高中数学平面向量检测题

平面向量单元检测

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.设向量五=(0,2),3=(2,2)，则()

A.\a\=\b\B.(a-b)//b

C.N与7的夹角为gD.(a-b)la

2.如图在梯形ABC。中，BC=2AD,DE=EC,设

BA=a,BC=b，则前=()

A.\a+-b

24

B.；苍+/

36

c.冢+例

D.7+部

24

3.已知向量五=区2）石=（2,丫）1=（2,-4）,且//冷3_1.己则|五—方|=（）

A.3B.V10C.VTTD.273

4.如图，正方形A8C£＞的边长为2,E为BC边的中

点，F为CO边上一点，若万•荏=|荏/，则

I用=()

A.3

B.5

D.|,

5.二个不共线的向量OA,OB,0C满足。A,+1|吉）=0B•=0C•

（箫+急）=0,则。点是△人8（：的（）

A.垂心B.重心C.内心D.外心

6.已知向量丽=（1,2），AC=（4,-2），则AABC的面积为（）

A.5B.10C.25D.50

7.下列命题中正确命题个数为（）

回向量方〃30存在唯一的实数人使得向量方=4出

团3为单位向量，且向量五〃若，则向量五=±|初为

团若向量有小=下々，则吊

回若平面向量31万，Kic.则向量五〃2

A.1B.2C.3D.4

8.已知点0、N、P在回4BC所在平面内，5L\0A\=\0B\=\0C\,NA+~NB+

NC=0＞PA-PB=^B-PC=PCPA＞则点。、N、P依次是团48。的()

A.重心、外心、垂心B.重心、外心、内心

C.外心、重心、垂心D.外心、重心、内心

9.已知非零向量五、石满足|五|=|石|=|五-31=1，c=2a-b＜则cos＜泊方＞=

A.OB.；C.1D.-更

232

10.点4(3,0)、3(0,3)、C(co«c,“ig)、0(0,0),0^44-OC|=V13,a6(0,TT),

则而，厉的夹角为()

11.如图，在△ABC中，AD=2DB,AE=3EC,CD与BE交于F,AF=xAB+

yAC,则（％/为（）

12.在AABC,4c=90。，AB=2BC=4,M,N是边48上的两个动点，且|MN|=

1,则由•丽的取值范围为()

A.曲9]B.[5,9]C.卓,9]D.臣5]

第II卷(非选择题)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知五•1=—9，毛,备分别是与五花方向相同的单位向量，在在至上的投影向量为

—3杳，方在日上的投影向量为一;备，则为与方的夹角。为.

14.关于平面向量落a3,有下列三个命题：

第2页，共19页

①若(•方=五々,则3=己

②若”=(l,k),b=(-2,6),一〃1，则k=-3;

③非零向量五和石满足|五|=|K|=\a-b\'则五与方+石的夹角为60。.

其中真命题为.(写出所有真命题的序号)

15.已知五=(2,-1),b=(x,-2).I=(3,y).若五〃方,(a+h)1(K-c)»M(x,y),

N(y,x),则向量而的模为.

16.如图，在A4BC中，4B=4,AC=2,NBAC=60。.已知点E,尸分别是边A8,

AC的中点，点。在边BC上，若诙•标=?,则线段8。的长为_______

4

三、解答题(本大题共5小题，共60.0分)

17.已知锐角团4BC的内角4,B,C所对的边分别a,b,c,且a=3,b=V7.若方=

(a,—b),q=(sin2B,sinA),且91于.

(1)求角B和边c.

(2)若点。满足方力:而+二次，求AACO的面积.

«5*5

18.已知向量为=(3,2),b=(%,-!)-

(1)若(N+21)，(2N-了)，且x>0,求|五+)|；

(2)若(一8,-1),a//(b+c)，求a与3的夹角.

19.己知向量苍=(-3,2),b=(2,1)>c=(3,-1),tGR.

(1)求|五+/|的最小值;

(2)若五一tE与不共线，求，的值.

20.已知平面向量日=(1,2)1=(一3,-2).⑴若)/(2Z+B),_0.|c|=2V5.求才的

坐标；

(2)若云与方+2石的夹角为锐角，求实数4的取值范围.

第4页，共19页

21.M、N分别是Z1ABC的边8C、AB上的点，且BM=[BC,AN=^AB,AM交CN

于P.

⑴若祠=万南+丫而，求x-y的值；

(2)若AB=4,AC=3,^BAC=60°,求布•瓦t的值.

答案和解析

1.【答案】D

【解答】

解：因为同=2,\b\=74+4=2V2。同，故A错误；

因为万一方=(一2,0)，b=(2,2).所以£=-1*£=0,所以@一石)与了不共线，故8

错误；

因为弓•b—(0,2)•(2,2)=4，|五|=2,\b\=，4+4=2V2,

所以cos(五1>=蠡1=表=当

因为〈乙3>e[0,兀],所以〈区另>=5故C错误；

因为(有一石)=(-2,0)，a=(0,2),所以位一3)W=-2x0+0x2=0，

所以(三一方)-L五，故。正确.

故选D.

2.【答案】D

【解答】

解：取8c中点F,连接FA,

因为在梯形A8C力中，BC=2AD,所以四边形AOC「是平行四边形，

所以FA//CD,FA=CD,

*1■■♦,......♦1，，—，♦1”3"一■♦

=BC+X&l-BF）=BC+：（BA-；BC）

=三/+?比=%+泞.

2424

故选D

3.【答案】B

第6页，共19页

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积，考查向量平行及垂直的判断与证明，考查向量的模，考查计

算能力，属于基础题.

由题已知计算可得x=—l,y=l,即可得五—B=(—3,1)，即可得到答案.

【解答】

解：由题得向量方=(%2),b=(2,y)，c=(2,-4),

&a//c,Tic*,

x2

a//c=^Z-=—4,

b-L，=4-4y=0，

•••x=—1,y=1,

--a=(-1,2),K=(2,1).

即五一B=(—3,1)，

.-.\a-b\=J(-3)2+1=V10,

故选艮

4.【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.

法一：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求解即可.

法二：由题意，根据向量的运算，可得荏，市，即EF_L4E,再由E是的中点，

进而可求解，得到答案.

【解答】

解：法一：以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AO所在直线为y轴,

建立平面直角坐标系如图所示，

ABX

则4(0,0),E(2,l).设|便|=%,则F(x,2),故N=(x,2),AE=(2,1).

■-AF-AE=\AE\2,(x,2)-(2,1)=2x+2=5,解得x=|,

二闻l=J©+22/

故选D

法二：连接EF

由题意，-：AF-AE=\AF\-\AE\cos/.EAF=\AE\2,

•••|AF\cos^EAF=\AE\>

EF是8c的中点，

BE=CE=1.设DF=x,

则CF=2-x,

在RM4EF中，AE2+EF2=AF2,

即2?+I2+(2—x)2+I2=22+x2,

解得尤=I，AF=>JAD2+DF2=|.

故选D.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量在几何中的应用，考查的重点是向量加法的几何意义和向量数量

积的性质，属于中档题.

森，是单位向量，且由向量备，^为邻边构成的四边形是菱形，得到OA在ZB4C

的平分线上，即可得出结论.

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【解答】

解：向量融模等于

因而向喘是单位向量,

•响量繇箫溪等都是单位向量，

,由向量器，^为邻边构成的四边形是菱形,

7T7?z而石、

•・•0A•(-=--7=r)=0A,

\AB\\ACV

可得0A在NB4c的平分线上,

同理可得0B平分44BC,0c平分N4CB,

•••。是△ABC的内心.

故选C.

6.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积，两向量的夹角，向量的模，三角形的面积公式，平面向量

的坐标公式，属于基础题.

先求出荏•而，及|屈|、\AC\,可求出两向量的夹角，再根据三角形的面积公式可

求答案.

【解答】

解：由题意I荏I="2+22=次，I刀I=J42+(-2)2=2遍,

设向量荏与前的夹角为。,

赃。，"磊二^^二。，

所以。=乙4=90°,

故SMBC=1|^||^C|sin900=|X(V5)X2V5=5.

故选A.

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查平面向量共线的条件、共线向量概念、单位向量概念及数量积运算，属基础

题.

结合平面向量的基本概念进行逐个判断即可.

【解答】

解：(1)不正确，例如当五=6,3K6时，这样的4不存在；

(2)正确，由于3为单位向量，且五〃高故五的模等于|五|,方向与N的方向相同或相

反，故不=士|矶京；

(3)不正确，例如当方=6,3与口不一定相等；

(4)不正确，alb.313则方与e可能不共线，

综上，正确的命题为(2),共1个.

故选A.

8.【答案】C

【解析】

【分析】本题考查了向量的几何运用，涉及向量的加减运算，向量的数量积以及三角

形三心的判断，考查了分析和运用能力，属于中档题.

根据|函|=|而|=|衣|，得到点0到三角形的三个顶点的距离相等，即点。为△

4BC的外心；再根据雨+源+枇=6,得稔+雨=一枇=丽，得到点N在AB

边的中线上，同理可得点N也在其他边的中线上，即可得到N为AABC的重心；再根

据百？•=PBPC=PC-适得两~PB-~PB-PC='PBCA=0,得到点P在AC边

的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，进而得到点尸为AABC的垂心，进而得

到答案.

【解答】解：因为|而|=|而|=|左所以点0到三角形的三个顶点的距离相等，

所以点。为△ABC的外心；

由而+而+枇=6，得福+而=一觉=丽，

由中线的性质可知点N在A8边的中线上，

同理可得点N在其他边的中线上，

所以点N为△4BC的重心；

由可PB=PBPC=PCPA，

得P4-PB-PB-PC=PB(PA-PC)=PB-CA=O,

则点P在AC边的垂线上，同理可得点P在其他边的垂线上，

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所以点尸为△ABC的垂心.

故选C.

9【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的数量积和向量的夹角及余弦定理，属于基础题.

根据题意，将向量五石转化为而，而捐出三角形ABC为等边三角形，再根据余弦定理

得出=4。2+。。2,进而求出答案.

【解答】

解：设丘=4B，AD=2a,b=AC>

则五一3=说一左=方;^=2日一5=同一而=而;

因为同=|同=|五一3=1,所以三角形ABC为等边三角形，所以乙4，

<)

222

1AD+AC-CD22+l2-CD2

所以0084一COB---,Ip-・解得CD=V3;

322xADxAC22X2X1

所以m=AC2^CD2,

所以乙4CD=],所以cusq/.T)=8S^=0,

故选A.

10.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算、数量积以及向量夹角，属于基础题.

利用向量坐标形式进行运算求出C点坐标，然后求出布,灰的夹角的余弦值，最后结

合夹角的范围求出夹角的大小.

【解答】

解：,••4(3,0),C(cosn,.sina),0(0,0),

.」+OC'(3+cosn,hiiki)»\0A+0C|=7(34-cosa)2+sin2a=

V104-6cosa=V13»

1

/.cosa=】,

vaG(0,7T),

a=3r即0(I，亨)，

A方,正夹角余弦值为"艺=送=叵,

\OB\\OC\3X12

V丽,能夹角范围为［0,兀］,

.•.南,0?夹角为也

故选。.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义，同时考查了分析问题的能力和计算能

力，属于中档题.

根据4。=208,AE=3EC,利用8、F、E三点共线和C、F、。三点共线分别表示

出向量存，根据平面向量基本定理可求出x、y的值.

【解答】

解：•••AD=2DB,AE=3EC,

设前=4褊CF=fiCD^

.-.AF=AB+'BF=AB+A'BE

=AB+4(萍-AB)=(l-^AB+^XAC,

且酢^AC+CF^AC+nCD

=AC+M(|A5-硝=|〃而+(1-〃)幅

(l-A=-n[x=-

可得(33解得{:,

印=1-〃

所以羽=[而+：而，

因为"=x而+y前，

所以％=5

则(x,y)为&}.

故选A.

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12.【答案】A

【解析】解：以C4,CB为坐标轴建

立坐标系如图所示：

vAB=2BC=4,4BAC=30°,

AC=2V3

设4N=a,则N(2g一苧,力

同Q+l)a+1、

M(2V3-2，2)’

：.CM-CN=(2V3-亨)(26-•凤尸)+|—=a2-5a+9.

vM,N在AB上，0WaW3.

二当a=0时，加.丽取得最大值9,

当a=|时，CM■丽取得最小值*

故选：A.

建立坐标系，设4N=a,用a表示出由，丽，得出丽•而关于a的函数，从而得出

范围.

本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题.

13.【答案】120。

【解析】

【分析】

本题考查投影向量、向量的数量积、夹角公式，属于基础题.

根据投影向量定义，列出方程，求解|初=6,忸|=3,再根据夹角公式，即可求

解.

【解答】

f|a|cos0=-3

,,,11—।-3(a—6

解：由题意，得J|b|cos0=£=■［芮=3'

\a-b=—9

u.•b—91

:.COS0=---ZT=-----=----

|a||K|6x32

V0°<e<180°,9=120°.

故答案为：120°.

14.【答案】②

【解析】

【分析】本题考查向量平行的条件，向量的夹角，向量的模等知识，属于基础题.

将原式变为三-(K-C)=o,可判断①错误；根据平面向量共线的条件可判断②正

确；画出图形根据向量的平行四边形法则可判断③错误.

【解答】

解：①方=k■不时，al(h—c)=0>a1(b—c)»不一定有3=高故①错误.

@a=(1,/c),b=(-2,6)，由百〃石知，lx6-(-2k)=0,二k=-3,故②正

确.

③非零向量五，至满足|=|9|=|五—质，则三向量方，b>五—加构成正三角形，如

图.

由向量加法的平行四边形法则知，方+方平分NB4C,二2+方与五的夹角为30°,故③

错误.

15.【答案】8V2

【解析】

【分析】

本题主要考查了向量的坐标运算，向量的数量积运算法则，向量平行以及垂直的充要

条件，属于基础题.

由乙〃方求出X值，进一步求出3+方、b-c>又由m+方)_L(石一？)，构造方程，解方

第14页，共19页

程求出y,有了M、N的坐标，代入向量模的计算公式，即可求出向量的模.

【解答】

解：因为在〃方，所以x=4,所以方=(4,一2)，

所以五+1=(6,—3)，fe-c=(1,-2-y).

因为0+B)l(3—?)，所以0+B)•@-？)=0,

即6—3(—2-y)=0,所以y=—4.

所以向量而=(—8,8)，|而|=8近.

故答案为8VL

16.【答案联

【解析】

【分析】

本题考查了向量的数量积运算和坐标运算，先是以A为坐标原点，AB为x轴，过A点

的AB的垂线为），轴建立坐标系，故可得各个点的坐标，再由丽•济=弓和8、D、C

三点共线，解出答案.

【解答】

解：以A为坐标原点，AB为x轴，过4点的A8的垂线为y轴建立坐标系，如下图：

由题意得4(0,0),8(4,0),C(1,V3),E(2,0),飞片)，

设。(x,y)(0<%<4,0<y<V3),

则55=(2_以_切，D?=(i-x,--y)>氏=(一3,⑺)，B5=(x-4,y)»

则经=（2-1）（；一工）一y（等一y）=学‘①,

又B、。、C三点共线，则有前与前共线，-3i/-1）,②,

13（1

X=­X=-

'或15%（舍去），

[y=7（y=-T

配=V号’...初=+哼）=惇，

故答案为理.

2

17.【答案】解：（1）由万JL干,

得方q=0

即®—b）・侬口2B.sinA）=asin2B一fcsin4=0,

由正弦定理，

/.2sinAsinBcotsB-sinBtinA=0,

又sinZw0,sinB丰0,

.•.cosZ?=-,

又B6（崂，•①哈

由/=Q2+02_2QCCOS8,

代入a3.b二、万得c?—3c+2=0,

，c=l或2,

当C=1时，1>/+仃2,不合题意，舍；

当C=2时，°2<庐+/,符合题意，

所以仃=2；

（2）-.<W--A5+2A^,

3«J

=A0-15=-AS=京前一函号配，

J«JJ«J

・・・。在8。上，且为靠近C的三等分点，

c1.D国3V3

ShABC=-acsmB=-x3x2x—=»

.c_1c_1sz36_y[3

•••^^ACD—=3X

【解析】本题考查正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，平面向量的线性运算，两

向量垂直的坐标表示，解题关键是由正弦定理化边为角，属于基础题.

第16页，共19页

(1)由向量垂直得数量积为0,再由正弦定理化边为角，可求得8角，然后由余弦定理

求得c,注意取舍.

(2)由向量的线性运算求得。在BC上位置，利用回ABC的面积得出结论.

18.【答案】解：(1)因为五=(3,2),K=(x,-1).

所以万+21=(3+2x,0),2a-K=(6-x,5),

由(N+2T)_L(2N-1)可得(五+2万)•(2五一B)=0，

即(3+2x)(6-x)=0,解得x=6或x=-|(舍去，因为x>0),

所以己+石=(9,1)，

故|W+5|=V92+I2=V82.

(2)由题意，b+c=(—8+x,-2),

又W〃(石+?)，则-2x3=2x(%—8),

解得x=5,则石=(5,—1)，

所以cos(乙石>=噩=潦急=当，

又<N,1>€。对,所以方与石的夹角为：.

【解析】本题考查向量的数量积运算，向量的坐标运算，向量的模和夹角，向量之间

的平行，垂直判定，属于较易题.

(1)得出五+2方=(3+2x,0)，2a-b=(6-x,5)，根据0+2石)•(2万一石)=0即可

求解x的值，从而可得|2+3|；

(2)可得方+下=(一8+%-2)，根据弓〃出+。