高中数学讲义：集合与常用逻辑用语知识梳理

高中数学讲义：集合与常用逻辑用语知识梳理

目录

1.集合与常用逻辑用语.........................................................1

2.集合........................................................................8

3.集合的表示方式............................................................12

4.集合之间的关系............................................................16

5.集合的运算.................................................................19

6.命题与量词..................................................................23

7.四种命题的关系............................................................25

8.充分条件与必要条件........................................................27

1.集合与常用逻辑用语

1.1集合的概念（方括号内概念来自国内数学教科书人教A版）

元素：【将研究对象统称为元素。】

集合：【将一些元素组合成的总体叫做集合，简称为“集“】

集合中的元素需遵守三大要素：确定性、互异性、无序性

非负数集（自然数集）记作N

正整数集记作N*或N+

整数集记作Z

有理数集记作Q

实数集记作R

有时为了方便表达，会将某个问题中涉及的所有元素都归纳进一个集合，

即全集，通常记作U

元素和集合到底是什么捏

其实只是换了个更严谨（看着厉害）的方式表示这些我们已经熟知的东西

罢了，熟悉新语言是高中的第一课〜

什么东西可以作为元素呢？

1〜10之间的所有偶数

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第二中学今年入学的全体高一学生

到直线1的距离等于定长d的所有点

方程(x+1)(x-1)=3的所有实数根

这些都可以作为元素看待并且拽到一个集合里去！

同时，给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，不可以有含含糊

糊的元素！

像是什么"将高一二班全体长得很高的男同学作为一个集合“，这是不可

以的

但改成”将高一二班全体身高2185cm的男同学作为一个集合“就可以

了哦

而且，一个集合中的元素是互不相同的，也就是说，它们不可以重复出

现，比方说一个集合里不可以同时有4个3或者是2个-五

至于元素之间的无序性，也就是说那些元素只要确定且互不相同，就可以

往集合里塞啦，不需要去排队，也不存在什么顺序。

在数学语言中通常会用大写字母A,B,C,…表示集合，用小写字母a,b,

c,…代称集合中的元素。需要表示某个元素和某个集合的关系时，就用到

“属于”或“不属于”这两个词。

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A,记作aeA

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于A,记作aqA

(怎么记忆G开口的方向一一你看它像不像一个爪子？小爪爪是朝向集

合的啦〜)

怎么规定一个集合

第一种是列举法！

“地球上的四大洋”组成的集合可以表示为｛太平洋，印度洋，大西洋，

北冰洋｝

“1〜10的全体偶数”组成的集合可以表示为｛2,4,6,8,10)

把集合的所有元素列出来并且用花括号圈好就可以表示集合啦

题设下严谨地用列举法表示“1〜10的全体偶数”就会是这样：

设1〜10间的全体偶数组成的集合为A,那么A=｛2,4,6,8,10)

由于元素的无序性，我们完全可以这样写：

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A={10,6,2,4,8)

但这个集合看上去也太乱啦，按顺序写会好一些

第二种叫描述法

有时候列举法并不是很好用，总有些东西一个个列举太麻烦，这时候我们

用描述法表示集合。

比方说小于10的整数的集合应该这样写：

设V10的整数组成的集合为A,那么A={xeZ|x<10}

在{}中，”前为元素的取值范围，”后为集合内元素的共同

特征，教科书上这么规定：

一般的，设A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的

元素x所组成的集合表示为

{xeA|P(x)}#P(x)应当为等式或不等式

有时我们从上下文可以看出x的取值范围，这时候我们有约定俗成的省略

写法，如：

D={xeR|x<10]-D={x|x<10)

课后题

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1.2集合间的基本关系

集合间的关系其实就是各个集合的元素的关系

包含与被包含

【一般的，对于2个集合A,B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B

的元素，就称集合A为集合B的子集，记作AUB（或B?A）,读作“A包

含于B"（或“B包含A”）］

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数学中常用Venn（韦恩）图来代表集合，上面集合AB的关系可以这样用

Venn图表示:

符号开口朝向看起来更大的B集合

打个比方：集合A={1,2,3},集合B={1,2,3,4），那么就说AUB

相等的关系

那么假如有一个这样的集合C={1,2,3,4},它看起来满足“每一个元素都

是集合B的元素”，但我们想象出的Venn图会像两个同心等圆。这时候我们

就说【集合C与集合B相等，记作C=B]

也就是说，若AUB且B=A,则A=B

更多的关系

这样定义下去总会有些难受，因为我们总感觉集合B的子集就该像它的孩

子一样比它更小些，一个孩子跟他妈妈一样大感觉很怪异。所以我们希望能够

区别出那些真正像孩子一样的子集，也就是把他们叫做【真子集】

【如果集合AUB,但存在元素xdB,月.xqA,就称集合A是集合B的

真子集，记作A曙B（或B崔A）,读作“A真包含于B”或“B真包含A”】

同时还有一个必要的集合叫做“空集”（。）也就是没有元素的集合，它

看起来有点滑稽，但我们会用到它，就像是一个不装东西的塑料袋一样。出于

这样的理解，我们可以得到结论【空集是任何非空集合的真子集】

同样的，我们又会将空集也做特殊的归类，即在真子集里挖去空集，成为

【非空真子集】

整理

（1）任何集合都会是它本身的子集（#只不过不是真子集罢了嘻嘻）

AcA

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(2)对于集合A,B,C,如果AUB,且BUC,那么AUC(#如果A

在B的肚子里，B又在C的肚子里，那么A当然也会在C的肚子里啦，就像俄

罗斯套娃，当然，也许这三个娃可以违反直觉地是同样的大小［笑］)

AUB,BUCoAUC

(3)在做计算题时常常会让你数集合的子集，这时候可以用到公式

若人={al,a2,…an},则有

A的子集的个数为2》

A的真子集的个数为2八上1

A的非空真子集为2、-2

课后题

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1.3集合的基本运算

并集（#相当于集合的加法）

猜一猜怎么做呢〜就是将两个集合的元素归纳到另一个集合里去，这个叠

加爹妈元素的集合就叫做前两个集合的“并集”

【一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合

A与B的并集，记作AUB,读作“A并B”]

并的符号（U）就像是一个碗，如果左边有一碗草莓圣代，右边有一碗

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蓝莓圣代，这两碗圣代的并集就是一个草莓和蓝莓双拼的大碗圣代

【即，AUB={x|xCA,或xGB}]

并集中的元素同样要满足互异性，A,B集合中重复的元素在并集C中只

需要写一遍

那么现在这里是一份双拼的制作过程:

可不要一看到题目的字母和符号就头疼奥，集合A为；〜2的数，集合B

为1〜3的数，取一个并集就是-1〜3的数

转化成数轴图像就是这样的

-1012Jt

交集（把那些“既要……又要……”的家伙挑出来！）

总有一些元素会在两个集合里都存在，“交”这样的运算就是为了把两个

集合中共有的元素提溜出来。

用数学语言讲：AnB={x|xeA,XeB）

（#n就像是被掏空的“且”，取既A且B的元素也就是“交”啦）

举个栗子:设人={1,2,3},B={2,3,4},那么AnB-{2,3}

补集（不想要就扣走！）

2.集合

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1、集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这

个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，通常用英语大写字母A、8、

C、...来表示。

2、元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，通常用英语

小写字母。、6、，、…来表示。

注意：在集合中，通常用小写字母表示点(元素)，用大写字母表示点(元

素)的集合，而在几何中，通常用大写字母表示点(元素)，用小写字母表示点的

集合，应注意区别。

3、空集的含义：不含任何元素的集合叫做空集，记为0。

4、元素与集合的关系：之间只能用或"任"符号连接。

(1)属于：如果。是集合A的元素，就说。属于集合A,记作aeA；

(2)不属于：如果“不是集合A的元素，就说“不属于集合人，记作”£A。

5、集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性。

(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或

者不是这个给定的集合的元素，这叫集合元素的确定性。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归

入一个集合时，仅算一个元素，这叫集合元素的互异性。

集合中的元素互不相同。例：集合A："”｝,则。不能等于1。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，

仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样，这叫集合元素的

无序性。

例：｛0,1,2｝有｛0,2,1｝、｛1,0.2｝、｛1,2,0｝、｛2,0,1｝、｛2,1,0｝等六种表示方法。

6、集合的分类：

(1)有限集：含有有限个元素的集合。

(2)无限集：含有无限个元素的集合。

(3)空集：不含任何元素的集合。

7、常见的特殊集合：

⑴正整数集N*或M；

(2)非负整数集N(即自然数集，包括零)；

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(3)整数集Z(包括负整数、零和正整数)；

(4)有理数集。(包括整数集Z和分数集一正负有限小数或无限循环小数);

(5)实数集R(包括所有的有理数和无理数)；

1)>按定义分类：「正整数

2)、按符号分类：「正有理数

正实数

I正无理数।

实数J0

有限小数、无限循环小数「负有理数负实数0正实数

1负实数

〔负无理数

L无理数…一无限不循环小数

注意：①％：｛整数｝M；z=｛全体整数｝⑻；

②｛(x,y)|x-y=O,xeR,yeR｝表示坐标轴上的点集；

③｛(x,y)|x-y>O,xeR,yeR｝表示第1/3象限的点集；

④｛*,y)|x.y<O,xeR”R｝表示第小象限的点集；

(x+y=3

⑤对方程组解的集合应是点集，例：3x-3y=l解的集合｛(2,1)｝；

例1-1.判断下列说法是否正确，并说明理由。

(1)某个单位里的年轻人组成一个集合；

36」1

(2)1,2,4,2,2这些数组成的集合有5个元素;

(3)由。、葭。组成的集合与由以。、。组成的集合是同一个集合。

【解析】(1)不正确，因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能

作为元素来组成集合；

(2)不正确，对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，

即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的；

(3)正确，集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合。

例1-2.下列说法正确的是()。

A、2020年上半年发生的大事能构成一个集合B、小于100的整数

构成的集合是无限集

C、空集中含有元素0

D、自然数集中不含有元素0

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【答案】B

【解析】“大事”是不确定的对象，A错，

小于100的整数包括无穷个负数，B对，

空集中不含有任何一个元素，C错，

自然数集中含有元素0，D错，故选B。

例1-3.若元素“eQ,但。任Z,则。的值可以是（）o

A、-5

B、°

1

C、3

D、6

【答案】C

【解析】由题意可知，元素。是有理数但不是整数，.•・”是分数，故选C。

例1-4.已知集合S中三个元素。、〃、。是A4BC的三边长，那么AABC一

定不是（Jo

A、锐角三角形B、直角三角形C、钝角三角形

D、等腰三角形

【答案】D

【解析】根据集合中元素的互异性，知。、屋。都不相等，故选D。

例1-5.下列描述的对象组成的集合是无限集的是（）o

A、方程/-6》+5=0的根

B、大于°且小于2的实数

C、小于20的质数

D、倒数等于它本身的实数

【答案】B

【解析】A中描述的集合中只有1、5两个元素，

B中大于°且小于2的实数有无限多个，

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C中小于20的质数有8个，

D中描述的对象只有±1,故B中所描述的集合是无限集，故选B。

例1-6.已知集合4=3/+点+4=0}为空集，则实数〃，的集合是()。

A{ni\-4<m<4}g{m\-4<m<4}{m\—2<m<2}

D{m\—2<m<2}

【答案】A

【解析】A=^2-4xlx4<0^/W2<16,则一4(机<4,故选A。

拓展：若有一个元素，则，〃=±4,即{T，4}；

若有两个元素，则加>4或m<T,即{刈〃?<-4或帆>4}。

3.集合的表示方式

1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个花括号全部括

±o

(1)用列举法书写集合时，先应明确集合中的元素是点集、数集还是其它集

合。集合的所有元素用“{}”括起来，元素间用分隔号“，

(2)元素不重复，元素无顺序。

(3)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举

法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号。

(4)适用条件：有限集或元素间存在明显规律的无限集。

需要说明的是，对于有限集，由于元素的无序性，如集合”23,4}与

{2,1,4,3}表示同一集合，但对于具有一定规律的无限集{123,4…},就不能写成

{2,1,4,3…}O

2、自然语言描述法：用自然的文字语言描述。如：昌图一高的所有团员

组成的一个集合。

3、特征性质描述法(简称描述法)：将集合中的元素的公共属性描述出来，

写在花括号内表示集合的方法。它的一般格式为{Xi%')},"I"前是集合元素的

一般形式，"I"后是集合元素的公共属性。

222

例:{X|X-2X-3=0}>{x\y=x-2x-3}{y\y=x-2x-3}

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{(x,y)\y=x2-2x-3]

o

以一个方程(组)或不等式(组)的所有解为元素的集合叫做该方程(组)或不等

式(组)的解集。

例：工2_摩()的解集就是A={x|xV-l或xNl},

--"。的解集就是6={x|TWxWl},

--1=0的解集是。={-1叽

(1)写清楚该集合代表元素的符号。例如，集合{xeRxvl}不能写成

{x<l}O

(2)所有描述的内容都要写在花括号内。例如，{xeR|x=2%},keZ,这

种表达方式就不符合要求，需将％eZ也写进花括号内，即

{XELR\x=2k,kELZ}

o

(3)不能出现未被说明的字母。

(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不

例：方程产-2》+1=0的实数解集可表示为{xeR|x2_2x+l=0},也可写成

{X|X2-2X+1=0}

O

(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形},

{自然数}等。

4、韦恩(心〃町图法：如：―〜、

例2-1.用适当的方法描述下列集合，并且说明它们是有限集还是无限

⑴方程--9=0的解集；

(2)大于°且小于10的奇数构成的集合;

⑶不等式尸3>2的解集；

(4)抛物线卜=”上的点构成的集合;

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⑸方程X2+X+1=O的解集。

【解析】(1)用列举法表示为(-3,3},用描述法表示为{Xi》、9=0},集合中

有2个元素，是有限集；

(2)用列举法表示为{135,7,9},用描述法表示为

{小=21,%€村+且14左45},

集合中有5个元素，是有限集；

(3)用描述法表示为“lx>5},集合中有无数个元素，是无限集；

(4)用描述法表示为{(兑)')仃=/},抛物线上的点有无数个，因此该集合是

无限集；

(5)方程Y+x+l=°无实数解，故该方程的解集为0,是有限集。

例2-2.由大于-3且小于11的偶数所组成的集合是()o

A{X|-3<X<11,XG(2)

g{x|-3<x<l1}

C{x\-3<x<ll,x=2k,kGN+}

D{x|-3<x<ll,x=2k,kGZ)

【答案】D

【解析】偶数是整数，可以是正数、零或负数，故选D。

例2-3.若人={-2,2,3,4},8={x|x=f2jwA},用列举法表示集合8

为。

【答案】{4916}

【解析】•."=产，当f依次取-2、2、3、4时，x的值依次为4、

4、9、16,故8={4,9,16}。

例2-4.下列正确表示集合M={T，0，l}和N="|x2+x=0}关系的性〃〃图是

()。

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【答案】B

【解析】由"={-1，°}知N在M的内部，故选及

例2-5.下列集合中，不同于另外三个集合的是()o

2

A、{x|x=2021}B、{y|(y-2021)=0}c{x=2021)

D、{2021}

【答案】C

【解析】选项A,B,D中都只有一个元素“2021”，故它们都是相同的集

合,

而选项C中虽然只有一个元素，但元素是等式》=2021,而不是实数

2021,

故此集合与其他三个集合不同，故选C。

例2-6.设集合A=||〃区3},B={y\y=^

C={(x,y)|y=x2-1”A},试用列举法分别写出集合A、B、Co

【解析】集合A中的元素为绝对值小于等于3的正整数，.•.A={123},

集合8中的元素为》=1、2、3时函数"/_1的取值，."={0,3,8},

集合C中的元素是以集合A中的元素为横坐标，且在曲线丫=幺T上的

点，

•.•C={(1,0),(2,3),(3,8)}O

例2-7.已知全集。=2,A={X|X2-5X<(),XWZ},3={-1,0,1,2},则图中阴

影部分所表示的集合等于(Jo

A、12}

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B、｛TO｝

C、｛OR

D、工2}

【答案】B

【解析】5x<0的解为0<x<5,...集合A={1,2,3,4},

(GA)nB是指不在集合A中，但在集合8中的全集中的元素，即一1,0,

・••图中的阴影部分表示的集合等于{T。，故选B。

4.集合之间的关系

1、子集、真子集和集合相等:

图形语言

定义符号语言

X(图)

如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元AqB

子集

素，那么集合A叫做集合8的子集（或33%）

如果集合A是集合8的子集，并且B中至少有一

B

真子集个元素不属于A,那么集合A叫做集合8的真子

（或3*A）

集

如果集合A的每一个元素都是集合3的元素，反

集合

过来，集合8的每一个元素也都是集合A的元A=B

相等

素，那么就说集合A等于集合8

2、集合之间的性质

(1)任何一个集合是它本身的子集，记作A[A。

(2)空集0是任何集合的子集，记作0=A。

(3)空集°是任何非空集合的真子集。

(4)若非空集合A有〃个元素，则其子集个数为2",真子集个数为2"-1,

非空子集个数为2"-1,非空真子集个数为2"-2。

(5)对于集合A、B、C,如果AqB且BqC,那么对于真子集也

同时成立。

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（6）A=8且B=A,则A=B；反之A=B,则A=8且B=A。

3、集合之间只能用"=、u、/&"，"3、n、1","=、工"等连

接，不能用"e"或"”符号连接。

4、集合关系与其特征性质之间的关系

（1）推出符号（又称双推符号）n的应用：是正确的推理"因为…所以…”的简

写形式。例如："因为4所以夕'意指"由A成立可得到3必成立"，这时用推出

符号表示为：A=其中命题A称为条件、命题8称为结论，简称"由A推出

8"或"A是3的充分条件'这时命题A、8的关系称为因果关系。

因果关系具备自反性（即A=A）和传递性唧，，若A=BnC,则

An。，），但不具备对称性（即若AnB则未必有3nA）。

（2）互推符号=的应用：A=8意指"不但由A可推出B,而且由8也可推

出A"，简称"A等价于夕，或“A是5的充要条件”。这时命题A、8的关系称为等

价关系。

等价关系具备自反性（即4=力、对称性（即"若AoB则B=A，，）和传递性

（即"若A=3,BoC,则AoC，，）。

例3-1.设集合M={x|x=5-4a+/,aeR},集合

N={y|y=4/+4a+2,awR},则下列关系正确最准确的是（

A、M=N

B、NwM

C、MeN

D、M=N

【答案】A

［解析】M={x\x=5—4a+a2=（a-2）2+1,aG/?}

N=3y=4/+4a+2=（2a+1）2+1,4w/?},

即：M={X|X>1}>^v={yly>i},：.M=N,故选A。

例32设集合A={x|x=5-4a+/,aeN+},集合

8=3y=/+2a+2,aeN+},则下列关系正确最准确的是（）。

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A、A6

B、BgA

C、A*B

D、BEA

【答案】D

［解析】A={x|x=（a-2/+l,aeN+},B={y|y=（“+1-+l,aeNf},

即：A={1,2,5,10…},5={5,10,17,26.■•},故选D。

例3-3.已知集合A={123,4},那么A的真子集的个数是（）。

A、3

B、4

C、15

D、16

【答案】A

【解析】根据子集的计算应有24T=15（个），故选A。

例3-4.集合4={刈*2-3*+2=0/€/?},集合B={x|0<x<5,xeN},则满

足条件A=C=8的集合C的个数为（）o

A、1

B、2

C、3

D、4

【答案】D

［解析］A={L2},B={1,2,3,4},AUCUBFC={1,2}、C={1,2,3}、

C={1,2,4}、C={123,4}9

集合C的个数为4,选D。

例3-5.设集合A={x|l<x<2},B=［x\x<a}f若AqB,则。的取值范围

为（）。

A、

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B、3

C、a>\

D、a£2

【答案】A

【解析】由于A=根据数形结合可知。22,故选A。

例36已知集合4={-1，3,2m-1},集合8={3,/},若B=A,则实数

m=

O

【答案】1

［解析］nr=2m-\,即(加.1)2=0,

5.集合的运算

1、交集的定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合3的元素所组成

的集合叫做集合A与集合3的交集。记作AC3,读作“A交3”，即

/106={^|XGA_@JCGB}

o

注意：点集与数集的交集是0,例：A={(x,y)|y=x+1},

3={丫及=公+1},则anB=0。

2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合3的元素所组成

的集合，叫做集合A与集合8的并集。记作AU8(读作“A并夕，)，即

AUB={x|x£4或1£B}

O

3、全集与补集

(1)全集：如果所有要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给

定的集合为全集，通常用"来表示。

(2)补集：如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元

素构成的集合，叫做A在U中的补集。记作：CuA^［x\xeUKx^A}o

主要性质和运算律：

①重要结论：AC|A=A,AA0=0p|A=0.AUA=A,

A\J0=0\JA=A.，UC\A=A,U\JA=U°

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②包含关系：A=A,AqU,Ch,A^U.AqB,BjC=

AqC.

AClBqA,AClBcB；AUB",A\JB^Bg

R

③等价关系：AC|3=A=A\JB=B<=>QAG，80A[}CvB=0

oGAUB=U.

9

④集合的运算律：交换律：AnB=BnA,AU3=BUA；

结合律：(AAB)nC=AA(BnC))(AU8)UC=AU(8UC)；

分配律：An(BUc)=(AnB)u(Aric)=(AUB)ri(Auc)；

求补律：AnC0A=0,AUC〃A=U,CU(CUA)=A,

反演律：3(40或=。必11的巴Ct7(AUB)=C(7AnQ,Bo

注意：①已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集。(x)

②空集的补集是全集；

4、有限集的元素个数

(1)定义：有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为8rd(A)。规定

card(0)=0

(2)基本公式:

①card(A\JB)=card(A)+card(B)—card{AAB)

②

card(A\JC)=card(A)-hcard(B)-I-card(C)-card(AC\B)-card(BC)C)-card(Ar\C)

+card(ADBAC).

③carclXCyA)=card(U)-card(A)

5、集合的运算

(1)集合有三种运算关系：交集、并集和补集。在进行集合的运算时，先看

清集合的元素和所满足的条件，再把所给集合化为最简形式，并合理转化求

解，必要时充分利用数轴、韦恩图、图象等工具使问题直观化，并会运用分类

讨论、数形结合等思想方法，使运算更加直观，简洁。

(2)一般来讲，集合中的元素是离散的，则用列举法或韦恩图表示；集合中

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的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点是实心还是空心，在含

有参数时，要注意验证区间端点是否符合题意。遗忘空集的存在性也是常见的

致误原因。

例4-1.设集合M={x|x?+2x=0,xwR},N={x|/-2x=0,xwR},则

MUN=（）o

A、{。}

B、{。，2}

C、{々0}

D、{-2,0,2}

【答案】D

【解析】“={0，-2},N={0,2},...MUN={-2,0,2},故选口。

例4-2.已知集合A={xH«x<2},集合3={X|24X<3},则下列关系中正

确的是（）o

A、AnB=0

B、ACIB={2}

cAUB={x|l<x<3}

DAUB={x|l<x<2}

【答案】A

【解析】anB=0,4UB={X|1C<3},故选A。

例4-3.已知集合4={.'2-2》<0},集合8={到一+1区6},则下列关系正

确的是（）。

A、AC\B=0

B、AU3=R5B=A

D、A=B

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【答案】D

［解析］A={X|0<X<2},B={X|-V5<X<V5}>上数轴，故选口。

2

例4-4.已知集合。=t^={x|x-x-2>0}t则C°A=（）。

A、{x\-\<x<2}B、{x|—1<x<2］C{x|—2vx<1}

D{x|—2<x<l}

【答案】B

［解析］4={x|x4-1热22},..U=R,,CuA={x\-\<x<2}故选B。

例4-5.已知集合4={划--4x<0},B={y\y=2x-\,XGNJ5则如图所

示的Ve〃〃图中，阴影部分表示的集合中元素的个数为（）。/

D、4

【答案】B

【解析】由小一标<°得°<x<4,...A={x［0<x<4},由y=2x—l,

XGN*,得3={1,3,5,…},

根据题图可知阴影部分表示的集合为AC8,且4口8={1,3},

・•・阴影部分表示的集合中共有2个元素，故选B。

例46已知集合4={。，刈/+丁=4},3={（x,y）|y2=x+2},则集合

ACB的真子集的个数为（）。

A、3

D、8

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【答案】c

X2+y2=4卜=_2卜=1卜=1

【解析】联立卜=x+2解得日=。或1尸百或卜=一6,

故An8={（-2,0）,（1,百）,（1,一6）},

有3个元素，则真子集的个数为展-1=7,故选配

2

例4-7.设集合A={T，L3},B={a+2,a+4]?AC|8={3},则

a=o

【答案】1

【解析】；An'={3},...3eB,...a2+4*3,...4+2=3,...anl。

6.命题与量词

1、命题：一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以

判断真假的语句叫做命题。

2、命题的分类：①真命题：判断为真的语句叫做真命题；

②假命题：判断为假的语句叫做假命题。

一个命题要么是真，要么是假。数学中的定义、公理、定理等都是真命

题。

3、全称量词：短语“所有"、"任意"、"每一个“、"一切”等在陈述中表示所

述事物的全体，在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号表示，读作"对任

意”。含有全称量词的命题称为全称命题。

4、存在量词与存在性命题：短语“有一个"、“存在一个"、"至少有一个”、

“有的“、“有些"、"某个”等在陈述中表示所述事物的个体或部分，在逻辑中叫做

存在量词，并用符号"才’表示，读作“存在"。存在量词的命题称为存在性命题。

5、基本逻辑联结词："或”且（人厂、“非（f”这些词叫做逻辑联结

词。

（1）不含逻辑联结词的命题叫简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命

题叫复合命题。

（2）复合命题的构成形式：①。或4；②。且夕；③非〃（即命题P的否

定）。

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（3）复合命题的真假判断（利用真值表）:

非〃非4，或9，且4

pq

(>)（丁）(PM)

真真假假真真

真假假真真假

假真真假真假

假假真真假假

例5-1."关于x的不等式/（幻＞°有解”等价于（）。

A、我叫使得〃陶）＞°成立

B、玉”R,使得成立

C、VxeR,使得f（x）＞°成立

D、VxeR,/（x）4°成立

【答案】A

【解析】"关于x的不等式〃x）＞°有解”等价于“存在实数%,使得/。。）＞°

成立"，故选A。

例5-2.命题的否定是（）。

A、VxeR,xwxB、VXGT?,x~=xc、玉任R,九丰x

D、HxeT?,x2=x

【答案】D

【解析】全称命题的否定，需要把全称量词改为特称量词，并否定结论，

故选Do

例5-3.若命题P：以《心2x2-l＞0,则该命题的否定是（卜

A、VxwR,2x2-1＜0

B、BxeT?,2x2-1＜0

CX/XGR、2X2-1＜0

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D、BXGT?,2x2-1>0

【答案】B

【解析】命题p的否命题为：女wR,2x2-l<0,故选B。

7.四种命题的关系

1、四种命题的形式：用0和4分别表示原命题的条件和结论，用〉和/

分别表示。和4的否定，则四种命题的形式为：①原命题：若〃则九②逆命

题：若。则〃；③否命题：若〉则7;④逆否命题：若/则"。

（1）原命题。逆否命题，它们具有相同的真假性，是命题转化的依据和途

径之一。

（2）逆命题Q否命题，它们之间互为逆否关系，具有相同的真假性，是命

题转化的另一依据和途径。

除以上两点之外，四种命题中其它两个命题的真伪无必然联系。

2、否命题与否定命题的区别：

"否命题"与"命题的否定”这两个概念，如果原命题是“若。则“"，那么这个

命题的否命题是"若非P,则非打，而这个命题的否定是“若夕则非夕”。可见，

否命题既否定条件又否定结论，而命题的否定只否定结论。

一个命题与它的否定形式是完全对立的。两者之间有且只有一个成立。

命题是否成立，与它的否命题是否成立，两者没有关系。

得到一个问题的否命题很容易，把限定词，条件，结论全部否定就可以

了。

例如：所有自然数的平方都是正数。

原命题的标准形式：任意X,（若X是自然数，则小是正数）。

原命题的否定命题：任意X,（若X是自然数，则X是非正数）。

原命题的否命题：存在X,（若X不是自然数，则一不是正数）。

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原命题的逆否命题：任意X,（若小不是正数，则X不是自然数）

例6-1.全称命题"VxeZ,2X+1是整数，，的逆命题是（）。

A、若2%+1是整数，则xeZ

B、若2x+l是奇数，pllJxeZ

C、若然+1是偶数，则xwZ

D、若2x+l能被3整除，则xeZ

【答案】A

【解析】逆命题为：若2%+1是整数，则xeZ,故选A。

例62命题"若一<1,则T<x<l"的逆否命题是（）□

A、若/N1,则xNl或xW—1

B、若—1<X<1,则一<1

C、若x>l或x<T,则-2>1

D、