4-2-不定积分的换元积分法

PAGE教务处编制成都工贸职业技术学院教案课程名称高等数学年级2017级专业材料成型授课教师陈本锋授课时间学时2授课题目4-2不定积分的换元积分法教学目标知识目标：1.学习简单的不定积分的混合计算；2.学习第一类换元积分法（凑微分）；3.学习第二类换元积分法。能力目标：1.第一类换元积分法的计算2.第二类换元积分法的简单计算素质目标：1.帮助学生树立正确的学习观、人生观、价值观；2.培养学生的良好的逻辑思维能力和知识迁移能力；3.加强工科学生的基础学习能力，弘扬工匠精神。教学重点1.学习第一类换元积分法的应用；2.学习第二类换元积分法；3.第一类、第二类换元积分法的适用范围及计算步骤。教学难点1.第一类换元积分法如何凑微分；2.第二类换元积分法如何选择元；3.两种换元积分法的适用范围。教学方法讲授、交流讨论教学准备教案、多媒体、黑板、三角板、粉笔教学过程设计教学内容教师活动学生活动一、导入新课（5分钟）回顾：1.不定积分的概念；2.不定积分的基本公式和性质.引入：能用直接积分法计算不定积分是非常有限的，因此我们必须进一步研究新的积分法——换元积分法、分部积分法。本节讨论两类换元积分法。本节给的这种方法，它是把复合函数的求导法则反过来用于求不定积分的一种积分法，叫做换元积分法。具体作法是：按照被积函数，引进一个与旧变量具有一定函数关系的新变量，以代替旧变量把所求的不定积分简化为基本积分表中的积分，求出不定积分后再把旧变量代回来。二、讲授新课（1）（25分钟）1．第一类换元积分法微分和积分互为逆运算，计算复合函数的微分法时候，就可以通过换元积分法来计算。若,且可导,则.这种求不定积分的方法称为第一类换元法.用第一类换元法计算不定积分的一般步骤如下：例1求不定积分例2.求不定积分例3求解设u=cosx,得du=-sinxdx.=—例4求;练习：求例5：；例6求〉0）；；例7求下列积分：（1）；（2）；（3）；解本题积分前，需先用代数运算或三角变换对被积函数作适当变形。（1）=（2(3)三、课堂练习（1）（10分钟）求下列不定积分。（1）；（2）.解（1）（2）四、讲授新课（2）（20分钟）2.第二类换元积分法设函数单调、可导,且.若,则，其中是的反函数。这种求不定积分的方法称为第二类换元法.该方法主要用来求某些含根式的不定积分，通过变量替换去掉根式。用途：主要用在无理数的积分。例1求解：令，得，则，于是例2解：为了消去根式，可令于是=2例3求解：令x=asint(-π‹t‹π),那么,于是例4求›0）。解：令(-π‹t‹π)，则，所以又因为故。一般地，当被积函数含有（1）（2）,可作替换；（3），可作替换。课堂练习（2）（10分钟）练习1求›0）。解：令(-π‹t‹π)，则，所以又因为故。练习2.解：令,则,,于是有六、课堂小结（5分钟）教师结合教材讲解教师结合教材讲解教师讲解导数的求法教师讲授教师提示指导教师语言总结学生认真听讲学生认真听讲学生认真听讲和思考学生认真听讲学生思考练习学生回顾小结微分和积分互为逆运算，计算复合函数的微分法时候，就可以通过换元积分法来计算。第一类换元积分法的重点是如何凑微分，其适用范围是三角函数、无理数及被积函数为两个函数乘积的形式，用的时候非常灵活，必须多练