高中数学-高中数学数系的扩充和复数的引入教学设计学情分析教材分析课后反思

数系的扩充与复数的引入习题课教学设计

教学目标

1、理解复数的基本概念及复数相等的充要条件.

2、了解复数的代数表示法及其几何意义.

3、会进行复数代数形式的四则运算.

4、了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

5、树立严谨的学习态度，自觉查漏补缺，认真订正试卷错误。

教学重点

1、掌握复数的概念，了解复数的几何意义

2、会利用复数的代数形式进行四则运算。

3、掌握复数代数形式的加减运算及其几何意义.

4、复数掌握代数形式的乘除运算.

5、了解复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用.

教学难点

1、复数代数形式的加减运算的规定.

2、复数代数形式的加减运算的几何意义的理解.

3、复数代数形式的乘除运算法则的运用.

教学过程

1、展示知识清单（ppt展示）

2、知识点细化（让学生自己填空）

3、思考辨析

1-5

（学生通过小组讨论的形式由小组代表说出解题过程和答案并对照课件上的标准答案。）

4、典例讲解

类型一：复数的概念及几何意义

【例1】当实数a为何值时，z=/-2a+（a2-3a+2）i.

（1）为实数；（2）为纯虚数；

（3）对应的点在第一象限内;

(4)复数z对应的点在直线x-y=O.

跟踪练习3

(学生上黑板做题，讲解方法然后题后总结)

类型二复数的四则运算

72—2z—

【例2】已知复数z=l-i,则^_-+z=().

z—1

A.1-iB.-2iC.1+iD.-2

跟踪练习

类型三共趣复数与模

例3、已知复数z=(l—i)2+3+6i.

⑴求Z及|z|.

⑵若z2+az+b=-8+20i,求实数a,b的值.

练习

已知复数z=l+i,求实数a、b,使得az+2bz=(a+2z)2.

5、直面高考

展示高考常考内容及高考真题练习(学生练习，总结常见公式，题后总结。)

6、跟踪训练

(看评分标准，共同查找学生做题的常见错误。)

7、课堂小结

总结本节课的学习心得，及对出现问题的注意事项

8、作业布置达标训练

数系的扩充和复数的引入学情分析

这节课我们练习了复数的定义、实部、虚部及有关分类问题，复数相等的充要条件，复

数的运算等等.基本思想是：利用复数的概念，联系以前学过的实数的性质，对复数的知识

有较完整的认识，以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.

复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，教学时，我们

采用讲解或体验已学过的数集的扩充的历史，让学生体会到数集的扩充是生产实践的需要，

也是数学学科自身发展的需要；介绍数的概念的发展过程，使学生对数的形成、发展的历史

和规律，各种数集中之间的关系有着比较清晰、完整的认识.从而让学生积极主动地建构虚

数的概念、复数的概念、复数的分类，同时进行适当的引入复习，让学生通过分析思考，学

会对复数运算的掌握.

学生学习本章内容可能存在的知识障碍：学生学习本章内容可能会遇到一些障碍，如对

复数的理解，复数的引入是否具有实际意义，复数的引入是否具有实际应用，复数相等条件

的理解等。所以教学中对复数概念的讲解中尽量以简单明白、深入浅出的分析为主，在引入

后花少许时间对复数的实际意义、复数的实际应用作以解释。

在教学中学生是认知的主体，是教学的主体，更是课堂的主角，教学中的问题发生解

决过来程都是他们在完成，因而应遵循学生的认知规律，尽可能地带动学生的积极性，让学

生经历知识的形成与发展过程，并尽力带动学生的思维，使学生自己成为学习知识的主动者,

同时引导学生走出学习数学概念的烦琐与困境，让学生进一步学会学习，学会欣赏，学会探

究，学会生活。

数系的扩充和复数的引入复习课效果分析

通过本节课的讲解，我对学生的学习效果分析如下：

1、对基本知识的复习，学生反应较好，能很好地跟上学习的节奏，比较熟练的回答导学案

中提出的问题.

2、对于复数的运算大部分同学能够较快且计算准确，个别学生计算较差，主要原因是计算

公式记不住，粗心大意。

3、复数的相等的有关题目多数同学掌握比较差，学生自己做题时不明白题目所表述的意思，

老师讲完之后有种恍然大悟的感觉。

4、复数高次的转换是学生的弱项，回答问题时吞吞吐吐，不能将所学知识很好的转换，能

流利的进行形式的转换，但相关知识的链接不熟练.

5、课堂节奏把握出现问题，学生的当堂检测未能全部完成，有待改善.

数系的扩充和复数的引入教材分析

一、内容分析

1、数系的扩充，在教材中未将数系的扩充过程所遵循的原则介绍给学生，而是通过回顾

自然数系扩充到实数系的过程，总结出之前熟悉的每次数系扩充都是实际所需求，教材选取

X2+1=0这一在实数范围内无解的方程引发学生的认知冲突，激发学生们把实数系进一步

扩充的欲望，同时使学生初步认识学习复数的意义，类比自然数系扩充到实数系的过程，引

入虚数单位i,将实数系扩充，从而进入复数的学习中；

2、在复数的概念教学中，教材通过介绍希望引进的虚数和实数之间仍能像实数系那样

进行加、减法运算的设想，进而得到复数的代数形式、实部、虚部的概念，顺着也规定了两

个复数相等的充要条件，教材中未针对复数比较大小这一点做精述；

3、数系的扩充和复数的概念，《课标》与《大纲》教学内容相同，但在处理方式和目标

定位上存在差异：

(1)《课标》将复数作为数系扩充的结果引入.《大纲》教科书先安排复数的概念，再

研究复数的运算，最后介绍数系的扩充.《课标》实验教科书在介绍数系扩充的思想方法的

基础上引入复数的概念，力求还原复数的发现与建构过程.

(2)《课标》强调在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾

在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.从这上点上

看，《课标》要求提高了.

(3)在复数的代数表示法及其几何意义上，《课标》的教学定位是“了解”，而《大纲》

要求“掌握”.从这上点上看，《课标》要求降低了.

二、重难点分析

教学重点

(1)数系的扩充过程.

(2)复数的概念、复数的分类和复数相等的充要条件.

(3)复数的几何意义.

(4)复数代数形式的加减运算及其几何意义.

(5)复数代数形式的乘除运算.

(6)复数问题实数化的思想方法复数的理解与运用

教学难点

(1)虚数单位’的引进.

(2)复数的几何意义.

(3)复数代数形式的加减运算的规定.

(4)复数代数形式的加减运算的几何意义的理解.

(5)复数代数形式的乘除运算法则的运用.

二、地位与作用

《标准》关于“数系的扩充和复数的概念”的要求为：在问题情境中了解数系的扩

充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程理论)在数系扩充过程

中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系，理解复数的代数表示法、

基本概念即以复数相等的充要条件。

在这课之前，学生己经学习了自然数、整数、有理数、实数等数的概念及运算，这些内

容的学习为本节的学习起着铺垫作用。复数的引入实现了中学阶段数系的最后一次扩

充.而本节学习又为后边复数代数形式的四则运算学习提供了基础，同时，复数作为一

种新的数学语言，也为今后用代数的方法解决几何问题提供了新的工具和方法，体现了

数形结合思想。

本节课的学习，一方面让学生回忆数系扩充的过程，体会虚数单位引入的必要性和

合理性，另一方面，让学生理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，为今后的

学习奠定基础。复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步

学习数学的基础，而且复数在数学、力学、电学等其他学科中都有广泛的应用，因此,

本节课具有承前启后的作用。

第三章数系的扩充与复数的引入评测练习

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的)

1.复数一i+：=()

1

A.-2iB.-i

C.0D.2i

2.复数z满足(z—i)i=2+i,则z=()

A.-1-iB.1-i

C.—1+3iD.1—2i

111,1

A--5一手B-一尹手

11D.^+夕

4.己知复数z的共聊复数z=l+2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于

）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

5.a为正实数，i为虚数单位，|一1=2,则a=()

A.2B.m

C.^/2D.1

6.已知复数©=3+4i,z2=t+i,且©•1?是实数，则实数£等于（）

B.《

A-4

O

C-4D-4

7.设zee,若/为纯虚数，则Z在复平面上的对应点落在（）

A.实轴上B.虚轴上

C.直线尸土*（正0）上D.以上都不对

8.（2013•安徽高考）设i是虚数单位，》是复数z的共辗复数，若z・1i+2=2z,

则Z=()

A.1+iB.1-i

C.-1+iD.-1-i

7

9.若i为虚数单位，图1中复平面内点Z表示复数z,则表示复数中的点是

()

图1

A.EB.F

C.GD.H

10.已知复数为=—l+2i,Z2=l—i,Z3=3—4i,它们在复平面上所对应的点分别为

B,C.若0C=AOA+u幽A,〃CR),则力+〃的值是(

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

11.复数的共辄复数是

1

12.|2+3i-5+4i|=.

x.y

13.设x,y为实数且•则x+y=

1-il-2i-l-3i'

14.若复数则复数z的虚部为.

三、解答题（本大题共4小题，共50分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.（本小题满分12分）而为何实数时，复数z=（2+i）/-3（i+l）k2（l-i）是

（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？

16.（本小题满分12分）在复平面内，。是原点，向量为对应的复数是2+i.

-A

（1）如果点力关于实轴的对称点为6,求向量对应的复数；

（2）如果（1）中点8关于虚轴的对称点为C,求点C对应的复数.

17.（本小题满分12分）已知z是复数,z+2i、言均为实数（i为虚数单位），且复数

屹+与严在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.

18.(本小题满分14分)已知关于x的方程X—(6+i)x+9+ai=0(aGR)有实根b.

(1)求实数a,8的值；

(2)若复数z满足7-a—6i|-2|z|=0,则z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的

最小值.

答案

1、【解析】一i+；=—i+(—i)=~~2i,故选A.

【答案】A

2、【解析】z—i=~------:~~■­=1—2i,z=i+l-2i=l—i.

ii,-i

【答案】B

心m立但i2+i3+i4-1+-i+1-i-i1+i1-i

3、【解析】依型,一得_

1i1-i1-i1-i1+i

11.

=2-2n选C.

【答案】C

4、【解析】•.•丁=l+2i,.•.z=l-2i,，z在复平面内对应的点位于第四象限.

【答案】D

5、【解析】|十|=|一l+ai|=2,

即<a2+l=2.

a2+l=4,

・・・a2=3,又a为正实数，

**•a—,^3.

【答案】B

——3

6、【解析】zl-z2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i,依题意4t-3=0,

【答案】A

7、【解析】设2=a+田(4、beR),

Vz2=a2-b2+2abi为纯虚数，

a2—b2=0,

AlAa=±b,即z在直线y=±x(xW0)上.

abWO.

【答案】C

8、【解析】设z=a+bi(a,b£R),由2・zi+2=2z,得(a+bi)(a—bi)i+2=2(a+

a2+b2=2b,a=l,

bi),即(a2+b2)i+2=2a+2bi,由复数相等的条件得得

2=2a,b=l,

.*.z=l+i.

【答案】A

Q3-Ui1—i4-9-i

9、【解析】由题图知z=3+i,所以白7=^^=———=2—i,故

1+11+11+11—12

对应点为H.

【答案】D

10、【解析】3—4i=A(-l+2i)+u(l-i)=u—入+(2入一u)i,

口一入=3,

2人一口=-4,

X=-1,

得«/.X+U=1.

u=2,

【答案】A

1i—

、【解析】

11Z=Ti=—12=-i,I.z=i.

【答案】i

12、【解析】I2+3i-5+4i|=|2-5+3—4i|

=I—3—i|=y[lb.

【答案】①

x1+iIyl+2i_____________5l+3i

0Li1+i+l+2il-2i=l-3il+3i

=>|x(l+i)+^y(l+2i)=|(l+3i)

LtO乙

X=—1,

解得•

y=5,

所以x+y=4.

【答案】4

9—i—■；1-|-2i9—i

14、【解析】由z=--=—――=—3一=-i知，复数Z=E-的虚部是一

J.I乙J.XI乙J.LI乙J.1I乙1

1.

【答案】-1

15、【解】z=(2+i)加2-3(i+l)k2(l—i)

=2/n+/»i—3zz?i—3/z?—2+2i

=(.2/ii—3m-2)+(m,—3/H-2)i.

(1)由方-3R+2=0得z?7=l或m=2,

即加=1或2时，z为实数.

⑵由而-3勿+2W0得mWl且/〃W2,

即*1且%W2时，z为虚数.

2m—3/7?-2=0,m1

(3)由，得m=

m—3勿+2W0,

即加=-g时，z为纯虚数.

16、【解】(1)设所求向量施对应的复数为©=a+bi(a,0£R),则点3的坐标为(a

H).

已知4(2,1),由对称性可知a=2,b=-1.

所以例对应的复数为©=2—i.

⑵设所求点C对应的复数为@=c+di(c,d£R),

则。(ad),由(1),得5(2,-1).

由对称性可知，c=—2,d=­l.

故点。对应的复数为Z2=-2—i.

17、【解】设z=x+yi(x,*R),

则z+2i=x+(y+2)i,

由题意得尸一2,

/.z=x-2i.

v—9ii

—=-(,-2i)(2i)

2-i+

=g(2x+2)+J(x—4)i,

55

由题意得x=4,

z=4—2i.

：(z+ai)'=(12+4a—a2)+8(a—2)i,

根据条件，

(12+4a-a2>0,

可知cc

[8a-2>0,

解得2<a<6.

实数a的取值范围是(2,6).

18、【解】(1)因为6是方程的根，

所以(行—66+9)+(a-i)i=0,

方一6什9=0

故'

a=b

解得才=力=3.

(2)设z=x+yi(x,p是实数)，

由Iz—3—3i|=21z\,

得：(x—3)2+(y+3)2=4(y+y),

即(x+l)2+(y—1产=8.

，z的对应点Z的轨迹是以(一1,1)为圆心，2m为半径的圆.

所以z=1—i时，|z|最小值为

《数系的扩充和复数的引入》教学反思

《数系的扩充和复数的引入》这一部分新课标的基本要求是：在问题情境中了解数系的

扩充过程,理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。了解复数的代数表示和几何意义,

能进行代数形式的四则运算和几何意义。在教学中重点注意以下四个方面：

1.复数代数形式的加法和乘法的运算法则是一种规定，要让学生理解其合理性.这种

合理性应从数系扩充的角度来理解：这种规定与实数加法、乘法的法则是一致的，而且实数

加法、乘法的有关运算律在这里仍然成立.

2.复数的减法、除法分别规定为复数的加法和乘法的逆运算，要让学生按照这种规定

自主得出复数减法和除法的运算法则.

3.复数代数形式的四则运算可以类比代数运算中的“合并同类项”“分母有理化”，利

用『=-1,将它们归结为实数的四则运算.在具体运算情境中，引入共舸复的概念，明确

公式3+4)3-是复数除法中“分母实数化”的基础，不必让学生专门计忆

复数除法法则.从而让学生体验复数问题实数化的思想方法.

4.要引领学生从平面向量的加法、减法的平行四边形或三角形法则来认识并理解复数

代数形式的加减运算的儿何意义.为了提高课堂的教学效率，通过制作了PPT演示文稿，针

对训练让学生讨论然后提问再黑板上进行演算。

数系的扩充和复数的引入课标分析

内容安排

本章是选修2-2第三章的内容包括4节，约需8课时，具体分配如下：

3.1数系的扩充与复数的概念约2