2025届江苏省扬州市江都区城区数学九上期末学业质量监测试题含解析

2025届江苏省扬州市江都区城区数学九上期末学业质量监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．在一个布袋里放有个红球，个白球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，从布袋中任意摸出一个球是白球的概率（）A． B．C． D．2．用相同的小立方块搭成的几何体的三种视图都相同（如图所示），则搭成该几何体的小立方块个数是（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个3．从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（）A． B．C． D．4．学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置绕点旋转到位置，已知，，垂足分别为，，，，，则栏杆端应下降的垂直距离为()A． B． C． D．5．反比例函数的图象经过点，若点在反比例函数的图象上，则n等于（）A．-4 B．-9 C．4 D．96．将一个正方体沿正面相邻两条棱的中点连线截去一个三棱柱，得到一个如图所示的几何体，则该几何体的左视图是()A． B． C． D．7．要将抛物线平移后得到抛物线，下列平移方法正确的是（）A．向左平移1个单位，再向上平移2个单位． B．向左平移1个单位，再向下平移2个单位．C．向右平移1个单位，再向上平移2个单位． D．向右平移1个单位，再向下平移2个单位．8．已知如图，中，，，，边的垂直平分线交于点，交于点，则的长是（）．A． B． C．4 D．69．如图，BD是⊙O的直径，点A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是（）A．60° B．45° C．35° D．30°10．已知（，），下列变形错误的是（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，竖直放置的一个铝合金窗框由矩形和弧形两部分组成，AB=m，AD=2m，弧CD所对的圆心角为∠COD=120°．现将窗框绕点B顺时针旋转横放在水平的地面上，这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为__m．12．设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2020=0的两个实数根,则m2+3m+n=______.13．有一块长方形的土地，宽为120m，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙均为正方形，现计划甲建住宅区，乙建商场，丙地开辟成面积为3200m2的公园．若设这块长方形的土地长为xm．那么根据题意列出的方程是_____．（将答案写成ax2+bx+c=0（a≠0）的形式）14．__________．15．如图，等边边长为2，分别以A，B，C为圆心，2为半径作圆弧，这三段圆弧围成的图形就是著名的等宽曲线——鲁列斯三角形，则该鲁列斯三角形的面积为___________．16．的半径为，、是的两条弦，．，，则和之间的距离为______17．墙壁CD上D处有一盏灯(如图)，小明站在A处测得他的影长与身长相等，都为1.6m，他向墙壁走1m到B处时发现影子刚好落在A点，则灯泡与地面的距离CD＝____．18．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为__________．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，已知：在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，AB＝13，BC＝10，（1）求△ABC的面积；（2）求tan∠DBC的值．20．（6分）如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．21．（6分）如图，已知、两点的坐标分别为，，直线与反比例函数的图象相交于点和点．（1）求直线与反比例函数的解析式；（2）求的度数；（3）将绕点顺时针方向旋转角(为锐角)，得到，当为多少度时，并求此时线段的长度．22．（8分）已知抛物线y=x2+x﹣．（1）用配方法求出它的顶点坐标和对称轴；（2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．23．（8分）一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其它差别，其中红球有个，若从中随机摸出一个，这个球是白球的概率为．（1）求袋子中白球的个数；（2）随机摸出一个球后，不放回，再随机摸出一个球，请结合树状图或列表求两次都摸到相同颜色的小球的概率．24．（8分）如图，在中，，，，平分交于点，过点作交于点，点是线段上的动点，连结并延长分别交，于点、.（1）求的长.（2）若点是线段的中点，求的值.（3）请问当的长满足什么条件时，在线段上恰好只有一点，使得?25．（10分）定义：如图1，在中，把绕点逆时针旋转（）并延长一倍得到，把绕点顺时针旋转并延长一倍得到，连接．当时，称是的“倍旋三角形”，边上的中线叫做的“倍旋中线”．特例感知：（1）如图1，当，时，则“倍旋中线”长为______；如图2，当为等边三角形时，“倍旋中线”与的数量关系为______；猜想论证：（2）在图3中，当为任意三角形时，猜想“倍旋中线”与的数量关系，并给予证明．26．（10分）元旦期间，九年级某班六位同学进行跳圈游戏，具体过程如下：图1所示是一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上的点数分别是1，1，3，4.5，6，如图1，正六边形ABCDEF的顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每投掷一次骰子，假骰子向上的一面上的点数是几，就沿着正六边形的边逆时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就逆时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得1．就从图D开始逆时针连续起跳1个边长，落到圈F…，设游戏者从圈A起跳（1）小明随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；（1）小亮随机掷两次骰子，用列表法或画树状图法求最后落回到圈A的概率P1．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据概率公式，求摸到白球的概率，即用白球除以小球总个数即可得出得到黑球的概率．【详解】∵在一个布袋里放有个红球，个白球和个黑球，它们除了颜色外其余都相同，∴从布袋中任意摸出一个球是白球的概率为：．故选：C．【点睛】此题主要考查了概率公式的应用，由已知求出小球总个数再利用概率公式求出是解决问题的关键．2、B【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图和左视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．【详解】依题意可得所以需要4块；故选：B【点睛】考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．3、B【分析】根据圆周角定理（直径所对的圆周角是直角）求解，即可求得答案．【详解】∵直径所对的圆周角等于直角，∴从直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是B．故选B．【点睛】本题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．4、C【解析】分析：根据题意得△AOB∽△COD，根据相似三角形的性质可求出CD的长.详解：∵，，∴∠ABO=∠CDO,∵∠AOB=∠COD,∴△AOB∽△COD，∴∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴.故选C.点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△AOB∽△COD是解题关键．5、A【分析】将点（-2，6）代入得出k的值，再将代入即可【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴k=（-2）×6=-12，∴又点（3，n）在此反比例函数的图象上，

∴3n=-12，

解得：n=-1．

故选：A【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．6、B【分析】根据左视图的定义画出左视图即可得答案.【详解】从左面看，是正方形，对面中间有一条看不见的棱，用虚线表示，∴B选项符合题意，故选B.【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，左视图是从左面看所得到的图形．7、D【分析】把抛物线解析式配方后可以得到平移公式，从而可得平移方法．【详解】解：由题意得平移公式为：，∴平移方法为向右平移1个单位，再向下平移2个单位．故选D．【点睛】本题考查二次函数图象的平移，经过对前后解析式的比较得到平移坐标公式是解题关键．8、B【分析】根据勾股定理求出BC,根据线段垂直平分线性质和勾股定理可求AE.【详解】因为中，，，，所以BC=因为的垂直平分线交于点，所以AE=EC设AE=x,则BE=8-x,EC=x在Rt△BCE中，由BE2+BC2=EC2可得x2+（8-x）2=62解得x=.即AE=故选：B【点睛】考核知识点：勾股定理，线段垂直平分线.根据勾股定理求出相应线段是关键.9、D【解析】试题分析：直接根据圆周角定理求解．连结OC，如图，∵=，∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°．故选D．考点：圆周角定理．10、B【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各项分析判断即可得解.【详解】解：由，得出，3b=4a,A.由等式性质可得：3b=4a，正确；B.由等式性质可得：4a=3b，错误；C.由等式性质可得：3b=4a，正确；D.由等式性质可得：4a=3b，正确.故答案为：B.【点睛】本题考查的知识点是等式的性质，熟记等式性质两内项之积等于两外项之积是解题的关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、（）【分析】连接OB，过O作OH⊥BC于H，过O作ON⊥CD于N，根据已知条件求出OC和OB的长即可．【详解】连接OB，过O作OH⊥BC于H，过O作ON⊥CD于N，∵∠COD=120°，CO=DO，∴∠OCD=∠ODC=30°，∵ON⊥CO，∴CN=DN=CD=AB=m，∴ON=CN=m，OC=1m，∵ON⊥BC，∴四边形OHCN是矩形，∴CH=ON=m，OH=CN=m，∴BH=BC-CH=m，∴OB==m，∴在这一过程中，窗框上的点到地面的最大高度为（+1）m，故答案为：（+1）．【点睛】本题考查了垂径定理，矩形的性质和判定，勾股定理，掌握知识点是解题关键．12、2018.【解析】根据题意得.m2+3m+n=2020+m+n，再根据m，n分别为一元二次方程x2+2x-2020=0的两个实数根，得m+n=-2，带入m2+3m+n计算即可.【详解】解：∵m为一元二次方程x2+2x-2020=0的实数根，∴m2+2m-2020=0，即m2=-2m+2020，∴m2+3m+n=-2m+2020+3m+n=2020+m+n，∵m，n分别为一元二次方程x2+2x-2020=0的两个实数根，∴m+n=-2，∴m2+3m+n=2020-2=2018.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是熟练的掌握一元二次方程的应用.13、x2﹣361x+32111=1【分析】根据叙述可以得到：甲是边长是121米的正方形，乙是边长是（x﹣121）米的正方形，丙的长是（x﹣121）米，宽是[121﹣（x﹣121）]米，根据丙地面积为3211m2即可列出方程．【详解】根据题意，得（x﹣121）[121﹣（x﹣121）]=3211，即x2﹣361x+32111=1．故答案为x2﹣361x+32111=1．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意找到合适的等量关系是解题的关键．14、【分析】直接代入特殊角的三角函数值进行计算即可．【详解】．故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．15、【分析】求出一个弓形的面积乘3再加上△ABC的面积即可．【详解】过A点作AD⊥BC，∵△ABC是等边三角形，边长为2，∴AC=BC=2，CD=BC=1∴AD=∴弓形面积=.故答案为：【点睛】本题考查的是阴影部分的面积，掌握扇形的面积计算及等边三角形的面积计算是关键．16、7cm或17cm【分析】作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，根据平行线的性质得OF⊥CD，再利用垂径定理得到AE＝12，CF＝5，然后根据勾股定理，在Rt△OAE中计算出OE＝5，在Rt△OCF中计算出OF＝12，再分类讨论：当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF−OE．【详解】解：作OE⊥AB于E，交CD于F，连结OA、OC，如图，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝12，CF＝DF＝CD＝5，在Rt△OAE中，∵OA＝13，AE＝12，∴OE＝，在Rt△OCF中，∵OC＝13，CF＝5，∴OF＝，当圆心O在AB与CD之间时，EF＝OF＋OE＝12＋5＝17；当圆心O不在AB与CD之间时，EF＝OF−OE＝12−5＝7；即AB和CD之间的距离为7cm或17cm．故答案为：7cm或17cm．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和分类讨论的数学思想．17、m【分析】利用相似三角形的相似比，列出方程组，通过解方程组求出灯泡与地面的距离即可．【详解】如图：根据题意得：BG=AF=AE=1.6m，AB=1m，∵BG∥AF∥CD，∴△EAF∽△ECD，△ABG∽△ACD，∴AE：EC=AF：CD，AB：AC=BG：CD，设BC=xm，CD=ym，则CE=（x+2.6）m，AC=（x+1）m，∴,解得：x=,y=,∴CD=m.∴灯泡与地面的距离为米，故答案为m.18、【分析】根据点A、B、C的横坐标利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．【详解】∵，，是抛物线y＝−（x＋1）2＋1上的三点，∴y1＝0，y2＝−3，y3＝−8，∵0＞−3＞−8，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点的坐标利用二次函数图象上点的坐标特征求出纵坐标是解题的关键．三、解答题(共66分)19、（1）60；（2）．【分析】（1）作等腰三角形底边上的高AH并根据勾股定理求出，再根据三角形面积公式即可求解；（2）方法一：作等腰三角形底边上的高AH并根据勾股定理求出，与BD交点为E，则E是三角形的重心，再根据三角形重心的性质求出EH，∠DBC的正切值即可求出．方法二：过点A、D分别作AH⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点H、F，先根据勾股定理求出AH的长，再根据三角形中位线定理求出DF的长，BF的长就等于BC的，∠DBC的正切值即可求出．【详解】解：（1）过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10∴BH＝5在Rt△ABH中，AH＝=12，∴△ABC的面积＝；（2）方法一：过点A作AH⊥BC，垂足为点H，交BD于点E．∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10∴BH＝5在Rt△ABH中，AH＝=12∵BD是AC边上的中线所以点E是△ABC的重心∴EH＝＝4，∴在Rt△EBH中，tan∠DBC＝＝．方法二：过点A、D分别作AH⊥BC、DF⊥BC，垂足分别为点H、F．∵AB＝AC＝13，AH⊥BC，BC＝10∴BH＝CH=5在Rt△ABH中，AH＝=12∵AH⊥BC、DF⊥BC∴AH∥DF，D为AC中点，∴DF＝AH＝6，∴BF＝∴在Rt△DBF中，tan∠DBC＝＝．【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握勾股定理及锐角三角函数的定义是解题的关键.20、（1）t为3秒时，△BDE的面积为7.3cm3；（3）存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；（3）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．【详解】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G如图∴DF∥AG，＝∵AB＝AC＝10，BC＝11∴BG＝8，∴AG＝1．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，∴＝解得DF＝（10﹣t）∵S△BDE＝BE•DF＝7.3∴（10﹣t）•t＝13解得t＝3．答：t为3秒时，△BDE的面积为7.3cm3．（3）存在．理由如下：①当BE＝DE时，△BDE与△BCA，∴＝即＝，解得t＝，②当BD＝DE时，△BDE与△BAC，＝即＝，解得t＝．答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似．【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．21、（1）直线AB的解析式为，反比例函数的解析式为；（2）∠ACO=30°；（3）当为60°时，OC'⊥AB，AB'=1．【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A与B坐标代入求出k与b的值，确定出直线AB的解析式，将D坐标代入直线AB解析式中求出n的值，确定出D的坐标，将D坐标代入反比例解析式中求出m的值，即可确定出反比例解析式；（2）联立两函数解析式求出C坐标，过C作CH垂直于x轴，在直角三角形OCH中，由OH与HC的长求出tan∠COH的值，利用特殊角的三角函数值求出∠COH的度数，在三角形AOB中，由OA与OB的长求出tan∠ABO的值，进而求出∠ABO的度数，由∠ABO-∠COH即可求出∠ACO的度数；（3）过点B1作B′G⊥x轴于点G，先求得∠OCB=30°，进而求得α=∠COC′=60°，根据旋转的性质，得出∠BOB′=α=60°，解直角三角形求得B′的坐标，然后根据勾股定理即可求得AB′的长．【详解】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），将A(0，1)，B(-1，0)代入得：解得，故直线AB解析式为y=x+1，将D(2，n)代入直线AB解析式得：n=2+1=6，则D(2，6)，将D坐标代入中，得：m=12，则反比例解析式为；（2）联立两函数解析式得：解得解得：或，则C坐标为(-6，-2)，过点C作CH⊥x轴于点H，在Rt△OHC中，CH=，OH=3，∵tan∠COH=，∴∠COH=30°，∵tan∠ABO=，∴∠ABO=60°，∴∠ACO=∠ABO-∠COH=30°；（3）过点B′作B′G⊥x轴于点G，∵OC′⊥AB，∠ACO=30°，∴∠COC′=60°，∴α=60°．∴∠BOB′=60°，∴∠OB′G=30°，∵OB′=OB=1，∴OG=OB′=2，B′G=2，∴B′(-2，2)，∴AB′==1．【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，一次函数与x轴的交点，坐标与图形性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．22、（1）顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）AB=．【分析】（1）先把抛物线解析式配方为顶点式，即可得到结果；（2）求出当时的值，即可得到结果．【详解】解：（1）由配方法得y=（x+1）2-3则顶点坐标为（﹣1，﹣3），对称轴是直线x=﹣1；（2）令y=0,则0=x2+x﹣解得x1=-1+x2=-1-则A（-1-，0），B（-1+，0）∴AB=（-1+）-（-1-）=23、（1）袋子中白球有4个；（2）【分析】（1）设白球有

x

个，利用概率公式得方程，解方程即可求解；（2）画树状图展示所有30种等可能的结果数，再找出两次摸到颜色相同的小球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】（1）设袋中白球有x个，由题意得：，解之，得：，经检验，是原方程的解，故袋子中白球有4个；（2）设红球为A、B，白球为，列举出两次摸出小球的所有可能情况有：共有30种等可能的结果，其中，两次摸到相同颜色的小球有14种，故两次摸到相同颜色的小球的概率为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．24、（1）；（2）；（3）当或时，满足条件的点只有一个.【解析】（1）由角平分线定义得，在中，根据锐角三角函数正切定义即可求得长.（2）由题意易求得，，由全等三角形判定得，根据全等三角形性质得，根据相似三角形判定得，由相似三角形性质得，将代入即可求得答案.（3）由圆周角定理可得是顶角为120°的等腰三角形，再分情况讨论：①当与相切时，结合题意画出图形，过点作，并延长与交于点，连结，，设半径为，由相似三角形的判定和性质即可求得长；②当经过点时，结合题意画出图形，过点作，设半径为，在中，根据勾股定理求得，再由相似三角形的判定和性质即可求得长；③当经过点时，结合题意画出图形，此时点与点重合，且恰好在点处，由此可得长.【详