1，-t)，=(0，1，-1)，=(-1，1，0)，可得平面的一个法向量为，可得不为定值，故③错误；故选B．10．当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，，故，对于函数，有：，，故，又，故．故选．11．三棱柱的侧棱与底面垂直，，，N是BC的中点，点P在上，且满足，当直线PN与平面ABC所成的角取最大值时，的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】如图，以AB，AC，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，，平面ABC的一个法向量为，设直线PN与平面ABC所成的角为，，当时，，此时角最大．故选A．12．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，设，，则，因为异面直线PQ与AC所成的角为，所以，即，所以，所以，解得，所以，即线段PA的长的取值范围是，故选B．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若向量，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_______．【答案】【解析】因为与的夹角为钝角，所以且不同向．，整理得．当反向时，，所以．14．已知在长方体中，，，，E是侧棱的中点，则直线AE与平面所成角的正弦值为______．【答案】【解析】在长方体中，，是侧棱的中点，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，设平面的法向量为，则，，取，得，设直线与平面所成角为，则．∴直线与平面所成角的正弦值为．15．已知圆锥的顶点为，为底面中心，，，为底面圆周上不重合的三点，为底面的直径，，为的中点．设直线与平面所成角为，则的最大值为__________．【答案】【解析】以AB的中点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，则：，如图所示，由对称性不妨设且，则，易知平面SAB的一个法向量为，据此有，当且仅当时等号成立，综上可得：的最大值为．16．，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：（1）当直线与成角时，与成角；（2）当直线与成角时，与成角；（3）直线与所成角的最小值为；（4）直线与所成角的最小值为，其中正确的是______（填写所有正确结论的编号）．【答案】（1）（3）【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|＝1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量，，直线b的方向单位向量，，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量为，，设与所成夹角为，则，∴，∴（3）正确，（4）错误．设与所成夹角为，，当与夹角为60°时，即，，∵，∴，∵，∴，此时与的夹角为60°，∴（1）正确，（2）错误．故答案为（1）（3）．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图四棱锥中，底面是正方形，，，且，为中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】（1）证明：∵底面为正方形，∴，又，∴平面，∴,同理，∴平面．（2）建立如图的空间直角坐标系，不妨设正方形的边长为2，则，设为平面的一个法向量，又，，令，得．同理是平面的一个法向量，则．∴二面角的正弦值为．18．（12分）如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，且．（1）证明：直线平面；（2）证明：平面平面；（3）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】（1）证明：连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF．因为O，F分别为AC，PC的中点，所以，且，因为，且，所以，且，所以四边形OFED为平行四边形，所以，即，又平面，面，所以面．（2）因为平面，平面，所以．因为是菱形，所以．因为，所以平面，因为，所以平面，因为平面，所以平面平面．（3）解法1：因为直线与平面所成角为，所以，所以，所以，故为等边三角形．设BC的中点为M，连接AM，则．以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，，，，设平面PCE的法向量为，则，即，令，则，所以，设平面CDE的法向量为，则，即，令，则，所以，设二面角的大小为，由于为钝角，所以．所以二面角的余弦值为．解法2：因为直线与平面所成角为，且平面，所以，所以．因为，所以为等边三角形．因为平面，由（1）知，所以平面．因为平面，平面，所以且．在菱形中，．以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．则，则，设平面的法向量为，则，即，令，则，则法向量．设平面的法向量为，则，即，令，则，则法向量．设二面角的大小为，由于为钝角，则．所以二面角的余弦值为．19．（12分）如图，正方形边长为，平面平面，．（1）证明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：平面平面，平面平面，，面，∴平面，又平面，∴，又∵，，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，在直角中，，，易得，，由（1）知为平面的一个法向量，，，设是平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，∴，，∴