2025届广东省广州市天河区华南师大附中数学九上期末综合测试试题含解析

2025届广东省广州市天河区华南师大附中数学九上期末综合测试试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．下列式子中，y是x的反比例函数的是（）A． B． C． D．2．下列调查中，适合采用全面调查(普查)方式的是()A．了解重庆市中小学学生课外阅读情况B．了解重庆市空气质量情况C．了解重庆市市民收看重庆新闻的情况D．了解某班全体同学九年级上期第一次月考数学成绩得分的情况3．抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是()A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位B．向右平移1个单位，再向下平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位4．如图，AB为圆O直径，C、D是圆上两点，ADC=110°，则OCB度（）A．40 B．50 C．60 D．705．若是方程的两根，则实数的大小关系是（）A． B． C． D．6．定义新运算：对于两个不相等的实数，，我们规定符号表示，中的较大值，如：．因此，；按照这个规定，若，则的值是（）A．－1 B．－1或 C． D．1或7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，将△ABC绕边AC所在直线旋转一周得到圆锥，则该圆锥的侧面积是A．25π B．65π C．90π D．130π8．如图，AB是半圆的直径，O为圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠D＝110°，则∠AOC的度数为（）A．130° B．135° C．140° D．145°9．三角形的两边分别2和6，第三边是方程x2-10x+21=0的解，则三角形周长为（）A．11 B．15 C．11或15 D．不能确定10．九（1）班的教室里正在召开50人的座谈会，其中有3名教师，12名家长，35名学生，当林校长走到教室门口时，听到里面有人在发言，那么发言人是家长的概率为（）A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．某化肥厂一月份生产化肥500吨，从二月份起，由于改进操作技术，使得第一季度共生产化肥1750吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？若设二、三月份平均每月的增长率为x，则可列方程为_______．12．已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为_____．13．如果函数是关于的二次函数，则__________．14．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_______.15．在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，AC=1，则∠ACB的度数为____________.16．已知圆锥的底面半径为3，母线长为7，则圆锥的侧面积是_____．17．如图,P是∠α的边OA上一点，且点P的坐标为（3，4），则=____________.18．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝6，D是BC上一点，CD＝2，过点D的直线l将△ABC分成两部分，使其所分成的三角形与△ABC相似，若直线l与△ABC另一边的交点为点P，则DP＝________．三、解答题(共66分)19．（10分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m＝162﹣3x．(1)请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式．(2)商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．20．（6分）一个可以自由转动的转盘，其盘面分为等份，分别标上数字.小颖准备转动转盘次，现已转动次，每一次停止后，小颖将指针所指数字记录如下：次数数字小颖继续自由转动转盘次，判断是否可能发生“这次指针所指数字的平均数不小于且不大于”的结果？若有可能，计算发生此结果的概率，并写出计算过程；若不可能，请说明理由．(指针指向盘面等分线时为无效转次．)21．（6分）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量（千克）与每千克降价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示：（1）求与之间的函数关系式；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价多少元？22．（8分）某蔬菜加工公司先后两批次收购蒜薹(tái)共100吨．第一批蒜薹价格为4000元/吨；因蒜薹大量上市，第二批价格跌至1000元/吨．这两批蒜薹共用去16万元．(1)求两批次购进蒜薹各多少吨；(2)公司收购后对蒜薹进行加工，分为粗加工和精加工两种：粗加工每吨利润400元，精加工每吨利润1000元．要求精加工数量不多于粗加工数量的三倍．为获得最大利润，精加工数量应为多少吨？最大利润是多少？23．（8分）定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形，连接它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径．如图1，∠ABC＝∠ADC＝90°，四边形ABCD是损矩形，则该损矩形的直径是线段AC．同时我们还发现损矩形中有公共边的两个三角形角的特点：在公共边的同侧的两个角是相等的．如图1中：△ABC和△ABD有公共边AB，在AB同侧有∠ADB和∠ACB，此时∠ADB＝∠ACB；再比如△ABC和△BCD有公共边BC，在CB同侧有∠BAC和∠BDC，此时∠BAC＝∠BDC．（1）请在图1中再找出一对这样的角来：＝．（2）如图2，△ABC中，∠ABC＝90°，以AC为一边向外作菱形ACEF，D为菱形ACEF对角线的交点，连接BD，当BD平分∠ABC时，判断四边形ACEF为何种特殊的四边形？请说明理由．（3）在第（2）题的条件下，若此时AB＝6，BD＝8，求BC的长．24．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上(不与点C，D重合)，连接AE，BD交于点F.（1）若点E为CD中点，AB＝2，求AF的长.（2）若∠AFB＝2，求的值.（3）若点G在线段BF上，且GF＝2BG，连接AG，CG，设＝x，四边形AGCE的面积为，ABG的面积为，求的最大值.25．（10分）综合与实践问题情境数学课上，李老师提出了这样一个问题：如图1，点是正方形内一点，，，.你能求出的度数吗？(1)小敏与同桌小聪通过观察、思考、讨论后，得出了如下思路：思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，求出的度数.思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，求出的度数.请参考以上思路，任选一种写出完整的解答过程.类比探究(2)如图2，若点是正方形外一点，，，，求的度数.拓展应用(3)如图3，在边长为的等边三角形内有一点，，，则的面积是______.26．（10分）如图，矩形中，为原点，点在轴上，点在轴上，点的坐标为（4,3），抛物线与轴交于点，与直线交于点，与轴交于两点.（1）求抛物线的表达式；（2）点从点出发，在线段上以每秒1个单位长度的速度向点运动，与此同时，点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也停止运动.连接，设运动时间为（秒）.①当为何值时，得面积最小？②是否存在某一时刻，使为直角三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由.

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据反比例函数的定义，反比例函数的一般式是y＝（k≠0），即可判定各函数的类型是否符合题意．【详解】A、是正比例函数，错误；B、不是反比例函数，错误；C、是反比例函数，正确；D、不是反比例函数，错误．故选：C．【点睛】本题考查反比例函数的定义特点，反比例函数解析式的一般形式为：y＝（k≠0）．2、D【解析】调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查.【详解】解：A、了解重庆市中小学学生课外阅读情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；B、了解重庆市空气质量情况，适合抽样调查，故此选项错误；C、了解重庆市市民收看重庆新闻的情况，由于范围较大，适合用抽样调查；故此选项错误；D、了解某班全体同学九年级上期第一次月考数学成绩得分的情况，范围较小，采用全面调查；故此选项正确；故选：D.【点睛】此题主要考查了适合普查的方式，一般有以下几种：①范围较小；②容易掌控；③不具有破坏性；④可操作性较强．基于以上各点，“了解全班同学本周末参加社区活动的时间”适合普查，其它几项都不符合以上特点，不适合普查．3、D【解析】∵抛物线y=-3（x+1）2-2的顶点坐标为（-1，-2），平移后抛物线y=-3x2的顶点坐标为（0，0），∴平移方法为：向右平移1个单位，再向上平移2个单位．故选D．4、D【分析】根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.【详解】解：∵ADC=110°,即优弧的度数是220°,∴劣弧的度数是140°,∴∠AOC=140°,∵OC=OB,∴∠OCB=∠AOC=70°,故选D.【点睛】本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5、A【分析】设，可判断抛物线开口向下，m、n是其与x轴交点的横坐标，a、b则是抛物线与直线y=2的交点横坐标，画出函数草图即可判断.【详解】设，可判断抛物线开口向下，m、n是其与x轴交点的横坐标，a、b则是抛物线与直线y=2的交点横坐标，画出函数草图如下：从函数图象可以看出：故选：A【点睛】本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点的横坐标为y=0时，一元二次方程的根是关键.6、B【分析】分x>0和0x<0两种情况分析，利用公式法解一元二次方程即可．【详解】解：当x>0时，有，解得，(舍去)，

x<0时，有，解得，x1=−1，x2=2(舍去)．故选B.【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解法，解题的关键是掌握新定义以及掌握因式分解法以及公式法解方程的方法步骤，掌握降次的方法，把二次化为一次，再解一元一次方程．7、B【解析】解：由已知得，母线长l=13，半径r为5，∴圆锥的侧面积是s=πlr=13×5×π=65π．故选B．8、C【分析】根据“圆内接四边形的对角互补”，由∠D可以求得∠B，再由圆周角定理可以求得∠AOC的度数．【详解】解：∵∠D＝110°，∴∠B＝180°﹣110°＝70°，∴∠AOC＝2∠B＝140°，故选C．【点睛】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，熟练掌握有关定理和性质的应用是解题关键．9、B【详解】解：方程x2-10x+21=0，变形得：（x-3）（x-7）=0，解得：x1=3，x2=7，若x=3，三角形三边为2，3，6，不合题意，舍去，则三角形的周长为2+6+7=1．故选：B．10、B【解析】根据概率=频数除以总数即可解题.【详解】解：由题可知：发言人是家长的概率==,故选B.【点睛】本题考查了概率的实际应用,属于简单题,熟悉概率的计算方法是解题关键.二、填空题(每小题3分,共24分)11、500+500（1+x）+500（1+x）2＝1【解析】增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），根据二、三月份平均每月的增长为x，则二月份的产量是500（1+x）吨，三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，再根据第一季度共生产钢铁1吨列方程即可．【详解】依题意得二月份的产量是500（1+x），三月份的产量是500（1+x）（1+x）=500（1+x）2，∴500+500（1+x）+500（1+x）2=1．故答案为：500+500（1+x）+500（1+x）2=1．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能够根据增长率分别表示出各月的产量，这里注意已知的是一季度的产量，即三个月的产量之和．12、x1＝﹣1或x2＝1．【分析】由二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象可以得到抛物线的对称轴和抛物线与x轴的一个交点坐标，然后可以求出另一个交点坐标，再利用抛物线与x轴交点的横坐标与相应的一元二次方程的根的关系即可得到关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解．【详解】解：依题意得二次函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（1，0），∴抛物线与x轴的另一个交点横坐标为1﹣（1﹣1）＝﹣1，∴交点坐标为（﹣1，0）∴当x＝﹣1或x＝1时，函数值y＝0，即﹣x2+2x+m＝0，∴关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的解为x1＝﹣1或x2＝1．故答案为：x1＝﹣1或x2＝1．【点睛】本题考查了关于二次函数与一元二次方程，在解题过程中，充分利用二次函数图象，根据图象提取有用条件来解答，这样可以降低题的难度，从而提高解题效率．13、1【分析】根据二次函数的定义得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．【详解】∵函数是关于的二次函数，

∴且，解方程得：或(舍去)，

∴．

故答案为：1．【点睛】本题考查二次函数的定义，关键是掌握二次函数的定义：一般地，形如(是常数，)的函数，叫做二次函数．14、【分析】对于一元二次方程，当时有实数根，由此可得m的取值范围.【详解】解：由题意可得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.15、60°或120°.【分析】作AD⊥BC于D，先在Rt△ABD中求出AD的长，解直角三角形求出∠ACD，即可求出答案．【详解】如图，作AD⊥BC于D，如图1,在Rt△ABD中,∠ABC=30°，AB=，AC=1，∴AD=AB=，在Rt△ACD中，sinC=，∴∠C=60°，即∠ACB=60°，同理如图2,同理可得∠ACD=60°，∴∠ACB=120°.故答案为60°或120°.【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意分情况作出图形求解.16、21π．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×7＝21π．故答案为21π．【点睛】本题考查圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．17、【解析】∵点P的坐标为（3，4），∴OP=，∴.故答案为：.18、1，，【分析】分别利用当DP∥AB时，当DP∥AC时，当∠CDP=∠A时，当∠BPD=∠BAC时求出相似三角形，进而得出结果．【详解】BC＝6,CD=2，

∴BD=4,①如图，当DP∥AB时，△PDC∽△ABC，

∴,∴,∴DP=1;②如图，当DP∥AC时，△PBD∽△ABC．

∴,∴,∴DP=;③如图，当∠CDP=∠A时，∠DPC∽△ABC，∴,∴,∴DP=;④如图，当∠BPD=∠BAC时，过点D的直线l与另一边的交点在其延长线上，，不合题意。综上所述，满足条件的DP的值为1，，.【点睛】本题考查了相似变换，利用分类讨论得出相似三角形是解题的关键，注意不要漏解．三、解答题(共66分)19、（1）y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）；（2）商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【解析】（1）此题可以按等量关系“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，并由售价大于进价，且销售量大于零求得自变量的取值范围．（2）根据（1）所得的函数关系式，利用配方法求二次函数的最值即可得出答案．【详解】（1）由题意得：每件商品的销售利润为（x﹣2）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣2）．又∵m=162﹣3x，∴y=（x﹣2）（162﹣3x），即y=﹣3x2+252x﹣1．∵x﹣2≥0，∴x≥2．又∵m≥0，∴162﹣3x≥0，即x≤54，∴2≤x≤54，∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣1（2≤x≤54）．（2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣1=﹣3（x﹣42）2+432，所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元．∵500＞432，∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，解答本题的关键是根据等量关系：“每天的销售利润=（销售价﹣进价）×每天的销售量”列出函数关系式，另外要熟练掌握二次函数求最值的方法．20、能，．【分析】根据平均数的定义求解可得后两次数字之和为8或9；根据题意画出树状图，再利用概率公式求其概率．【详解】能设第4次、第5次转出的数字分别为和，根据题意得：，解得：，所以后两次数字之和为8或9；画出树状图：共有9种等情况数，其中“两次数字之和为8或9”的有5种，所以．【点睛】本题考查用列表法或树状图的方法解决概率问题；求一元一次不等式组的方法以及概率公式的运用．求出事件的所有情况和符合条件的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．21、（1）；（2）商贸公司要想获利2090元，则这种干果每千克应降价9元．【分析】（1）根据图象可得：当，，当，；再用待定系数法求解即可；（2）根据这种干果每千克的利润×销售量=2090列出方程，解方程即可．【详解】解：（1）设一次函数解析式为：，根据图象可知：当，；当，；∴，解得：，∴与之间的函数关系式为；（2）由题意得：，整理得：，解得：．，∵让顾客得到更大的实惠，∴.答：商贸公司要想获利2090元，这种干果每千克应降价9元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和一次函数的应用，读懂图象信息、熟练掌握待定系数法、正确列出一元二次方程是解题的关键．22、(1)第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨；(2)精加工数量为75吨时，获得最大利润，最大利润为85000元．【详解】试题分析：（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．构建方程组即可解决问题．（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工吨．由m≤3，解得m≤75，利润w=1000m+400=600m+40000，构建一次函数的性质即可解决问题．试题解析：（1）设第一批购进蒜薹x吨，第二批购进蒜薹y吨．由题意，解得，答：第一批购进蒜薹20吨，第二批购进蒜薹80吨．（2）设精加工m吨，总利润为w元，则粗加工吨．由m≤3，解得m≤75，利润w=1000m+400=600m+40000，∵600＞0，∴w随m的增大而增大，∴m=75时，w有最大值为85000元．考点：1、一次函数的应用；2、二元一次方程组的应用23、（1）∠ABD＝∠ACD（或∠DAC＝∠DBC）；（2）四边形ACEF为正方形，理由见解析；（3）1【分析】(1)根据题意给出的性质即可得出一组角相等;(2)先证明四边形ACEF为菱形,再证明四边形ABCD为损矩形,根据损矩形的性质即可求出四边形ACEF是正方形;(3)过点D作DM⊥BC，过点E作EN⊥BC交BC的延长线于点N,可得△BDM为等腰直角三角形,从而得出△ABC≌△CNE根据性质即可得出BC的长．【详解】(1)由图1得：△ABD和△ADC有公共边AD，在AD同侧有∠ABD和∠ACD，此时∠ABD＝∠ACD；故答案为：∠ABD＝∠ACD(或∠DAC＝∠DBC)；(2)四边形ACEF为正方形证明：∵∠ABC＝90°，BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∵四边形ACEF为菱形，∴AE⊥CF，即∠ADC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCD为损矩形，由(1)得∠ACD＝∠ABD＝45°，∴∠ACE＝2∠ACD＝90°，∴四边形ACEF为正方形．(3)过点D作DM⊥BC，过点E作EN⊥BC交BC的延长线于点N，∵∠DBM＝45°，∴△BDM为等腰直角三角形，∴BM＝DM＝，∵AC＝EC，∠ACE＝90°，∠ABC＝CNE＝90°，∴∠ACB＝∠CEN，∴△ABC≌△CNE(AAS)，∴CN＝AB＝6，∵DM∥EN，AD＝DE，∴BM＝MN＝8，∴BC＝BN﹣CN＝2BM﹣CN＝1．【点睛】本题考查新定义下的图形计算,主要运用到矩形菱形正方形的性质,三角形全等的判定和性质,关键在于熟练掌握基础知识,合理利用辅助线得出条件计算．24、（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由可得DE的长，利用勾股定理可得AE的长，又易证，由相似三角形的性质可得，求解即可得；（2）如图（见解析），连接AC与BD交于点O，由正方形的性质可知，，，设，在中，可求出，从而可得DF和BF的长，即可得出答案；（3）设正方形的边长，可得DE、AO、BO、BD的长，由可得BF的长，又根据可得BG的长，从而可得的面积，用正方形的面积减去三个三角形的面积可得四边形AGCE的面积，再利用二次函数的性质求解的最大值.【详解】（1）为CD中点，，，即又；（2）如图，连接AC与BD交于点O由正方形的性质得，设在中，，；（3）设正方形的边长，则由（1）知，又又又由二次函数图象的性质得：当时，有最大值，最大值为.【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理和性质、正切三角函数、二次函数图象的性质，难度较大的是题（3），利用相似三角形的性质求出BG的长是解题关键.25、(1)∠APB=135°，(2)∠APB=45°；(3).【分析】（1）思路一、先利用旋转求出∠PBP'=90°，BP'=BP=2，AP'=CP=3，利用勾股定理求出PP'，进而判断出△APP'是直角三角形，得出∠APP'=90°，即可得出结论；

思路二、同思路一的方法即可得出结论；（2）将绕点逆时针旋转，得到，连接，然后同（1）的思路一的方法即可得出结论；（3）可先将△APB绕点A按逆时针方向旋转60°，得到△AP'C，根据旋转性质，角的计算可得到△APP'是等边三角形，再根据勾股定理，得到AP的长，最后根据三角形面积得到