九年级下学期期中数学试卷解析版

九年级（下）期中数学试卷

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将

正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分,满分24分）

1.如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF.将

△AEH,ZiCFG分别沿边EH,FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形

ABCD面积的J-时，则■^为（)

口!D.4

3

2.我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月L2

点Halo轨道的卫星，它的运行轨道距月球约65000公里，将•65000用

科学记数法表示应为（）

A.6.5X101B.65X103C.0.65X105D.6.5X105

3.下列运算，正确的是()

A.a3+a3=2aeB.(za2\)5_=__a10

Cc.a2a5=a10D.(3ab)2=3a2b2

4.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+n与卉0)的图象可能是

)

5.如图，AB是。。的直径，且AB=4,C是。。上一点，将竟沿直线AC

翻折,若翻折后的圆弧恰好经过点0,则图中阴影部分的面积为（）

6.如图，已知菱形OABC,0C在x轴上，AB交y轴于点D,点A在反比例

函数y尸区上，点B在反比例函数y=-四上,且0D=2后，贝!Jk的

XX2

c-¥D-¥

7.在棱长为2的正方体毛坯的一角处挖去一个棱长为1的小正方体，得

到如图所示的几何体，这个几何体的俯视图是（）

8.如图，在。。中，点A、B、C在。。上，且NACB=110°,则Na=（）

A.70°B.110°C.120°D.140°

二、填空题（本大题共8小题，请将答案填写在相应位置，每小题3分,

共24分）

9.开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续14天进行了体温测量，结

果统计如下表：

体温（℃）36.336.436.536.636.736.8

天数（天）233411

这组体温数据的中位数是℃.

10.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=10,ZABC=60°,BE平

分NABC交AD于点E,AF平分NBAD交BC于点F,交BE于点G,连接

DG,则GD的长为.

11.已知实数a、b、c满足a+b=ab=c,有下列结论：

①若cWO,则工+工=1；

ab

②若a=3,则b+c=9；

③若a=b=c,贝ijabc=O；

④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8.

其中正确的是（把所有正确结论的序号都选上）.

12.要使式子金有意义，则字母x的取值范围是______.

yl7-2

13.如图，Rt^ABC中，ZC=90°,NA=30",BC=1,以点B为圆心，以

BC长度为半径作弧，交BA于点D,以点C为圆心，以大于£CD为半径

作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E,

作射线BE交CA于点F,以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点

G,则阴影部分的面积为

B

14.在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球,

其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同.小明从布袋中随机摸

出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…

如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%,由

此可以估计布袋中的黑色小球有个.

15.分解因式：2a2-2=.

16.如图，已知在AABC中，AB=AC,点D,E在BC上，且BD=CE,请你

在图中找出一组全等三角形.（不添加任何字母

和辅助线）

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17.（6分）计算：（_2021）0旬!铲|-2|X22

2

18.（6分）先化简，再求值：工业工+（1+1）,其中x=«+l.

_3T

19.(6分)“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生

就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集

到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统

计图中所提供的的信息解答下列问题：

(1)接受问卷调查的学生共有人，扇形统计图中“了解”部分

所对应的扇形的圆心角的度数为°;

(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学

生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为多少

人？

扇形统计图

20.(10分)如图，AC是。0的直径,0D与。0相交于点B,ZDAB=ZACB.

(1)求证：AD是。。的切线.

(2)若NADB=30°,DB=2,求直径AC的长度.

21.(8分)如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC,现可直接测量到N

B=45°,NC=30°,AC=8米.请你求出BC的长.(结果可保留根号)

22.(12分)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax?+bx+6(aWO)相交于A

(1,§)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P

22

作PC±x轴于点D,交抛物线于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这

个最大值；若不存在，请说明理由；

(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.

23.(12分)如图，AB、AC为。0的弦，连接CO、B0并延长分别交弦AB、

AC于点E、F,ZB=ZC.

求证：CE=BF.

24.(12分)在平面直角坐标系中，已知A(-3,0),B(0,3),点C

(1)如图①，若点C的坐标为(2,0),试求点E的坐标；

(2)如图②，若点C在x正半轴上运动，且0C<3,其它条件不变,

连接0D,求证：0D平分NADC；

(3)若点C在x轴正半轴上运动，当AD-CD=0C时，求N0CD的度数.

-湖南省湘潭市九年级（下）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题有且只有一个正确答案，请将

正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上,每小题3分,满分24分）

1.如图，矩形EFGH的四个顶点分别在菱形ABCD的四条边上，BE=BF.将

△AEH,4CFG分别沿边EH,FG折叠，当重叠部分为菱形且面积是菱形

ABCD面积的时，则迫为（）

32

【分析】设重叠的菱形边长为E、四边形BENF是菱形，得出EN=BE=y,

EM=N=4x,求出AE=AB-BE=4x-y,得出方程4x-y=x+y,得出x

=2y,AE=5.y,即可得出结论.

33

【解答】解：设重叠的菱形边长为E、四边形BENF是菱形，

AE=EM,EN=BE=y,EM=x+y,

•••当重叠部分为菱形且面积是菱形ABCD面积的J-,且两个菱形相似,

16

.•.AB=4MN=4x,

.\AE=AB-BE=4x-y,

.*.4x-y=x+y,

解得：X=2y,

3

/.AE=§y,

3

§

y

•••AE=T-=-5.,

EBy3

故选：A.

2.我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月L2

点Halo轨道的卫星，它的运行轨道距月球约65000公里，将65000用

科学记数法表示应为()

A.6.5X10!B.65X103C.0.65X105D.6.5X105

【分析】科学记数法的表示形式为aX10"的形式，其中lW|a|V10,n

为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时-，小数点移动了多少位,

n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值》10时,n是正数；

当原数的绝对值VI时，n是负数.

【解答】解：将65000用科学记数法表示为：6.5X104.

故选：A.

3.下列运算，正确的是()

A.a：'+a』2atiB.(a2)5=a10

C.a2a—a0D.(3ab)2=3a2b-

【分析】根据合并同类项、幕的乘方、同底数塞的乘法、积的乘方法则

来分析.

【解答】解：

A.错误，a3+a3=2a3

B.正确，因为塞的乘方，底数不变，指数相乘.

C.错误,a2a5=a7

D.错误，（3ab）?=9a2b?

故选：B.

4.在同一平面直角坐标系中，函数y=mx+n与产胆（砧声°）的图象可能是

X

（）

【分析】根据一次函数的性质和反比例函数的性质，可以判断各个选项

中的图象是否正确.

【解答】解：当mVO,n>0时，函数y=mx+n的图象经过第一、二、

四象限，ym（旧力0）的图象在第二、四象限，故选项A错误、选项D

正确;

当m>0,n>0时，函数y=mx+n的图象经过第一、二、三象限，

y卫（砧声0）的图象在第一、三象限，故选项B错误；

X

当m>0,n<0时一，函数y=mx+n的图象经过第一、三、四象限，

了理（加户0）的图象在第二、四象限，故选项C错误；

X

故选：D.

5.如图，AB是。。的直径，且AB=4,C是。。上一点，将宜沿直线AC

翻折,若翻折后的圆弧恰好经过点0,则图中阴影部分的面积为（）

3Vo333

【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积=扇形B0C的面积，然

后根据题目中的数据，计算出扇形B0C的面积即可.

【解答】解：连接0C,作0D_LAC于点D,

由图可知，阴影部分的面积=扇形B0C的面积，

V0D=10C,Z0DC=90°,AB=4,

2

.•.ZDC0=30°，0C=2,

V0A=0C,

.,.Z0AC=Z0CA=30°，

.,.ZB0C=60°，

9

...扇形BOC的面积是：6071X2=2五，

3603

故选：D.

6.如图，已知菱形OABC,0C在x轴上，AB交y轴于点D,点A在反比例

函数丫产区上，点B在反比例函数丫2=-&上，且0D=2加，则k的

XX

C.平一

【分析】估计菱形的性质得到AB〃OC,求得ABJ_y轴，得至I」A(k

砺’

2亚)，B(-4,2&),求得AB=哗，AD=k,根据勾股定理即

V22&2V2

可得到结论.

【解答】解：•••四边形ABCO是菱形,

.*.AB//OC,

，ABJ_y轴,

V0D=2V2»

*.A(,2&),B(-k,2&），

2V2V2

•.AB=KL组，AD=/=,

2V22V2

.,AB=OA,

•.0A=与，

272

.,AD2+OD2=OA2,

(k)2+(2料)2=(岑)2

2722V2

..k=2次,

故选：B.

7.在棱长为2的正方体毛坯的一角处挖去一个棱长为1的小正方体，得

到如图所示的几何体，这个几何体的俯视图是（）

【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案.

【解答】解：从上边看，是一个正方形，正方形的左下角是一个小正方

形，

故选：B.

8.如图，在。。中，点A、B、C在。。上，且NACB=110。，则Na=（)

a

[0

A.70°B.110°C.120°D.140°

【分析】作定所对的圆周角NADB,如图，利用圆内接四边形的性质得

ZADB=70°,然后根据圆周角定理求解.

【解答】解：作会所对的圆周角NADB,如图，

VZACB+ZADB=180°,

：.ZADB=180°-110°=70°,

ZA0B=2ZADB=140°.

故选：D.

二、填空题（本大题共8小题，请将答案填写在相应位置，每小题3分,

共24分）

9.开学前，根据学校防疫要求，小明同学连续14天进行了体温测量，结

果统计如下表：

体温（℃）36.336.436.536.636.736.8

天数（天）233411

这组体温数据的中位数是36.5℃.

1A

【分析】根据中位数的定义求解即可.

【解答】解：•••共有14个数据，其中位数是第7、8个数据的平均数,

而第7、8个数据均为36.5,

■这组体温数据的中位数是36.5+36*5=36.5(℃),

2

故答案为:36.5.

10.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8,BC=10,ZABC=60°,BE平

分NABC交AD于点E,AF平分NBAD交BC于点F,交BE于点G,连接

DG,则GD的长为_2/孤_.

【分析】过点G作GH±AD于点H,由平行四边形的性质得出AD〃BC,

证明AABF为等边三角形，由等腰三角形的性质得出AG=4,由直角三

角形的性质得出AH=2,由勾股定理可求出答案.

【解答】解：过点G作GHLAD于点H,

BC

•.•四边形ABCD是平行四边形，

.*.AD//BC,

VZABC=60°,

AZBAD=120°,

•「AF平分/BAD,

...NBAF=NDAF=NAFB=60°,

「.△ABF为等边三角形，AB=AF=8,

〈BE平分NABC,

.\AG=GF=4,

又,.•NAHG=90°,

.,.ZAGH=30°,

.\AH=1AG=2,GH=2小

.•.DH=AD-AH=10-2=8,

DG2

•;=VGH^=7（2V3）2+8=25,

故答案为：2万.

11.已知实数a、b、c满足a+b=ab=c,有下列结论：

①若cWO,则工+上=1；

ab

②若a=3,贝ijb+c=9；

③若a=b=c,则abc=O；

④若a、b、c中只有两个数相等，则a+b+c=8.

其中正确的是①③④（把所有正确结论的序号都选上）.

【分析】按照字母满足的条件，逐一分析计算得出答案，进一步比较得

出结论即可.

【解答】解：①,.,a+b=ab=cWO,.•.」+2=1,此选项正确；

ab

(2)*.*a=3,则3+b=3b,b=3,c=9,1.b+c=3+且=6,此选项错误；

2222

③3a=b=c,则2a=a?=a,/.a=0,abc=O,此选项正确；

@Va>b、c中只有两个数相等，不妨a=b,则2a=a:a=0,或a=

2,a=0不合题意，a—2,则b=2,c=4,a+b+c=8.当a=c时，

贝！Jb=0,不符合题意，b=c时，a=0,此时a+b=ab=c=O,b=c=O,

也不符合题意；

故只能是a=b=2,c=4；此选项正确

其中正确的是①③④.

故答案为：①③④.

12.要使式子有意义，则字母x的取值范围是x>2.

YI7-2

【分析】求二次根式中被开方数的取值范围，依据为二次根式中的被开

方数是非负数.

【解答】解：要使式子3有意义，则x-2>0,

解得x>2,

字母x的取值范围是x>2,

故答案为：x>2.

13.如图，RtZ^ABC中，NC=90°,NA=30",BC=1,以点B为圆心，以

BC长度为半径作弧，交BA于点D,以点C为圆心，以大于/CD为半径

作弧，接着再以点D为圆心，以相同长度为半径作弧，两弧交于点E,

作射线BE交CA于点F,以点B为圆心，以BF为长度作弧，交BA于点

G,则阴影部分的面积为—返二2L_.

【分析】根据S|fl=SzsABF-S/iBGF，求解即可.

【解答】解：由作图可知，BE平分NABC,

VZC=90°,ZA=30°,

.,.ZCBA=90°-30°=60°,

.,.ZCBF=ZFBA=30°,

VBC=1,

.•.CF=BC・tan30°=返，AC=BC«tan60°=«,BF=2CF=_^Z1,

33

■aa_1乂2%x13°兀"（3）_V3K

••\阴—0AABFOABGb-一上X.v0,XI------------------———，

2336039

故答案为：返-三.

39

14.在一个不透明的布袋中，装有红、黑、白三种只有颜色不同的小球,

其中红色小球4个，黑、白色小球的数目相同.小明从布袋中随机摸

出一球，记下颜色后放回布袋中，摇匀后随机摸出一球，记下颜色；…

如此大量摸球实验后，小明发现其中摸出的红球的频率稳定于20%,由

此可以估计布袋中的黑色小球有8个.

【分析】根据多次试验发现摸到红球的频率是20%,则可以得出摸到红

球的概率为20%,再利用红色小球有4个，黄、白色小球的数目相同进

而表示出黑球概率，得出答案即可.

【解答】解：设黑色的数目为x,则黑、白色小球一共有2x个，

•••多次试验发现摸到红球的频率是20%,则得出摸到红球的概率为20%,

.•.，=20%,解得：x=8,

4+2x

...黑色小球的数目是8个.

故答案为：8.

15.分解因式：2a2-2=2(a+1)(a-1).

【分析】先提取公因式2,再对余下的多项式利用平方差公式继续分解.

【解答】解：2a2-2,

=2(a2-1),

=2(a+1)(a-1).

16.如图，已知在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，且BD=CE,请你

在图中找出一组全等三角形ZXABD也AACE或△三.(不添

加任何字母和辅助线)

RD

【分析】首先根据等腰三角形的性质：等角对等边得出NB=NC,然后

根据SAS证明AABD丝ZXACE,AABE^AACD,则图中全等的三角形共有

2对.

【解答】解：在aABD与4ACE中，

'AB=AC

<NB=NC，

BD=CE

.'.△ABD名△ACE（SAS）；

VBD=CE,

/.BD+DE=CE+DE,

ABE=CD.

在aABD与AACD中，

，AB=AC

<NB=NC，

BE=CD

AAABE^AACD（SAS）；

故答案为：ZXABD丝ZkACE或AABE之Z^ACD.

三、解答题（本大题共8小题，共72分）

17・（6分）计算：（_2021）0旬正-1-21x22

【分析】直接利用零指数基的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质、

负整数指数基的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=l+4-2X工

4

=1+4-A

2

=2

~1,

2

18.(6分)先化简，再求值：x+2x+l+(1+1),其中x=加+l.

v3-vX

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案.

【解答】解：原式=,收)2•上

x(x+l)(x-1)x+1

=1

X-1

当x=“+l时,

原式=]

V3+1-1

=退.

3

19.(6分)“校园安全”受到全社会的广泛关注，我市某中学对部分学生

就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集

到的信息进行统计，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统

计图中所提供的的信息解答下列问题：

(1)接受问卷调查的学生共有60人,扇形统计图中“了解”部分

所对应的扇形的圆心角的度数为30°；

(2)若该中学共有学生900人，请根据上述调查结果，估计该中学学

生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为多少

人？

扇形统计图

【分析】（1）从两个统计图中可知“了解很少”的频数为30人，占调

查人数的50%,可求出调查人数，进而求出“了解”的频数、所占得百

分比，相应的圆心角的度数；

（2）求出“了解”“基本了解”所占得百分比即可求出答案.

【解答】解：（1）接受问卷调查的人数为：30+50%=60（人），

“了解”的人数为：60-15-30-人=5（人）,

所以扇形统计图中“了解”部分所对应的扇形的圆心角的度数为：360°

X_L=30°,

60

故答案为：60,30；

（2）“了解”和“基本了解”的人数为15+5=20（人C

因此整体中，达到“了解”和“基本了解”的人数为：900X3=300

60

（人），

答：该中学900中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”的共有

300人.

20.（10分）如图，AC是。0的直径，0D与。0相交于点B,ZDAB=ZACB.

（1）求证：AD是。。的切线.

(2)若NADB=30°,DB=2,求直径AC的长度.

【分析】（1）根据圆周角定理得出NABC=90°，求出NACB+NCAB=90°,

求出N0AD=90°,再根据切线的判定得出即可；

（2）根据含30°角的直角三角形的性质得出0A=』0D,求出0A,再求

2

出答案即可.

【解答】（1）证明：•「AC是。0的直径，

AZABC=90°,

AZACB+ZCAB=90°,

又,:ZACB=ZDAB,

.*.ZDAB+ZCAB=90°,gpZ0AD=90°,

「OA是。0的半径，

二.AD是。。的切线；

（2）解：由（1）可知N0AD=90°,

VZADB=30°,

.*.OA=1OD=1（OB+BD）,

22

V0A=0B,BD=2,

.\0A=2,

，AC=20A=4.

21.(8分)如图，某中学有一块三角形状的花圃ABC,现可直接测量到N

B=45°,NC=30°,AC=8米.请你求出BC的长.(结果可保留根号)

【分析】直接过A作AD±BC于D,分别得出BD,DC的长进而得出答案.

【解答】解：如图：过A作ADJ_BC于D.

在AABD中,VZB=45°,

/.AD=BD.在4ACD中,

VZC=30°,AC=8,

.•.AD=_1AC=4=BD,

2

.,.CD=^82_42=4V3»

二.BC=BD+CD=4+4爪，

答：BC的长为：(4+4«)m.

22.(12分)如图，直线y=x+2与抛物线y=ax?+bx+6(aWO)相交于A

(1,1)和B(4,m),点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P

22

作PC±x轴于点D,交抛物线于点C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这

个最大值；若不存在，请说明理由;

(3)求APAC为直角三角形时点P的坐标.

m)在直线y=的值，抛物线图象上的A、B

两点坐标，可将其代入抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待

定系数的值.

(2)要弄清PC的长，实际是直线AB与抛物线函数值的差.可设出P

点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而

得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC

的最大值.

(3)当APAC为直角三角形时，根据直角顶点的不同，有三种情形,

需要分类讨论，分别求解.

【解答】解：⑴VB(4,m)在直线y==4+2=6,

AB(4,6),

VA(1,5)、B(4,6)在抛物线丫=2乂2+6*+6上,

22

'吗居总b+6,解得r=2,

6=16a+4b+6&=-8

二.抛物线的解析式为y=2x2-8x+6.

(2)设动点P的坐标为(n,n+2),则C点的坐标为(n,2n2-8n+6),

：.PC=(n+2)-(2n2-8n+6),

=-2n2+9n-4,

=-2(n-2)②+至，

48

VPOO,

.•.当n=9时-，线段PC最大且为至.

48

(3)••・△PAC为直角三角形,

i)若点P为直角顶点，则NAPC=90°.

由题意易知，PC〃y轴，ZAPC=45°,因此这种情形不存在；

ii)若点A为直角顶点，则NPAC=90°.

如答图3-1,过点ACl,互)作AN_Lx轴于点N,则ON=1,AN=包.

2222

过点A作AMJ_直线AB,交N为等腰直角三角形，

.\MN=AN=1,.\0M=0N+MN=1+1=3,

222

AM(3,0).

设直线AM的解析式为：y=kx+b,

'15/

则：qk+b=5,解得卜［1,

3k+b=0।b=3

，直线AM的解析式为：y=-x+3①

又抛物线的解析式为：y=2x?-8x+6②

联立①②式，解得：x=3或x=』(与点A重合，舍去)

2

AC(3,0),即点C、M点重合.

当x=3时，y=x+2=5,

Vy=2x2-8x+6=2(x-2)2-2,

.•.抛物线的对称轴为直线x=2.

如答图3-2,作点A(1,1)关于对称轴x=2的对称点C,

22

则点C在抛物线上，且C(工，5).

22

当x=I"时，y=x+2=11.

22

/.P(1,11).

222

\•点P(3,5)、P(工，11)均在线段AB上，