2024年山东省聊城市茌平区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年山东省聊城市茌平区中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）下列计算结果中是正数的是（）A．﹣10 B．（﹣2）3 C． D．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩n，则n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．94．（3分）如图所示的几何体的左视图为（）A． B． C． D．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2 B． C．（a+2b）2＝a2+4b2 D．2a2•（﹣a）＝﹣2a26．（3分）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80° B．95° C．100° D．110°7．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根（）A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥8．（3分）已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M②分别以点M，N为圆心，大于，两弧在∠AOC内相交于点E．③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（）A．（，3） B．（3﹣，3） C．（﹣，3） D．（2﹣，3）9．（3分）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，另一端为点C，，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，P，B三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D（）A． B． C． D．10．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点（）A．4 B．5 C．6 D．8二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）因式分解：x3﹣9xy2＝．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为．14．（3分）如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A上，边BC交双曲线于点E，则△ABE的面积为．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若干个横纵坐标都是整数的点（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），……，根据这个规律．16．（3分）AB是⊙O的直径，D，P分别是直径AB和弦AC上的两个动点，已知∠CAB＝15°，则线段PD+PB的最小值是．三、解答题：本题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（7分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的运算过程中第步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．18．（8分）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm）（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板张或裁得B型纸板张；（2）现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？19．（8分）某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分）【数据收集】八年级：80，80，80，70，100九年级：70，90，90，70，90【数据整理】绘制成如下两幅不完整的统计图．【数据分析】年级众数中位数平均数八年级a8084九年级9090b根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题．（1）扇形图中m＝，表中a＝，并补全条形统计图；（2）请计算表中b的值（需写出计算过程）；（3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分？20．（8分）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1：0.75，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．（sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围；（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD△ABO：S△ABD．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AD为直径作⊙O，分别与AB，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．23．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点P从点A出发，过点P作PQ⊥x轴，交线段BC于Q，设运动的时间t秒．（1）求a（2）连接BD，当t为何值时DQ的值最大，此时△BDQ的面积为多少？（3）作线段BC的垂直平分线交直线PQ于点M，连接CM，BM，当点M在直线BC的上方且∠BMC＝90°时，求点D的坐标．24．（12分）综合与实践【问题情境】为了研究四边形中与中点有关的“手拉手模型”问题，老师给数学社团的学生准备了一张印有四边形ABCD的纸片，E，F分别是线段AB和CD的中点【探究实践】老师引导同学们用三角尺分别过点E，F作线段AB和CD的垂线，两垂线交于点G，DG，BG，EF．老师引导同学们探究：由于四边形的不稳定性，点的位置也在发生变化，在变化的过程中能有哪些发现呢？经过思考和讨论，大刚和小莹给同学们分享了自己的发现．（1）如图2，大刚发现：“当图形满足∠AGD＝∠BGC时，AD＝BC．”（2）如图2，小莹发现：“当图形满足条件∠AGD＝∠BGC时，△AGD∽△EGF．”老师肯定了两人结论的正确性【拓展应用】（3）如图3，小明在大刚和小莹发现的基础上，经过进一步思考发现：“若AD，且就能求出AD的值．”老师也肯定了小明结论的正确性，请你帮小明求出AD的值．

2024年山东省聊城市茌平区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求。1．（3分）下列计算结果中是正数的是（）A．﹣10 B．（﹣2）3 C． D．【解答】解：A、﹣10＝﹣5＜0，故此选项不符合题意；B、（﹣2）2＝﹣8＜0，故此选项不符合题意；C、|﹣＞0；D、﹣＝﹣2＜2．故选：C．2．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、原图不是中心对称图形，故此选项不合题意；B、原图既不是中心对称图形，故此选项不合题意；C、原图既不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图既是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩n，则n的值是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵80000000＝8×107，∴n＝6，故选：B．4．（3分）如图所示的几何体的左视图为（）A． B． C． D．【解答】解：从几何体的左面看，可得选项A的图形．故选：A．5．（3分）下列计算正确的是（）A．a+a＝a2 B． C．（a+2b）2＝a2+4b2 D．2a2•（﹣a）＝﹣2a2【解答】解：a+a＝2a，故选项A错误；a2÷8a＝，故选项B正确；（a+2b）7＝a2+4ab+8b2，故选项C错误，不符合题意；2a2•（﹣a）＝﹣2a3，故选项D错误，不符合题意；故选：B．6．（3分）一副三角板如图所示摆放，若∠1＝80°，则∠2的度数是（）A．80° B．95° C．100° D．110°【解答】解：如图，∠5＝90°﹣30°＝60°，∴∠4＝∠2＝35°，∴∠2＝∠4+∠8＝95°，故选：B．7．（3分）定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q．有[m，p]※[q，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，5]＝2×5+3×4＝22．若关于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有两个实数根（）A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥【解答】解：根据题意得k（x2+1）+（3﹣2k）x＝0，整理得kx4+（5﹣2k）x+k＝4，因为方程有两个实数解，所以k≠0且Δ＝（5﹣4k）2﹣4k3≥0，解得k≤．故选：C．8．（3分）已知：▱AOCD的顶点O（0，0），点C在x轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA于点M②分别以点M，N为圆心，大于，两弧在∠AOC内相交于点E．③画射线OE，交AD于点F（2，3），则点A的坐标为（）A．（，3） B．（3﹣，3） C．（﹣，3） D．（2﹣，3）【解答】解：由作法得OE平分∠AOC，则∠AOF＝∠COF，∵四边形AOCD为平行四边形，∴AD∥OC，∴∠AFO＝∠COF，∴∠AOF＝∠AFO，∴OA＝AF，设AF交y轴于H，如图，∵F（2，3），∴HF＝5，OH＝3，设A（t，3），∴AH＝﹣t，AO＝AF＝﹣t+4，在Rt△OAH中，t2+33＝（﹣t+2）2，解得t＝﹣，∴A（﹣，3）．故选：A．9．（3分）如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，⊙O的直径为40cm，另一端为点C，，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交⊙O于点A，B，P，B三点在同一直线上．毛刷在旋转过程中，与⊙O交于点D（）A． B． C． D．【解答】解：如图所示，连接AB，根据题意可得：，且A，P，∴OP垂直平分AB，∴∠OPB＝90°，∴当O、P、D、C四点共线时，∵，在Rt△BOP中，由勾股定理得，∴，∴CD长最大值为，故选：C．10．（3分）如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点（）A．4 B．5 C．6 D．8【解答】解：当点P运动到点C处时，y＝5，∴BC＝5，当点P运动到点A处时，y＝3，∴AB＝5，∴BC＝AB，作BH⊥AC，如图，∴CH＝AH，则BH为BP的最小值，此时y＝3，∴CH＝＝4，∴AC＝8．故选：D．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11．（3分）因式分解：x3﹣9xy2＝x（x+3y）（x﹣3y）．【解答】解：利用提公因式法、公式法因式分解得：x3﹣9xy8＝x（x2﹣9y5）＝x（x+3y）（x﹣3y）．故答案为：x（x+8y）（x﹣3y）．12．（3分）不等式组的解集是x＞．【解答】解：，由①得：x＞，由②得：x≥﹣，则不等式组的解集为x＞．故答案为：x＞．13．（3分）如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点上，则tan∠ACB的值为．【解答】解：作BD⊥AC于点D，由图形可得，，AB＝2，，∴，解得：，，∴，故答案为：．14．（3分）如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A上，边BC交双曲线于点E，则△ABE的面积为．【解答】解：∵点B在y＝上，∴设点B的坐标为（a，），∴点A的纵坐标是，点E的横坐标为a，∵点A、点E在y＝上，∴A（，），E（a，），∴AB＝a﹣＝，BE＝﹣＝，∴S△ABE＝．15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，若干个横纵坐标都是整数的点（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2），……，根据这个规律（45，1）．【解答】解：观察图形，可知：第1个点的坐标为（1，第3个点的坐标为（1，第9个点的坐标为（3，第16个点的坐标为（1，…，∴第（2n﹣4）2个点的坐标为（2n﹣5，0）（n为正整数）．∵2025＝452，∴第2025个点的坐标为（45，5）．又∵2025﹣1＝2024，∴第2024个点在第2025个点的上方1个单位长度处，∴第2024个点的坐标为（45，4）．故答案为：（45，1）．16．（3分）AB是⊙O的直径，D，P分别是直径AB和弦AC上的两个动点，已知∠CAB＝15°，则线段PD+PB的最小值是2．【解答】解：连接BC，延长BC到M，连接PM，MD，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC垂直平分BM，∴AM＝AB＝4，PM＝PB，∴∠BAM＝2∠BAC＝2×15°＝30°，∵PM+PD≥MD，∴当MD最小时，PM+PD的和最小，MD最小，此时∠MAB＝30°，∠ADM＝90°，∴MD＝AM＝，∴PM+PD的最小值是2，∵PB＝PM，∴PD+PB的最小值是7．故答案为：2．三、解答题：本题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（7分）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：解：原式＝[﹣]×①＝[﹣]×②＝×③…解：（1）上面的运算过程中第③步出现了错误；（2）请你写出完整的解答过程．【解答】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为：③；（2）原式＝[﹣]×，＝[﹣]×，＝×，＝×，＝．故答案为：．18．（8分）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是150cm×90cm的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板，为了避免材料浪费，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：cm）（1）每张原材料板材可以裁得A型纸板9张或裁得B型纸板15张；（2）现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计），B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？【解答】解：（1）根据题意，每张原材料板材可裁得3张150cm×30cm的纸板条，∴每张原材料板材可以裁得A型纸板3×3＝9（张），每张原材料板材可以裁得B型纸板3×4＝15（张）；故答案为：9，15；（2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用（130﹣x）张原材料板材裁剪B型纸板，根据题意得：＝，解得x＝100，∴130﹣x＝130﹣100＝30，＝225，∴用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板．19．（8分）某校为了增强学生的文化自信，举办了“品经典风韵•展文化自信”书香文化节知识竞赛，赛后随机抽取八、九年级各10名参赛同学的竞赛成绩（单位：分）【数据收集】八年级：80，80，80，70，100九年级：70，90，90，70，90【数据整理】绘制成如下两幅不完整的统计图．【数据分析】年级众数中位数平均数八年级a8084九年级9090b根据上述的收集、整理和分析结果，解答下列问题．（1）扇形图中m＝20，表中a＝80，并补全条形统计图；（2）请计算表中b的值（需写出计算过程）；（3）若九年级共有100名同学参加了此次竞赛，请你估计九年级参加竞赛的同学中，共有多少名同学在此次竞赛中拿到了满分？【解答】解：（1）由题意得70分学生的占比为：2÷10＝20%，故m＝20，八年级10名参赛同学的竞赛成绩中80出现的次数最多，故众数a＝80；补充条形图如下，故答案为：20，80；（2）九年级的平均分：（70+90+90+100+80+70+90+90+80+100）÷10＝86（分），故平均数b＝86；（3）100×20%＝20（名），∴估计九年级参加竞赛的同学中，大约共有20名同学在此次竞赛中拿到了满分．20．（8分）如图，堤坝AB长为10m，坡度i为1：0.75，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20m的铁塔CD．小明欲测量山高DE，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′．求堤坝高及山高DE．（sin26°35′≈0.45，cos26°35′≈0.89，tan26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1m）【解答】解：过B作BH⊥AE于H，∵坡度i为1：0.75，∴设BH＝4xm，AH＝3xm，∴AB＝＝5x＝10m，∴x＝2，∴AH＝6m，BH＝8m，过B作BF⊥CE于F，则EF＝BH＝8，BF＝EH，设DF＝am，∵α＝26°35′．∴BF＝＝＝2a，∴AE＝7+2a，∵坡度i为1：4.75，∴CE：AE＝（20+a+8）：（6+8a）＝1：0.75，∴a＝12，∴DF＝12（米），∴DE＝DF+EF＝12+4＝20（米），答：堤坝高为8米，山高DE为20米．21．（9分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x+b（k1≠0）的图象与反比例函数的图象相交于A（3，4），B（﹣4，m）两点．（1）求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围；（2）若点D在x轴上，位于原点右侧，且OA＝OD△ABO：S△ABD．【解答】解：（1）∵反比例函数的图象过A（3，∴k2＝6×4＝12，∴反比例函数的关系式为y＝，又∵B（﹣4，m）也在反比例函数y＝，∴m＝＝﹣3，∴点B（﹣4，﹣7），∵一次函数y＝k1x+b（k1≠7）的图象过点A（3，4），﹣8），∴，解得，∴一次函数的关系式为y＝x+1；由两个函数图象和交点坐标可知，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围为﹣4＜x＜5或x＞3；（2）∵A（3，5），∴OA＝5，∵OA＝OD，∴OD＝5，把y＝2代入y＝x+1得，x+1＝3，解得x＝﹣1，∴C（﹣1，2），∴OC＝1，CD＝1+5＝6，∵S△ABO＝S△AOC+S△BOC，S△ABD＝S△ACD+S△BCD，∴S△ABO：S△ABD＝OC：CD＝1：5．22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以AD为直径作⊙O，分别与AB，F，过点E作EG⊥BC于G．（1）求证：EG是⊙O的切线；（2）若AF＝6，⊙O的半径为5，求BE的长．【解答】（1）证明：如图，连接EF，∵∠BAC＝90°，∴EF是⊙O的直径，∴OA＝OE，∴∠BAD＝∠AEO，∵点D是Rt△ABC的斜边BC的中点，∴AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∴∠AEO＝∠B，∴OE∥BC，∵EG⊥BC，∴OE⊥EG，∵点E在⊙O上，∴EG是⊙O的切线；（2）∵⊙O的半径为5，∴EF＝2OE＝10，在Rt△AEF中，AF＝5，根据勾股定理得，AE＝，由（1）知OE∥BC，∵OA＝OD，∴BE＝AE＝6．23．（10分）如图，二次函数y＝ax2+bx﹣2的图象交x轴于A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点P从点A出发，过点P作PQ⊥x轴，交线段BC于Q，设运动的时间t秒．（1）求a（2）连接BD，当t为何值时DQ的值最大，此时△BDQ的面积为多少？（3）作线段BC的垂直平分线交直线PQ于点M，连接CM，BM，当点M在直线BC的上方且∠BMC＝90°时，求点D的坐标．【解答】解：（1）把A（﹣1，0），6）代入抛物线解析式中，得，解得，∴二次函数的关系式为，∴，．（2）∵C点的坐标是（0，﹣5），∴可设直线BC的函数关系式是y＝kx﹣2，根据题意得4k﹣4＝0，解得，∴直线BC的函数关系式是，∵AP＝t，∴OP＝t﹣1，∴，，∴，∴当t＝3时，QD最大值为2，∵BP＝3﹣t＝5﹣3＝8，∴，即当t＝3时，QD值最大．（3）过点M作ME⊥y轴于E，延长EM与过B点垂直于x轴的直线交于点F、BM，∵∠CMB＝90°，∴∠CME+∠BMF＝180°﹣90°＝90°，∵∠CME+∠ECM＝90°，∴∠ECM＝∠FMB