高中数学考前复习指导

数学考前复习指导

【复习建议】

(―)回归通性通法。

考前复习一定要落实在基础知识和基本方法上，因为高考数学题中通性通法的题目占到

80%以上。首先建议大家回归课本，看一看概念、公式和相关结论是不是过关了。不要留死

南。避免考试时某个知识点或某个公式忘了引起慌乱。其次建议同学们对照《北京高考数学

考前提醒》，把文章中的每一句话当成一个问题，你一定要提供一个标准答案，一旦发现回

答不了或不清晰，此时一定要找老师答疑，彻底搞清楚。同时演算问题中所配的习题，这是

为了检测大家是否真正掌握了相关知识与方法。

(二)加强总结反思。

(1)对错题本中记录下来的典型题要反思，想一想当初是怎么错的，现在该怎么做，如

何保证以后不会错。如果还觉得该题很难，你不要紧张，要思考如何分解出一些可以解决的

问题争取多得一些分。也就是对于难题你要有涨分意识。

(2)重视对大考试题的总结。如东城西城朝阳的上期末、一模和二模试题，海淀的上期

中、上期末、一模和二模试题。首先总结重点考查哪些内容和方法，有哪些典型题型，各类

题型的解题思路是什么，如何书写表达保证能得到更高的分。其次要特别重视对侧重考查思

维能力的选填题(如7题、8题、13题和14题)的总结与反思。先总结这几次大考题目中

呈现的问题情境有哪些，然后看还是否会用通性通法做，会做有几种思路。若不会做，小题

小做的策略是什么。还有要特别重视对函数与导数综合题和平面解析几何综合题的总结与反

思。要整理对已知条件的最佳理解与转化策略是什么。

(三)心态平和保你马到成功！

对于你们来讲，最近5年北京高考考题肯定不难。因此你要相信自己的实力，要对数学

考试充满信心。在做数学题时，遇到容易题不轻敌，仔细审清题意，认真解答争取一遍就

对。遇到难题不慌张，冷静分析争取多得分。对基础较薄弱的学生，一定栗把大量的时间放

在选择、填空和前四道大题上，对后两道要有涨分意识，利用通性通法解决部分问题得到一

些分，即采取不放弃也不恋战的原则。而对基础较好的学生而言，要确保做题的正确性，每

分必争，遇到难题要多读题多回顾反思，利用已有经验和学科思维能力转化困难情景为熟悉

情景，稳打稳扎，你肯定能解决问题的！

北京高考数学考前提醒

熟练掌握通性通法，理清易错易混问题，可以帮助大家杜绝解题失误,助你取得优秀的数学成绩.

1.集合问题要抓住集合的代表元素，弄清集合的元素及特征.

(如：设集合M={y|y=f+2x+l},N={x|y=x2-2x+5},则McN等于—」°，"°))

2.求集合的交、并、补运算时,借助于数轴和文氏图求解比较简洁.求补集时要看清全集.

3.求字母系数的取值范围时要检验端点值是否取到.

(如：设集合4=32一〃<0},3={杂<2},若=A，则实数。的取值范围是—.(―8,4])

4.要区分清楚命题的否定与否命题.

(如："x>1且y<2"的否定是什么？或y22.命题“Va>0,ax2+(a-l)x-l>0”的否定吗？

3a>0,ax1+(a-l)x-1<0)

5.你掌握判断充要条件的方法了吗？

(如：a,b为非零向量.“Z_L齐是“函数/(x)=(xa+b)(xb-a)为一次函数”的—.必要不充分条件)

6.分析函数单调性的方法是什么？(定义法、图象法和导数法)

当函数是基本初等函数(如一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，幕函数和三角函数

等)用图象分析；当函数是复合函数时拆开成两个基本初等函数分析；当函数结构比较复杂时可以考虑

用导数分析.

7.你知道函数的周期性和对称性的区别吗？(自变量符号相同是周期性，符号相反是对称性)

(1)函数/(x)满足-x)=/(x)(或/(a-x)=/(a+x))，则函数/(x)的图象关于直线x=a对

称;(2)函数/(x)满足了(2“一x)=-〃x)(或f(a—x)=—/(a+x))，则函数/(x)的图象关于点(a,0)

对称.(3)f(x+a)=f(x-a),或/(x+a)/(x)=m(a、加均为非零常数，a>0)则

y=/(x)是周期函数，T=2a

8.当你解决函数创新题时，或遇到一个函数问题你感觉很复杂时，你应想到数形结合的思想.尝试分析函数的

性质(如单调性、奇偶性等)，试着画出它的图象.

9.解决二次函数问题时用好数形结合的思想.如何求解闭区间上含字母系数的二次函数的最值问题？关注

二次函数的图象特征(开口，与轴的交点，对称轴与区间的位置关系(有时要考虑区间端点离对称轴的远

近)).

10.解二次不等式时通常也借助对应二次函数的图象.注意让二次项系数大于0再写出解集.二次方程

62+版+。=0的两根即为不等式以2+法+。＞0(或＜0)解集的端点值，也是二次函数

y=ax2+/zr+c的两个零点.

11.解不等式要注意什么？(解分式或对数不等式时要考虑对应函数的定义域.求不等式(方程)的解集，或

求定义域、值域时，习惯性写成集合的形式.解不等式时要保证因式的最高次项系数大于0；分式分母不等

于0；对数式真数大于0,底数大于0且不等于1)

12.你掌握了对勾函数y=3c+2(a〉0/＞0)的单调性吗？(在(-8,—、也)或(2,+8)上单

x\a\a

调递增；在(-J-,0)和(0,J-)上单调递减)

VaVa

r210]

11

(如：若函数y=/(x)的值域是[―,3],则函数/(x)=/(x)+」一的值域是—.3)

2/(x)

13.指对型式子比较大小基本方法是化为同底.常用化为同底的公式4睡。"=N,log“a"=N，当底数和

指数，或底数与真数都不同时，注意引进中间量,再化为同底.

14.导数的几何意义是什么？你会求曲线的切线方程吗？(如：过点P求曲线的切线方程时，若P不是切点,

或不能判断点P是否是切点时，利用切点处导数值等于切点与点P的连线的斜率)

15.你记熟了常用的导数公式吗？

16.你会利用导数分析复杂函数的单调性吗？注意要优先考虑函数的定义域.

(如：函数,/"(%)=Inx-x的单调减区间是一.(1,+8))

17.你理解清楚函数的极值的定义了吗？函数/(x)可导，/'(a)=()是函数f(x)在x=。处取极值的必要

不充分条件.因此已知函数的极值点求函数的解析式时要检验极值点是否成立.注意函数的极值点和零点都

只是实数.

(如：若函数/(x)=x(x-。＞在x=2处有极大值,则常数c的值为一.6)

18.你会求曲边梯形的面积吗？(理科)

(如：函数/(无)=/一1与x轴围成的曲边梯形的面积等于—

19.函数与导数综合题中利用导数求解含字母系数的函数的单调性或最值问题步骤：

(1)求函数的定义域.因为函数的一切来自于其定义域和对应法则.

（2）求导函数.熟记导数公式，计算求稳求准,计算结果要化简整理，如分式结构要通分，二次式是否能分解因

式.分解因式的目的是为了好求极值点.你要不断总结计算易错点.如：通分错，去括号错，因式分解错，等等.

（3）等价转化为基本初等函数来分析,总是关注转化后的函数的图象特征.利用其图象特征寻找分类讨论

点.分类讨论点举例：函数的类型（是一次函数还是二次函数）；二次函数的开口方向；极值点与定义域的

位置关系，等.

（4）每一类型中书写时,要说清导函数的符号，才能得到函数的单调性.某一类中有两个或两个以上的单调

区间时建议列表,这样比较清楚明了.

20.函数与导数综合题中利用导数求字母系数的取值范围问题要重视厘清题意,会用化归与转化的思想变形

成一个易解决的数学情景.理解题意时要关注：

（1）自变量的个数.这决定是否转化为一个函数来分析；

（2）对应法则的选取.若两个函数是同一个自变量，有时是两解析式相减转化为一个函数分析最值.比

较常见的两类问题时：

①恒成立问题:a>f（x）（或a<f（x））恒成立=a>[f（x）]max（或a<[f（x）]min）

.②存在性问题：存在x,使a>f（x）（或a<f（x））成立Oa>[f（x）]min（或a<Lf（x）lmax）

.当不等式（或等式）中含字母系数的项是独立的，或与字母系数相乘的式子是单一符号时，可以把字母

系数和自变量分离在不等式（或等式）的两边，转化为一个函数最值问题.

21.等差数列和等比数列问题要重视基本量的方法.遇到等差数列和等比数列混合问题时尽量选择未知数较

少的基本量建立方程.你关注到等比数列的首项和公比不为0吗？证明一个数列为等比数列要注意什么？

（如：等差数列｛《,｝中，若%+3%+%5=120,贝1]3。9一。“=一.48）

22.你是否注意到等比数列求前”项和时,当公比是未知数时需要分类讨论.

（q=1时,S“=；q1时,Sn=幺^~）

i-q

23.关注等差数列的函数特性.公差不为0的等差数列｛为｝的通项凡是关于n的一次函数，其前〃项和S“是

关于n的二次函数，且S“图象过原点.因此有时可以引进数形结合的思想解决等差数列问题.

24.关注所有数列的定义域都是〃wN*.在用关系式时，你注意到了n>2这个条件没有？an

与S,,的关系是一个分段函数关系，请关注分类讨论的思想.

25.求数列的通项公式的方法有哪些？（公式法，迭加法,迭乘法，利用a„与S„的关系，构造新数列等）多数情

况下是先寻找。”的递推关系，再转化为等差或等比模型求解.当含有S“较多或问题情境明确指向时，有时

把a“向S”转化，寻找S”的递推关系求解.

26.数列求和的方法有哪些？（公式法，裂项法，错位相减法，倒序相加法等）各自的特征是什么？

（如：｛%｝是等差数列时,」一=!（」——-）（d为公差））

a，，a“+idanan+l

27.数列的单调性如何分析？利用%%与0比较大小.（如：数列｛%｝是递增数列，且对任意〃eN*都

2

有an=n+An恒成立，则实数Z的取值范围是—.2>-3）

28.当你解决数列创新题时，或遇到一个数列问题你感觉很复杂时，你应想到归纳猜想的方法.通过归纳猜想

找到规律后,你就发现了解决问题的通性通法.

29.数列创新题解题策略：建议每解一问时都带着问题去读题，多读几遍，一定要读懂.第一问一般是初步读

懂就可得分.第二问是完全理解进一步思维可以得分.第三问读出深刻含义进行创新思维才能得分.解题时多

联系数列的研究方法，如数列的通项公式和递推公式,等差或等比数列模型的工具性作用，求数列的前n项和,

数列的函数特性等来解题.数列背景有时还要用到一些数论方法.如：排序方法，筛法，算法（对运算的封闭

性和运算律）等等.

4

30.你熟记三角函数的概念了吗？（如：角。的终边过点P（—8加,—6cos60°）,且cosa=-y,则

_1_

m=___.2）

31.你熟记三角函数公式了吗？易错公式是二倍角公式、降嘉公式和辅助角的公式.易错三角函数值是

cos60°=—.

2

32.你还记得在弧度制下弧长公式和扇形面积公式吗？（/=卜卜，S扇形=；/r）

33.你掌握了三角函数求值和化简问题的通性通法吗？（看清角的转化方向，关注函数名的转化方向,关注函

数的定义域）

34.你会用五点法画正弦型函数丁=4411（5+0）的草图吗？你会根据图象求参数A、①、。的值吗？

35.你会求函数y=Asin（GX+°）,y=Acos@x+0）和y=Atan（◎:+0）的周期和单调区间吗？会求

y=Asin（5+°）和y=ACOSQM+夕）的对称轴和对称中心吗？建议运用划归与转化的思想掌握这些函

数的图象和性质，把这些函数转化为正弦函数、余弦函数和正切函数，利用数形结合的思想解决问题.

36.常用的函数的图象变换有哪几种？（平移变换、伸缩变换和对称变换）

rrjr

（如：要得至Uy=sin2x的图象，只需将函数y=sin（2x--）的图象向—平移—单位•左,一）

36

37.你知道三角函数的图象和性质怎么考查吗？三角函数的图象和性质问题经常考查：（1）可化为正弦型

函数型：函数解析式中含自变量部分是齐次的；（2）可化为二次函数型：把三角函数换元后划归为二次

函数问题.（如：函数/（x）=2cos2x+sin2x-4cosx.求.f（x）的最大值和最小值./（x）取最大值6；/（%）

取最小值-,7）

3

38.正弦定理、余弦定理、面积公式记住了吗？解三角形时，有什么特征时使用“角化边'’（或“边化角”）

呢？在418。中,“A>B，^“sinA>sin的充要条件.

39.你知道平面向量有哪些运算形式吗？（向量运用三角形法则或平行四边形法则进行的图形运算,向量的

坐标表示，向量的数量积）.

40.平面向量重点考查的是向量的形的运算（三角形法则和平行四边形法则）和数的运算（向量的坐标表

示和数量积）.你知道向量的夹角的概念吗？（共起点的两个向量形成向量的夹角）向量的夹角的取值范

围是什么？（如：已知|Z|=1,而=2,c=4+3,且<?_1。,则向量a与石的夹角为.120°）

41.你会解含有字母系数的不等式吗？解含有字母系数的不等式时，应先化原不等式为整式不等式，然后再运

用分类讨论的思想方法求解.在运用分类讨论的思想方法时，一般需要考虑这样三个因素：一是要考虑字母

系数是否影响不等式的次数（即讨论最高次项系数是否为0）；二是要考虑字母系数是否影响不等式中不

等号方向的改变（即讨论最高次项系数大于0或小于0）；三是要考虑字母系数是否影响判别式,判断对

应方程是否有实根：四是要考虑字母系数是否影响对应方程的实数解的大小，可以用作差比较法和分类讨

论的思想分析解的大小.

42.利用重要不等式a+b>2/石或其变式ab<（"求函数的最值时,你是否注意到“正”“定”“等”三

个条件.（如：已知正数x,y,且，+2=1,求x+y的最小值.3+2J5）

*y

44.设直线方程时，你是否注意到直线垂直于x轴时，斜率上不存在的情况？（如：过点（0,2）的直线与圆

/+/_2%=0相切，则此直线的方程是_.x=0,y=--x+2）

4

45.注意“截距”与“距离”的区别.在直线的方程中，涉及分类讨论的主要有：直线的斜率是否存在，直线在轴上

的截距是否存在或是否为0.（如：经过点A（l,2）,并且在两个坐标轴上的截距相等的直线方程

是___.y=2x或y=-x+3）

46.判定两条直线是否平行时要分析两直线是否重合.（如：已知直线工+/>+6=0与直线

{a-2）x+3ay+2々=0平行，则a的值为___.a=0或a=—1）

47.判定两条直线垂直时要考虑有一条直线斜率不存在.（如：已知直线（m+2）x+3玖y+l=0与直线

（m-2）x+（加+2）y-3=0互相垂直,则实数m的值为一.加=g,—2）

48.你知道如何分析直线恒过定点的问题吗？（如：不论m为何实数，直线（m-l）x-y++1=0恒过

定点—.（-2,3））

49.解决线性规划问题要特别重视数形结合的思想.先画准可行域,再紧抓目标函数的几何意义.（如：点

x+y-1>0

P（x,y）是区域C：Jx<\内的任意一点，则2x-y的最大值是—；工里的最大值是一；

x+1

”1

丁+丁的最小值是_.2,2,；）

50.求圆的方程的方法是待定系数法，基本思路是设圆心利用半径相等列方程.求解过程中要特别重视减少变

量的个数.

51.分析直线与圆的位置关系通常采用平面几何方法,即分析圆心到直线的距离与圆的半径比较.当直线与圆

相交时注意运用垂径定理.（如：点M（Xo，y0）是圆/+/=/9>（））内不为圆心的一点,则直线

x0x+=a?与该圆的位置关系是—.相离）

52.你知道圆的参数方程吗？（圆。一。）2+（丁一。）2=/的参数方程是4）

[y=b+rsin0

53.你理解椭圆的定义吗？（如：已知AABC的周长为16,其中A（-3,0）,B（3,0）,则顶点C的轨迹方程是.

—+^-=l（y^0））

2516

2b2

54.你知道椭圆有哪些几何性质吗？（对称性,有界性，顶点，长轴和短轴，离心率，通径（一））（如：已知

a

K是椭圆的两个焦点，过F]且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若是等腰直角三角

,F2^ABF2

形，则这个椭圆的离心率是一.V2-1）

55.你理解双曲线的定义吗？

2b2

56.你知道双曲线有哪些几何性质吗？（对称性,有界性，顶点，实轴和虚轴，离心率,渐近线，通径（」上））

a

（如：若双曲线的渐近线为），=±岛，则它的离心率是—.2或也）

3

57.你理解抛物线的定义吗？（如：平面上动点尸到定点尸（1,0）的距离比到定直线x=-3的距离小2,则点

P的轨迹方程是—=4x）

58.你知道抛物线有哪些几何性质吗？（对称性,有界性，顶点，准线，通径（2〃））（如：抛物线>=-2/

的焦点坐标为—；准线方程是—.（0,--）,y=-）

88

59.学习圆锥曲线时特别要重视灵活掌握定义.（如：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点作倾斜角为6（）的直

线,与抛物线分别交于48两点（点A在x轴上方），——=.3）

BF

60.利用坐标法解决几何问题时特别重视几何特征的理解.几何特征向代数关系转化时要重视等价性和有效

性（简捷的易算的）.

61.当直线与圆锥曲线相交有两个交点时，你会求这两个点构成的弦的中点和弦长吗？

这是平面解析几何中非常典型的问题，很多问题情境可以转化为这两个典型问题.

（IAB|=J（1+/）［（X］+当）2-4中21=«：£）△=J（1+3）［（%+/2）2-4必力］=।।£）

|。|Vk|A|

62.平面解析几何综合题解题策略：（1）确保第一问求曲线的方程结果准确（看清焦点在何轴上，用代入法

检查结果的正确性）.审题时重视概念理解（如长轴，短轴，焦距，顶点）,计算时基本量a/,c的关系要准确（椭

圆中a最大，双曲线中c最大）.（2）第二问是一般考查直线与圆锥曲线的位置关系，解法是坐标法.难在理

解几何特征和寻找合适的算法.要特别关注几何特征向代数关系转化时要重视等价性和有效性.如：直线

AB与直线AC互相垂直，AB-AC=Q；以AB为直径的圆过原点O0T丽=0；ZAPB为锐角

OPA-PB>0且A、P、B不共线；A、B、C共线=AAC；平行四边形

OABC^OB=OA+OC,A,B,C不共线，等等.（3）设直线方程时要注意直线的斜率是否存在.（4）

算法上要多总结.如把联立时把椭圆方程化为整式，消元整理时最好是步步为营，别跳步，特别关注去括号和

合并同类项易错.（4）计算出代数结论后要回归到题中检验它与几何特征是否相符（如检验判别式是否大

于0以便确保直线与圆锥曲线有两个公共点）.

63.你会判断空间中点线面的位置关系吗？请熟记立体几何定理和结论.

64.你会求锥体和柱体的体积吗？

65.你会通过几何体的三视图画出其直观图吗？

（关键是确定底面上的垂线或垂面的位置）

（如：一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积为—.48+12收）

66.你会证明直线与直线平行，直线与平面平行,平面与平面平行吗？（证明直线与直线平行时辅助线多是构

造三角形的中位线或平行四边形，证明线面平行还可以通过证明面面平行或证明该直线与平面的法向量垂

直来实现.）

67.你会证明直线与直线垂直，直线与平面垂直,平面与平面垂直吗？垂直问题的证明通常是线线垂直与线面

垂直的相互转化，有时证明线线垂直要用到等腰三角形的性质或勾股定理的逆定理，当然如果能建立空间直

角坐标系,证明垂直问题采用向量法很简单.

68.你会求两条异面直线的夹角的大小吗？（用向量法求解.）要注意异面直线的夹角取值范围是（0,二］.

2

69.你会求直线与平面的夹角的大小吗？（用法向量与直线的夹角求解，注意直线与法向量夹角的余弦的

绝对值等于线面角的正弦.）要注意直线与平面的夹角的取值范围是［0,土TT］.

2

70.你会求二面角的大小吗？（用两个平面的法向量的夹角求解.但要通过观察后转化为二面角的大小.）要

注意二面角的大小的取值范围是［0,7］.

71.立体几何综合题解题策略：证明题多考平行或垂直的证明，既可用传统方法也可用向量方法求证.若你空

间想象能力不够应用熟向量法.证明题书写时要清晰严谨（如证明直线与平面平行时要说清楚线面平行判

定的三个条件）.建立空间直角坐标系时要画图并说明，当题目中没有明确已知三条直线两两互相垂直时要

证明三直线两两互相垂直才能建立坐标系.使用向量法时要确保点坐标计算准确.遇到探索性问题（如探求

点或直线的存在性问题）时可用共线向量的充要条件设点坐标或直线的方向向量求解.

72.排列组合问题的解题策略：（1）仔细研读事件.（2）决定算法的先后次序.先分类后分步；先分组后排

序；先选再排；先特殊元素或特殊位置后其他；等等.（3）决定具体的算法.相邻问题捆绑法；不相邻问

题插空法；均分成组要去序：固定顺序用去序法；

73.二项定理应用问题解题策略：多考二项展开式中的通项公式.要重视展开式的结构特征，要注意准确理

解概念，如二项式系数，系数，有理项,常数项，等等.要重视典型问题，如二项式系数和（总是等于2。），系数和

（用赋值法求），等等.

74.你了解随机抽样有哪几种？有何区别？（简单随机抽样，系统抽样，分层抽样）

75.你会看频率分布直方图、条形图和茎叶图吗？