苏教版六年级数学下册 第6单元 教案

六正比例和反比例

★教材分析

本单元是在学生已学习了比和比例等知识的基础上进行教学的，主要让学生结合实际情

境认识成正比例和反比例的量。正、反比例的知识在日常生活和工农业生产中有着广泛的应

用，而且还是今后进一步学习中学数学、物理、化学等知识的重要基础，因而学好这部分知识

是非常重要的。通过学习这部分知识,还可以帮助学生加深对过去学过的数量关系的认识，

使学生初步学会从变量的角度来认识两个量之间的关系，从而初步体会函数的思想。本单元

的教学重点是认识正、反比例的意义。

★学情分析

学生已学习了比和比例等知识为本单元的学习奠定了知识基础;正、反比例的知识在日

常生活和工农业生产中有着广泛的应用，学生接触到较多的素材，但是缺乏细致、深入的了解,

这些为本单元的系统学习做了生活经验方面的准备。

台教学要求/

1.使学生结合实际情景认识成正比例和反比例的量,能根据正、反比例的意义判断两种

相关联的量是否成正比例或反比例。

2.使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在

方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数

值。

3.使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中,初步体会数量之间的相互依存的关系,

感受有效表示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。

4.使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识,养

成积极主动的参与学习活动的习惯,提高学好数学的自信心。

☆教学建议

1.结合生活中的典型实例，让学生从“变化”中看到“不变”，体会并理解正、反比例

的意义。正、反比例的意义比较抽象，它们都是表示两个相关联的变量之间关系的一种数学

模型。在正比例里,一种量扩大（或缩小），另一种量也随着扩大（或缩小），但这两种量中相对

应的两个数的比值是一定的;在反比例里,一种量扩大（或缩小），另一种量反而缩小（或扩大）,

但这两种量中相对应的两个数的积是一定的。理解正、反比例的意义，首先要通过具体的实

例让学生看到两种量的变化情况,体会正比例和反比例所研究的是两个变量之间的关系，然

后再引导学生进一步探索两种量在变化过程中存在的规律；并用关系式来表示出这种规律，

从而帮助学生把握正、反比例概念的本质。

2.借助直观的图像,帮助学生进一步认识成正比例量的变化规律,并为以后的学习做适

当储备。认识正比例的意义之后，让学生初步认识正比例的图像,理解图像上点所表示的实际

意义,清楚地认识正比例图像的特点，并借助直观的图像进一步理解两种量同时扩大或缩小

的变化规律。

3.练习的安排体现一定的层次性,帮助学生逐步提高判断成正比例、反比例的量的能

力。通过由易到难，逐渐深入的练习，有助于学生进一步加深对正、反比例意义的理解，使他

们能够从整体上把握各种量之间的比例关系，同时进一步提高判断成正比例、反比例的量的

能力。

★课酎安排

1正比例的意义和图像....................................................1课时

2反比例的意义........................................................1课时

3大树有多高.............................................................1课时

门/正比例的意义和团傕*专

课时

教学内容

正比例的意义和图像。（教材第56~6。页）

数学目标

1.引导学生理解正比例的意义,能根据正比例的意义判断两个相关联的量是不是成正比

例。

2.培养学生的抽象概括能力和分析判断能力。

重点难点

重点：引导学生理解正比例的意义。

难点：引导学生通过观察、发现、思考两种相关联的量的变化规律。

教具学具

课件。

**i|H(f******i|HtfMHjf******i|H|f****i|H|f*******4(i|H|(******崇***********i(H|f

教学过程■■」

SI创设情境，激趣导入

教师提出如下问题：

已知路程和时间，怎样求速度？已知总价和数量,怎样求单价?

已知工作总量和工作时间，怎样求工作效率？

探究体验，经历过程

L教学例lo

（1）课件出示:一辆汽车1小时行驶80千米,2小时行驶160千米,3小时行驶240千米,4

小时行驶320千米,5小时行驶400千米,6小时行驶480千米,7小时行驶560千米,8小时行

驶640千米...

出示下表,填表。

时间/时

路程/千米

思考:在填表过程中你发现了什么？

教师点拨:时间变化,路程也随着变化,我们就说时间和路程是两种相关联的量。

（2）计算路程与对应时间的比值。

师:通过计算,你发现了什么？

教师指出：相对应的两个数的比值一样或固定不变,在数学上叫作一定,用式子表示它们

的关系是:F=速度（一定）。（板书）

时间

教师小结：时间和路程是两种相关联的量,路程随着时间的变化而变化，时间扩大,路程

随着扩大;时间缩小,路程也随着缩小。即整=速度（一定）。

2.教学教材第57页的“试一试”。

(1)出示表格。

(2)观察表，你发现了什么规律？

写出几组对应的总价和数量的比,并比较比值的大小。用式子表示它们的关系:娑=单价

京章

(一定)。

(3)抽象概括正比例的意义。

师：比较这两道题，思考并讨论这两道题有什么共同点。

教师小结并板书:两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中

相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作成

正比例关系。

(4)通过例题,进一步理解正比例的意义。

(5)如果用x和y表示两种相关联的量,用人表示它们的比值(一定)，正比例关系怎样用

字母表示呢?2"(一定)

X

根据正比例的意义以及表示正比例的式子想一想:构成正比例关系的两种量必须具备哪

些条件？

3.教学例2„

师:从图中你获得了哪些数学信息？

生:点/表示1小时行80千米，点6表示5小时行400千米。

师:你能根据图中的信息说一说其他各点表示的意义吗？

生:2小时行160千米;3小时行240千米;4小时行320千米;6小时行480千米,7小时

行560千米。

师：图中所描的点在一条直线上吗？(在)根据图中的信息，你还能知道什么？

学生讨论回答。

生1：根据图中信息,我发现了路程与时间的比值是一定的，都是80。

生2:当时间变化时,路程也随之变化。时间和路程是两种相关联的量,并且比值一定,所

以它们成正比例关系。

教师指出：路程和时间是相关联的两种量,并且比值一定。所以,我们可以判断路程和时

间成正比例关系。

学生独立解答:根据图像判断,这辆汽车2.5小时行驶多少千米?行驶440千米需要多少

小时？

学生解答后,集体反馈,并说明理由。

［设计意图:认识成正比例的量之后，引导学生分析“构成正比例关系的两种量必须具备

的条件”,既帮助学生巩固了正比例的意义,学会根据正比例的含义判断两种量是否成正比例

关系，又让学生进一步体验生活中成正比例关系存在的数量很多】

课末总结，梳理提升

师:在本节课的学习中,你有哪些收获?

学生自由交流各自的收获体会。

板书设计

正比例的意义和图像

两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的

比值（也就是商）一定,这两种量就叫作成正比例的量,它们的关系叫作成正比例关系。

黑凝度（一定）*=«（一定）

X

正比例图像是一条直线。

课堂作业新设计

A类

下图表示每小时行驶60千米的汽车1小时、2小时、3小时……所行使的路程。根据图

像判断,这辆汽车2.5小时行驶多少千米?4.5小时呢？

（考查知识点:正比例;能力要求:运用正比例知识解决简单的实际问题）

B类

下面是甲、乙两个工程队挖水渠进度统计图。

⑴你认为哪个队施工速度快?为什么？

(2)如果丙队每天都挖80米,请你在图中画出丙队的施工“线”。

甲、乙两个工程队施工进度统计图

o

曲o

36o

32o

28o

24o

20o

16o

12

8o

4O

(考查知识点:正比例;能力要求:运用正比例知识解决简单的实际问题)

・参考答案・

~~

课堂作业新设计

A类：

这辆汽车2.5小时行驶150千米,4.5小时行驶270千米。

B类：

(1)我认为甲队的施工速度快,因为从图上能看出来甲队每天挖水渠40米，乙队2天才挖

水渠40米,每天只挖20米,所以甲队的施工速度快。

⑵如图所示:

甲、乙两个工程队施工进度统计图

教材习题

教材第57页“练一练”

1.(1)答案不唯一，例如：25:1=2550:2=25100:4=25比值都相等。

(2)生产零件的数量和时间成正比例。因为生产零件的数量和时间是两种相关联的量，

一种量变化,另一种量也随着变化,且生产零件的数量+时间=每小时生产的零件数量(一定),

也就是比值一定，所以生产零件的数量与时间成正比例。

2.做的套数和用布的米数成正比例。因为做的套数和用布的米数是两种相关联的量，

一种量变化,另一种量也随着变化,且用布的米数+做的套数=每套用布的米数(一定)，也就

是比值一定,所以做的套数和用布的米数成正比例。

教材第58页“练一练”

(1)小玲打字的数量和所用的时间成正比例。因为打字的数量和所用的时间是两种相关

联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且打字的数量+时间=速度(一定)，也就是比值一

定,所以打字的数量与所用时间成正比例。

(2)

(3)小玲5分钟可以打字250个;打750个字需要15分钟。

教材第59~60页“练习十”

1.订阅《趣味数学》的总价和数量成正比例。因为总价和数量是两种相关联的量，一种

量变化,另一种量也随着变化,且总价+数量=单价(一定)，也就是比值一定,所以订阅《趣味

数学》的总价和数量成正比例。

2.

正方形周长/cm481216

正方形面积/cm，14916

3.(1)他们骑车行的路程和时间成正比例。因为他们骑车的路程和时间是两种相关

联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且路程小时间=速度(一定)，也就是比值一定,所

以他们骑车的路程和时间成正比例。

(2)他们20分钟大约行5千米;行10千米大约要用37分钟。

4.(1)10152025

(2)

(3)购买彩带的总价和长度成正比例。因为总价和长度是两种相关联的量,一种量变化,

另一种量也随着变化,且总价+长度=单价(一定)，也就是比值一定,所以购买彩带的总价和

长度成正比例。

(4)购买3.5米彩带需要17.5元。

5.(1)

长度

(2)物体的质量与弹簧伸长的长度成正比例。因为物体的质量和弹簧伸长的长度是两种

相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且弹簧伸长的长度+物体的质量=挂每千克

物体弹簧伸长的长度(一定)，也就是比值一定,所以物体的质量和弹簧伸长的长度成正比例。

(3)如果挂上质量5千克的物体,弹簧应伸长1.25厘米;要使弹簧伸长4厘米,应挂上16

千克的物体。

《2原比例的意义*

课时

教学内容

反比例的意义。(教材第6广62页)

教学目标

1.理解反比例的意义。

2.能根据反比例的意义,正确地判断两种量是否成反比例。

重点难点

重点：引导学生总结成反比例的量是相关联的两种量中相对应的两个数的积一定，进而

抽象概括出成反比例的关系式。

难点:利用反比例的意义,正确判断两种量是否成反比例。

教具学具

课件。

米*米*n********mj****#来※*********※**********************兴※******iHHiHif**泰*它***※*********※

下面两种量是不是成正比例?为什么？

购买练习本的价钱:0.80元,1本；1.60元,2本;3.20元,4本;4.80元,6本。

成正比例的量有什么特征？

探究体验，经历过程

教学例3,提出观察思考要求。

（1）从中你发现了什么?这与复习题相比有什么不同？

（2）学生讨论交流。

引导学生回答:笔记本的单价扩大,可购买的数量却缩小;笔记本数量缩小,单价却扩大。

表中的两个量是笔记本的数量和单价。每两个相对应的数的乘积都是60o

（3）教师点拨:两种量的变化有什么规律？（积一定）

教师提问：60表示的意义是什么？（笔记本总价一定）

教师提问:购买笔记本的数量、笔记本的单价和笔记本的总价,怎样用式子表示它们之间

的关系呢？

学生回答后教师板书:单价X数量=总价（一定）

师:如果用字母x和y表示两种相关联的量，用次表示它们的积,反比例可以用一个什么

样的式子表示？

学生回答后教师板书：xXy4（一定）

【设计意图:借助学生已经掌握的正比例的意义，引导学生自主探究反比例的意义,并在

拓展延伸中巩固提高对本节知识点的掌握以及灵活应用】

课未总结，梳理提升

师:在本节课的学习中，你有哪些收获?

学生自由交流各自的收获体会。

板书设计

反比例的意义

单价X数量=总价（一定）

两种相关联的量,如果其中一个量变化,另一个量也变化,如果这两个量的积一定,

这两个量叫作成反比例的量,它们的关系叫作成反比例关系。

用含有字母的式子表示反比例：xXy=kL定）

课堂作业新设计

A类

1.填空题。

⑴两种（）的量，一种量（），另一种量也随着（），如果这两种

量相对应的数（），这两种量就是成反比例的量，它们的关系叫作（）。

（2）用字母表示成反比例的关系式：（）。

（3）在速度、时间、路程三个量中，（）一定时，（）和（）成反比

例。

2.判断下面每题中的两个量是否成反比例。（正确的画“”，错误的画“X”）

（1）路程一定,速度和时间。（）

（2）小明从家到学校，每分钟走的速度和所需时间。（）

（3）平行四边形的面积一定，底和高。（）

（4）小林做10道数学题，已做的题的数量和没有做的题的数量。（）

⑸小明拿一些钱买铅笔,单价和购买的数量。（）

3.下表中的x和y成反比例,在表中空白处填上适当的数。

X5|201042

y360306

4.AB、C三种量的关系是6X1。

⑴当/一定时，那么6和。成（）比例；

⑵当8一定时，那么力和。成（）比例；

⑶当。一定时，那么力和6成（）比例。

（考查知识点:反比例；能力要求:运用所学知识解决简单的问题）

B类

煤厂有煤600吨,运输队4次共运走120吨,照这样计算,运17次后还剩多少吨？（用比例

方法和算术方法解答）

（考查知识点:反比例;能力要求:运用所学知识解决简单的问题）

・参考答案・

课堂作业新设计

A类:

1.(1)相关联变化变化乘积一定成反比例关系(2)xXy*(一定)

(3)路程时间速度

2.(1)(2)(3)(4)X(5)

3.12612151030

4.⑴反(2)正(3)正

B类:

90吨

教材习题

教材第61页“试一试”

(1)56工作时间是随着工作效率的变化而变化的。

(2)相对应的两个数的乘积是240„

(3)这个乘积表示的实际意义是工作总量,即要生产的240个零件;用式子表示它们之间

的关系是:工作效率X工作时间=工作总量(一定)。

(4)工作效率和工作时间成反比例;因为工作效率和工作时间是两种相关联的量,一种量

变化,另一种量也随着变化,且工作效率X工作时间=工作总量(一定)，也就乘积一定,所以工

作效率和工作时间成反比例。

教材第62页“练一练”

1.(1)答案不唯一，例如：12X500=600015X400=600020X300=6000积都相等。

(2)每袋装的粒数和袋数成反比例。因为每袋装的粒数和袋数是两种相关联的量,一种量

变化,另一种量也随着变化,且每袋装的粒数X袋数=这批水果糖的总粒数(一定)，也就乘积

一定,所以每袋装的粒数和袋数成反比例。

2.每天运的吨数和需要的天数成反比例。因为每天运的吨数和需要的天数是两种相关

联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且每天运的吨数X需要的天数=这批水泥的总吨

数(一定)，也就乘积一定,所以每天运的吨数和需要的天数成反比例。

教材第63飞5页“练习十一”

1.装配计算机的工作效率和工作时间成反比例；因为工作效率和工作时间是两种相关

联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,且工作效率X工作时间=工作总量(一定)，也就乘

积一定，所以装配计算机的工作效率和工作时间成反比例。

2.

①②③

面积/ck121212

长/cm1264

宽/cm123

④⑤⑥

周长/cm141414

长/cm654

宽/cm123

(1)长方形的面积一定,长与宽成反比例。因为长和宽是两种相关联的量,一种量变

化,另一种量也随着变化,且长乂宽=长方形的面积(一定)，也就乘积一定,所以长和宽成反比

例。

(2)长方形的周长一定，长与宽不成反比例。因为周长是长与宽的和,不是它们的积一定,

所以长与宽不成反比例。

11

3.54

4.(1)圆柱的底面积和高成反比例。

(2)钢材的体积和钢材的质量成正比例。

(3)小明的年龄和身高不成正比例也不成反比例。

(4)圆的直径和圆的周长成正比例。

5.(1)4080120160200240280

(2)这幅图的比例尺是1:4000。图上距离和实际距离成正比例。因为图上距离和实际距

离是两种相关联的量,一种量变化，另一种量也随着变化,且三叁=比例尺(一定)，也就比

值一定,所以图上距离和实际距离成正比例。

(3)12X40=480(m)

6.(1)121830

每天看的页数和看的天数成反比例关系。因为每天看的页数和看的天数是两种相关联的

量,一种量变化,另一种量也随着变化,且每天看的页数X看的天数=这本书的总页数(一定)，

也就乘积一定,所以每天看的页数和看的天数成反比例。

(2)60453018120135150162

己看的页数和剩下的页数不成比例。因为己看的页数和剩下的页数的和一定,既不是比

值一定,也不是积一定，所以已看的页数和剩下的页数既不成正比例,也不成反比例。

7.(1)每排的人数和排数成反比例。因为每排人数和排数是两种相关联的量，一种量变

化,另一种量也随着变化,且每排人数X排数=参加团体操的总人数(一定)，也就乘积一定,所

以每排人数和排数成反比例。

(2)浇树的时间和浇树总棵数成正比例。因为浇树的时间和浇树总棵数是两种相关联的

量,一种量变化，另一种量也随着变化,且浇树总棵数小浇树的时间=每分钟浇树的棵数(一

定)，也就是比值一定,所以浇树的时间和浇树总棵数成正比例。

(3)地砖的块数和铺地的面积成正比例。因为地砖的块数和铺地的面积是两种相关联的

量,一种量变化,另一种量也随着变化,且铺地的面积+地砖的块数=每块地砖的面积(一定)，

也就比值一定，所以地砖的块数和铺地的面积成正比例。

(4)每天接待顾客的数量与营业额不成比例。因为它们的比值不一定,积也不一定,所以

接待顾客的数量与营业额不成比例。

(5)商品的单价和数量成反比例。因为商品的单价和数量是两种相关联的量,一种量变化,

另一种量也随着变化，且单价X数量=总价(一定)，也就乘积一定，所以商品的单价和数量成

反比例。

8.

X123456

y4812162024

(1)4A=X

(2)y和x成正比例。因为x和y是两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,

且2工(一定),也就比值一定,所以成正比例。

X

工3人树有渗高不

课时

教学内容

大树有多高。（教材第66~67页）

数学目标

1.通过测量、计算、比较，发现在同一时间，同一地点，同时测量不同的竹竿的高度与影

长的比值是相等的。

2.应用发现的规律,测量出大树的高度。

3.通过探索、发现、经历实验、比较发现规律的过程，体验解决问题的乐趣，感受数学

方法的价值。

重点难点

重点:应用发现的规律,测量出大树的高度。

难点:发现在同一时间，同一地点，同时测量不同的竹竿的高度与影长的比值是相等的。

教具学具

不同高度的竹竿、尺子。

**米***料崇******冰家家充*3**米***条*米*********米※******否********共**亲*********松寮*标************

教学过程

日I创设情境，激趣导入

师：同学们,要想知道一棵大树的高度,可以怎样做呢?

学生可能会说:

•先了解附近建筑物的高度,再通过比较，估计大树有多高。

•在阳光下,不同高度的物体,影长是不一样的。物体高度和影长之间有什么关系呢?

师:要解决这些问题,看来我们应该通过实验,看看其中究竟有没有规律?有什么规律呢?

【设计意图:提出问题,引发学生的认知冲突，激发学生探究的兴趣】

SI探究体验，经历过程

1.实验操作。

师:请同学们，以小组为单位实验进行活动。先请同学们认真阅读活动要求，注意安全。

（课件出示:活动要求,具体内容如下）

⑴在阳光下，把几根同样长的竹竿直立在平坦的地面上，同时量出每根竹竿的影长。(结

果取整厘米数)

(2)把几根不同长度的竹竿直立在地面上，同时量出每根竹竿的影长。

(3)小组内合理分工，做好测量数据的记录,并计算比值。

(4)比较每次求得的比值，你有什么发现。

学生到操场上进行活动;教师巡视了解情况。

组织学生交流汇报，小结:在阳光下,在同一时间、同一地点测量几根同样长的竹竿,其影

长相等;在阳光下，同一地点、同一时间测量不同的竹竿,竹竿长度和影长的比值是相等的(或

者说竹竿影长和竹竿长度的比值是相等的)。

2.解决问题。

师:你能应用实验活动中发现的规律,通过测量和计算求出大树