高中数学基础知识 (二)

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高中数学基础知识汇总③偶次根式：被开方式20，例：y=425-X2;④对数：真数>o,例：y=log.(1-1)

第一章集合与简易逻辑：X

.集合4、求值域的一般方法：

1、集合的有关概念和运算

①图象观察法：y=0.2"'；②单调函数法：y=log2(3X-1),X€|-,3]

(1)集合的特性：确定性、互异性和无序性；3

(2)元素a和集合A之间的关系：aeA,或a《A;

2

2、子集定义：A中的任何元素都属于B,则A叫B的子集；记作：A.B,③二次函数配方法：y=X?_4x,*W|1,5)，y=J-X+2x+2

注意：AyB时，A有两种情况：A=<p与A*<p

④“一次”分式反函数法：y=X;⑥换元法:丫=*+向五

3、真子集定义：A是B的子集,且B中至少有一个元素不属于A；记作：Au8；

2x+1

5、求函数解析式f(x)的一般方法：

4、补集定义：4=(*|xCU,且4｝；

①待定系数法：一次函数f(X),且满足3**+1)-24*-1)=2x+17,求f(X)

5、交集与并集交集：API8={x|xeA且xe8}；并集：A\JB={x\xe4或xeB}

②配凑法：f(x--)=x2+口，求f(X)；③换元法：f(、/7+1)=x+2J7,求f(X)

6、集合中元素的个数的计算：若集合"中有"个元素，则集合4的所有不同的子集个数为XX

所有真子集的个数是__________所有非空真子集的个数是•6、函数的单调性：

—.简易逻辑：

(1)定义：区间D上任意两个值%4,若*，<。时有"*，)<«，)，称“*)为D上增函数；

1,复合命题：三种形式：P或q、P且q、非P；

判断复合命题真假：

2.真值表：p或q,同假为假，否则为真；p且q,同真为真；非p.真假相反。*,<"■*,)>f(X?)

若时有，称为D上减函数。(一致为增，不同为减)

3.四种命题及其关系：

原命题：若0则q-；逆命题：若q则P：(2)区间D叫函数的单调区间，单调区间定义域；

否命题：若P则q；逆否命题：若q则P；y=H/>(*)]

互为逆否的两个命题是等价的。

(3)复合函数的单调性：即同增异减；

原命题与它的逆否命题是等价命题。

4.充分茶件与必要条件：7.奇偶性：

若PUq,则p叫q的充分条件；定义：注意区间是否关于原点对称？比较f(x)与f(-x)的关系。

若poq,则p叫q的必要条件；若P则互题f(x)-f(-x)=O»f(x)=f(-x)Of(x)为偶函

斡x)+f(-x)=0f(x)=-f(-x)f(x)为奇函数。

若，则P叫q的充要条件；

8.周期性：

第二章函数

--函数定义：若函数*x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x)则T为函数f(x)的周期。

aEA.beB9.函数图像变换：

1、映射：按照某种对应法则f,集合A中的任何一个元素，在B中都有唯一确定的元素和它对应,

(1)平移变换y=f(x)-y=f(x+a),y=f(x)+b;(2)法则：加左减右；加上减下

记作f:A-B,若且元素a和元素b对应，那么b叫a的象，a叫b的原象。(3)注意：⑴有系数，要先提取系数。如：把函数y=f(2六)经过平移得到函数y

2、函数：(1)、定义：设A.B是非空数集，若按某种确定的对应关系f.对于集合A中的任意一个

=f(2X*4Q的图象。(ii)会结合向量的平急M理解按照向量腌xn)平移的意义。

数x,集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，就称f:A-B为集合A到集合B的一个函数，记

作月(x),wow0y=x

10.函数的图象和

它的反函数的图

象关于直线对称；点

(a,b)关于直线

(2)、函数的三要素：定义域，值域，对应法则；

的对称点为(b.a)

3、求定义域的一般方法：①整式：全体实数R；②分式：分母，0次鬲：底数；

二、指对运算：

-1-

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象图象

1.指数及其运算性质：当n为奇数时，行=a;当n为偶数时，行=|a|=a(a>0)a'>0,.1图象在*轴上方•.•*>0,；.图象在丫轴右边

特征

—a(a<0)

图象

y=ar的图象与=log.x的图象关于直缉=x对称

2.分数指数塞：正分数指数靠：a：=行；负分数指数幕：a-,=工关系

第三章数列

a0

_1«,=s,("=1)

3.对数及其运算性质：一.嬲|J：⑴前n项和.=%+%+久+•—一“；⑵前n项和与通项的关系a.=s-s_,S2

(1)定义：如果「=N(a>°'a=D,以10为底叫常用对数，记为IgN,以e=2.7182828…为底叫

—.等差数列：

自然对数，记为InN1.定义：a"，i="。2.通项公式：八=a,+(-1)d(关于n的一次函数)，

。(叫+an)n(n-1)

(2)性质：①负数和零没有对数，②1的对数等于0：logJ=°,③底的对数等于1：log，a=13.前n项和：(1)s〃=---(2).s”=%+-'(即S0=An2+Bn)

Ma+b

log,(MN)=log,M+logNlog,—=log.M-log.N4.等差中项：A=w—或2*=a+b

④积的对数：商的对数：N

5.等差数列的瑙堂质：0+m=p+qa+a=a+a

(1)等差数列，若，则。

+a/>

3

，2，'3,…,③门

招+3、="?+*=83+………％,n-2•

也就是：,如图所示：3-

{%}S。kWN.SkS2k-SkS3*~S2k

(2)若数列是等差数列，是其前n项的和手，贝IJ,.成等差

a+a+3

i23+•一+a*+a*M+•••+a21k+久/+i+•••+%”

s

数列。如下图所示：hS”S8-SH

01手i0)X三.等比第,Lag"-'a,q

J'an

,1.定义：；2.通项公式：(其中

产吟首福号q二伊比是)

"-—=-———.

3.前n项和］:1-Q—q(推导方法：乘公比，错位相减)

叫(1-q")a

Sn=-2------(gwi)s„"-(q*1)q=1

i-q1-Q

说明：①；23当时为常数列,

色,G2=abG=±y[ab

aG

4.等比中项：9.},即c+m=u4(或a.-a。尸等比冲项有两个)

5.等比数列的主要性质：

图定点(1)等比数列,若,则

过定点(0,1)过定点(1.0)

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rr,3〃、,3〃、

sin(---a)=cosasin(—+^7)=cosasin(----a)=­cosasin(—+2)=—cosO

22

aaaaa22

也就是：居3=久汽1=%3一-。如图所示：V^2'3'"'-n-2-n-Vn

n,3〃、,3/7、

cos(——t?)=sinacos(一+ay——sinacos(----a)=-sinacos(—+z?)=sina

2222

(2)若数列(a/是等比数列，S。是前n项的和，k€N，贝ljs«,S……S3.-S"成程比数列。

rrrr3〃3/r

tan(---a)=cotatan(—+a)=­cotatan(----a)=cotatan(—+0=-8t〃

2222

如下图所示：a#久+++…+a.,+R5+；+%.,+2i+1+N

6、两角和与差的正弦、余弦、正切

S、S、—S,S»—S-j

('sin(4+⑶=sm4cos£+cos4sinflS(0-4"sin'--J=sm^7cosJ-':1?=Jsinfi

四.求数列的前n项和的常用方法：分析通项，寻求解法s0+4

1.公式法：等差等比数列；2.分部求和法：如a„=2n+3

n:cos(a+⑶=coso8Ssin60("⑶'cosi'a—^=cos^cos0+smZ7s

3.裂项相消法：如a„=—!—;4.错位相减法：“差比之积”的数列：如a„=(2n-1)2

/7(/7+1)

ctana+tanBtana-tan/3

73mtan(q+⑶=------------------------%-用tan(夕0=

第四章三角函数1—tanatan(31+tanatan0

a/3\j3=a+k-3t>Q'.k^z

1、角：与终边相同的角的集合为{}

asr“一SBS”=—3gn«8S#-cos's；"=Ja—3-4一二

7、辅助角公式：

2、弧度制：(1)定义：等瑙径的瓠所对的圆心角叫怨呼度的角，用弧度做单位叫弧度制。，,\b

(p(p(a.b)tan(p=一

(2)度数与弧度数的换算：弧度，1弧度I1

!=\a\raS=-lr==-|a\rz(其中疑为辅助赢20的僦过点s3,)

1

ccos2a=cos2a-sin*asin67cos〃=—sin2a

8、二倍角公式：巴1)(2)、降次公式：2

1—cos2a11

=1—2sin:=2cos2。一1sin2a------------------=------cos2，+一

222

9、三角函数的图象性质

(1)函数的周期性：

①定义：对于函数f(x),若存在一个非零常数T,当x取定义域内的每一个值时，都有：f(x+T)=f

5、诱导公式(理解记忆》)k：奇变偶不变，符号看多:限)(X),那么函数f(x)叫周期函数，非零常数T叫这个函数的周期；

②如果函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫f(x)的最小正周期。

公忒虬°：-a)=sina;in(180°+a)=-sinQsin(-a)="sinasin(360°-〃)=-sina

(2)函数的奇偶性：

公盟即*〃)二一cosqg)=-cosacqg(式西二cosa=8S4①定义：对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有:f(-x)=-f(x),则称f(x)是奇函数，f

tan(1800-a)=-tanaan(1800+^7)=tanatan(-a}=-tanatan(360°-0=-tana(-X)=f(x),则称f(x)是偶函数

②奇偶函数的定义域关于原点对称；奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

-3

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(3)正弦、余弦、正切函数的性质(kwz)_____________函数定义域值域振幅周期频率相位初相图象

函数定义域值域周期性奇偶性递增区间递减区间xeR[-A.A]A2〃13UM^-(P(p五点法

y=Asin(o*+0)T--f=——=---

xeR[-1,1]T=2/1奇函数rtn\rt3〃3T2〃

y=sinx——+2*忆一+24〃-+24/7.—+2*/7

L22[22

y=Asin(CM+6的图象与y=sinx的关系：

y=cosxxeR[-1,1]r=2〃偶函数

[(24-1)〃,2女〃][2k/r,(2k+1)〃]当A>1时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A倍,

。振幅变换:y=sinx当0<A<1时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A倍、=Asinx

y=tanxn(F,+8)r=〃w吊函数(rr〃、

{x\x+kn}---+krr.—十*〃一―一

2122)当3>1时，图象上各点的纵坐标缩短到原来的1倍

____________________________________3»

n3万②周期变换:y=sinx1-y=sina*

"图象的五个关键点：(0,0),(7,1),f,0),T,-1),,0)；0<U/<1—

当0>0时,图象上各点的纵坐标啰)长到原来的0倍

n3〃

y=cosx-n—2"

当BJ.图象上的各点1可左平移个单位倍"_

y=sinx0VoI(p\yu-scin(xv十勿

③相位变换:当时，图象上的各点向右平移个单位倍

第五章平面向量

1,向量的有关概念：向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

(2)实数与向量◎积：①星义：实数与向量的积是一个向量，记作：；

I/laHJ|-|a|

②它的长度：；

J\J>0AaaA<0AaaA—0Aa

I③：它的方向：当，与的方向相同；当，与的方向相反；当时，

；2X

y—tanx

(4)、函数+颂的相关概念：3.平面向量基本定理：如果耳△是同一平面内的两个不共线的向量，那么对平面内的任一向量a,

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有且只有一对实数4,4，使+;S.1=—absinC=—acsinB=—besinA

(1)三角形的面积公式：222

4■平面向量的坐标运算：T—(2)正，余弦定理.

cc或乂，「・

a=(%,y”=(*2,匕)a±d=(x,±x,y,±y)-------=--------=--------=2Ra=2Rstn6=2AsiBc=2ffsin

22①正弦定理：,Sr，B'EC

(1)坐标运算：设，则-a:=b2+c2-2bccosA

AB=(x2-x,,y2-y,)

b2=a2+c2-2ac-cosB

设A、B两点的坐标分别为(x,,y,),仅.力”则，，

a=(x,y)a=A(x.y)=(Ax.Ay)②余弦定理：c=a+"-labcosC=(a+d):一2mb(i+cocC)

(2)实数与向量的积的运算律：设，则人,

b2+c2-a2a2+c2-b2a2+b2-c2

cosA=-------------------cosff=-------------------oosC=-------------------

平面向量的数