苏教版2019版高中数学选择性必修第一册第2章圆与方程知识点清单

苏教版2019版高中数学选择性必修第一册

第2章园与方程知识点清单

目录

第二章圆与方程

2.1圆的方程

2.2直线与圆的位置关系

2.3圆与圆的位置关系

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第二章圆与方程

2.1圆的方程

一、圆的定义

平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点就是圆心，定长就是半径.

二、圆的方程

1.圆的标准方程

方程(x-a)2+(y-b)2=/(r>o)叫作以点⑶b)为圆心，r为半径的圆的标准方程.特别

地，当a=b=O时，方程为x2+y2=/(r>0),表示以原点为圆心，r为半径的圆.

2.圆的一般方程

方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D'+E2-4F>0)叫作圆的一般方程，化为标准形式为

(x+^+(y+黑四衿，表示以点。，3)为圆心，逆尸为半径的圆.

①当D2+E2-4F=O时，方程表示一个点(一微，一字)；

②当D2+E2-4F<0时，方程不表示任何图形；

③二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆时，B=0,A=CWO.

三、点与圆的位置关系

已知圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=/(r>0)或一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=O

22

(D+E-4F>0),设所给点为M(X。，y0),则点与圆的位置关系如下表：

判断方法

位置关系

几何法代数法

222

点在圆上MC=r(Xo-a)+(yo-b)=r(°5cxJ+yJ+Dxo+Eyo+F=O)

222

点在圆内MC<r(Xo-a)+(yo-b)<r(^xJ+y^+Dxo+Ey0+F<0)

2

点在圆外MOr(x0-a)+(y0-bp〉/(或/+yo+Dx0+Ey0+F>0)

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四、圆的方程的求解

1.直接代入法

确定圆心坐标和半径，直接代入圆的标准方程即可，确定圆心坐标和半径的方法：

⑴利用条件确定圆心C(a,b)及半径r.

(2)利用几何性质确定圆心C(a,b)及半径r,常用的几何性质如下：

①圆心与切点的连线垂直于圆的切线；

②圆心到切线的距离等于圆的半径r；

③圆的半径r,弦长的一半h与弦心距d满足r2=h2+d2；

④圆的弦的垂直平分线过圆心；

⑤已知圆心所在的直线I及圆上两点，则此两点连线(圆的弦)的垂直平分线m(m与I

不重合)与直线I的交点为圆心.

2.待定系数法

⑴根据题意，设出所求圆的标准方程或一般方程；

(2)根据已知条件，建立关于参数的方程组；

⑶解方程组，求出参数的值；

⑷将参数代入所设的方程中，即可得到所求圆的方程.

五、与圆有关的轨迹问题

1.求与圆有关的轨迹问题的方法

⑴直接法：根据已知条件，先抽象出动点间的几何关系，再利用解析几何的有关公式

(两点间的距离公式、点到直线的距离公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻译”

成含x,y的等式.

(2)定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，则可先设方程，再确定其中的基本量，

进而求出动点的轨迹方程.

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⑶相关点法：有些问题中，动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点

(称之为相关点)的运动而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，

这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点坐标所满足的条件即可求得动

点的轨迹方程.

六、求与圆的方程有关的实际问题

1.建立平面直角坐标系的一般原则

⑴原点取在某一定点处，坐标轴为某定直线或定线段所在直线或图形的对称轴；

⑵尽量充分利用图形的对称性；

⑶设出各点的坐标，使未知参数尽量少.

2.用坐标法解决与圆的方程有关的实际问题的步骤

(1)审题：认真审题，明确题意，从题目中抽象出几何模型，明确题中已知和待求的数据

(2)建系：建立适当的平面直角坐标系，通过点的左边及已知条件，求出几何模型的方程

(3)求解：利用直线、圆的性质等有关知识求解

(4)还原：将运算结果还原为对实际问题的解释

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2.2直线与圆的位置关系

一、直线与圆的位置关系

1.设直线I和圆M的方程分别为Ax+By+C=O,x2+y2+Dx+Ey+F=O,如果直线I与圆M

有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有

公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线I与圆M的公共点.

Ax+By+C=0,

2.直线I与圆M的方程联立‘得方程组x2+y2+Dx+Ey+F=0)有

如下结论：

方程组解的情况无解仅有一组解有两组不同的解

直线与圆公共点的情况没有公共点有且只有一个公共点有两个公共点

直线与圆的位置关系相离相切相交

二、直线与圆的位置关系的判断

L代数法：通过联立直线与圆的方程组成方程组，根据方程组解的组数来判断，若有

两组不同的实数解，即△>（）,则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即则

直线与圆相切；若无实数解，即△<（）,则直线与圆相离.

2.几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断，当d<r时，直线与圆

相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离.

3.定点法：若直线恒过定点且定点在圆内，则直线与圆相交.该法有一定的局限性,

若定点在圆上或在圆外，则需利用代数法或几何法进行讨论.

三、倾过点P（x。，y。）的圆的切线方程的求法

1.过圆上一点P（x。，y°）的圆的切线方程的求法

⑴直接法：先求切点与圆心连线的斜率k,再由垂直关系得切线的斜率为］（kWO）,

由直线的点斜式方程可得切线方程为y-yo=4（x-xo）.如果切点与圆心连线的斜率为

零或不存在，则由图形可直接得切线方程为x=x。或尸y。.

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⑵待定系数法：设切线方程为y-y。=k(x-x。)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程,

可求得k,即得切线方程.注意此时切点与圆心的纵坐标不相等.

注：过圆上一点的切线仅有一条，可熟记下列结论：

2222

①若点P(xo,y。)在圆x+y=r(r>0)±,则过点P的切线方程为x0x+y0y=r；

②若点P(x0,y。)在圆(x-a)2+(y-b)2=/(r>0)上，则过点P的切线方程为

2

(x0-a)-(x-a)+(y0-b)(y-b)=r；

③若点P(x。，y。)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)±,则过点P的切线方程为

x0x+y0y+D昔+E・罗+F=0.

2.过圆外一点P(x°,y°)的圆的切线方程的求法

通常用待定系数法，其求法同1中的待定系数法.当用此法只求出一个方程时，另一

个方程应为x=x。，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况，而过圆外一点的切线

有两条.一般不用联立方程的方法求解k.

四、切线长的求法

过圆外一点P,可作圆的两条切线，我们把点P与切点所连线段的长称为切线长.

切线长可由勾股定理来计算.如图，从圆外一点P(x。，y。)作圆(x-ay+8-byluo)的切

线，则切线长为—a)2+(y0—b/—修

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五、弦长与中点弦问题

1.直线与圆相交时弦长的两种求法

⑴几何法：如图L直线I与圆C交于A,B两点，设弦心距为d,圆的半径为r,弦

2

长为AB的长,则有(第+cf=匕则AB=2.

8（%汹）

图2

⑵代数法：如图2所示，设直线I与圆的两个交点分别是A%,yi),B(X2,y2),将直线

与圆的方程联立，消元，结合根与系数的关系，

得AB=J(X1—X2)2+(%—丫2)2="+记|X1-X2|=J+百yiM

(直线I的斜率k存在且不为0).

2.中点弦问题

若线段AB是圆C(a,b)的弦，D是弦AB的中点，贝IJ

①ABJ_CD,若斜率kAB,"D都存在,则kAB-kcD=-l；

②点差法：设A%,y)B%,y2),D(x0,y0),则x0二也券，丫。二"产，将A,B坐标分

别代入圆C的方程，利用作差法得到纣办二-华羡二-守羡，利用D点坐标求出直

X2-X1yi+y2-2b2y0-2b

线AB的斜率.

六、与圆有关的最值问题

利用圆的方程解决最大(小)值问题的方法

⑴由某些代数式的结构特征联想其几何意义，然后利用直线与圆的方程及解析几何的

有关知识并结合图形的直观性来分析解决问题，常涉及的有：

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①关于X,y的一次分式形式常转化为直线的斜率；

②关于x,y的一次式常转化为直线的截距；

③关于x,y的二次式常转化为两点间的距离等.

⑵将待求式转化成函数解析式，利用函数的性质解决.

⑶利用三角代换，若点P（x,y）在圆—（y-grmo）上，则设卜二a：rcos。

（y=b+rsin9

（e为参数），代入目标函数，利用三角函数知识求最大（小）值.

2.3圆与圆的位置关系

一、圆与圆的位置关系及其判断

22

1.代数法:设两圆的方程分别为Ci：x+y+D1x+E1y+F1=0(D2+EJ-4F1>0),

22

C2：x+y+D2x+E2y+F2=0(Di+E^-4F2>0),联立得方程组

x2+y2+DM4-Ej+F1=0,

消元后得到一元二次方程（若得到

2

x+y?+D2X+E2y+F2=0,

的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断），计算判别式△的值，按下列表中

的标准进行判断.

2.几何法：设两圆的半径分别为匕以圆心距为d,按下列表中的标准进行判断.

位置关系外离外切相交内切内含

G0

图示WJ

公共点个数01210

△的值△<0△=0△>0△二0△<0

与的关系

dr1,r2d>ri+r2d=ri+r2|ri-r2|<d<ri+r2d=|ri-r2|d<|ri-r2|

公切线条数43210

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二、两圆位置关系的判断

1.几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而

判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中常用的方法.

2.代数法：将两圆的方程联立，得到方程组，解方程组，根据方程组解的组数判断两

圆的位置关系.

三、两圆相切问题

1.两圆相切包括内切和外切，若只知道相切，则需分内切、外切两种情况讨论，再根

据两圆的圆心距与半径的关系列方程解决问题.

2.求两圆外公切线问题的关键

⑴判断两圆的位置关系；

⑵设公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得参数所满足的方程，求出参数值

得切线方程.

⑶可通过作图解决，画图要标准，做到“草图不草”.

四、两圆的公共弦问题

1.两圆的公共弦所在直线方程的求法

2222

设圆CiX+y+D1x+E1y+F1=0(D?+E?-4F1>0),EIC2X+y+D2x+E2y+F2=0(D^+E^-4F2>0).

x2_|_y2_|_0x_|_Ey+Fl=0,①

由22,①-②，得(D「D2)x+(E「E2)y+FLF2=0.③

22

(x+y+D2x+E2y+F2=0,②

设两圆交点分别为A%,y)B(X2,y2),则A,B的坐标适合方程①②，也适合方程③，

因此方程③就是经过两圆交点的直线方程.

故当两圆相交时，。92伙+(匕电