高中数学-数列不等式的放缩法技巧大全

高中数学-数列不等式的放缩法技巧大全

专题：数列不等式的证明

回顾：

我们会求哪些数列的和？用什么方法?

数列求和方法一：公式法等差数列，等比数列

数列求和方法二：分组求和—几个特殊数列的和差运算

数列求和方法三：错位相减法一等差X等比

数列求和方法四：裂项相消法一分式结构

数列求和方法五：并项求和法—摆动婺列，

数列求和方法六：倒序相磐周期数列

数航为｝满足%+%/=常数

类型一、已知数列通项公式下前n项和的不等式问题：

A：

例1:已知4,｛〃,,｝的前〃项和为S”求证S"<1

-1是S,,+8时的极限（上确界）

归纳：可求和通项结构的那就把和求出来再论证!

已知4“=*,｛4｝的前〃项和为&试找出］的大致范围.

£样可以提高精度呢？11

—<------------（/?>

、„11117

证明：4-,••H）.

一、把差距较大的项保留下来。

例2：已知~^｛。，的前加页和为打

七、正.21c11隐身/1

5J"2n+22n+22

n+—

2

法一、从结果出发寻找数列的项，逐项比较即可！

数学角度•,无法求得力表达式的数列（这是多数），

则希望能找一个与它相近（放大和缩小）的能求出前n

项和表达式的数列进行近似计算（产生了数列不等式）。

法二、目标导向下的思考!

3号3型的数列如何求和（近似求和）？

型的数列如何求和（近似求和）？

（1）能裂项相消的直接求

（2）不能裂项相消的放大或缩小成可以裂项相消的夹住它

如何操作?

待定系数法

x-y=\,x+y=8（可调整）

已知<=福,仇｝的前〃项和为7；,试找出7；的范围.

〃怎样可以提高精度呢?

证明：5+*+?+…+'<（（〃GN*）.

一、把差距较大的项保留下来。

二、找到较佳的放缩。

结论:对于-U精度最好的放缩为：

B：

引子：求证」]_

32

结论：首项为外⑷>0）,公比为双0”<1）的等比数列

的前〃项和为s“则乎言（等比递缩数列的极限）

例1：(1)a=—!—，求证：S“=q+%+…+4"v1

〃n2〃।।〃i/〃

(2)4二:^■，求证：5“=%+%+~+。"<1

5—1

（2）%二^"7,求证：5〃=%+。2+.…+凡＜1

J—1

分析：*=_L,通项公式与等比相近,（条件。）

"3"—12

（结论）

放缩依据：糖水不等式：=

a。+〃?

（2）%=占,求证：S〃

=。］+%+…+。"V1

J—1

根据通项公式的特点，我们放大的目标是什么数

列？

目标导向下的待定系数法

叫"

3"-1

B:a=a>\,b>0）型的数列如何求和（近似求和）

na-b

~糖水不等式

11<曲—9b,

〃a"-b(a"—b)+6

二.待定系数

设、/iQ=--1--",——1

〃an-han

a"(a"-b)+b।

则42---=---------=1

ba

取久=1+

独勺取值可以随〃的值进行精确度的调整。

完成本题并归纳

3

已知4=——-——,求证:4++…+<—.

〃3〃_2〃12〃2

归纳.一般地：对于q>l,q>b>0,%=J

a-b

证明：q+%+…+。〃<M.

1

设与nin=A—n

a-ba

1

则4=、a

nin1-(与'人>-----

a-ba-b

a

a11(1Y-1

a<--------=-------

na-ba"a-b\aJ

1

为首项，以,为公比的递缩数列

42a-—ba

上界为----。--)

a-ba

练习：已知％=而3$为｛吗的前〃项和.

n

(I

求证：(-----X

“33

(2)S〃w---------GN.

3(2/7+3)-2〃+

1

类型:7,(//>O,C>l)

方法1:待定出等比递缩数列

方法2：构造出裂项相消。

1

B：类型:,(^>O,C>1)

类型二、已知数列递推关系式下的不等式问题

一，、2

例1：已知数列｛。〃｝满足q=1,%+[=%+—+1,A7eN+.

_3

证明：当〃N2时，n+2<a<—n+1.

〃2

例2：｛。〃｝满足:q=1,%=a；+1.一

求证：了2〃T.

数学角度:无法求得｛a"通项公式的数列（这是多数），或

者根据题意根本就无需去计算通项公式；通过递推关系式

的结构特征进行代数变形和分析（函数性质）希望能找一

个与它相近（放大和缩小）的等差或等比数列夹住它。

A.类等差数列的概念与性质

对于数列｛%｝,若从第二项起，每一项与它的前一项的差

都小于（战关于）同一个常数d,则数列6网做类等差数

列，d称为类等差数列的公差。

daa<d7d

a2-Q-2-1,Q2-a

1,(d1,

4-Q2-d累Q-Q2<4-a27d

33,或3

-,-d-,

aQd加Qa<4a7d

43-,43,43,

.."

-港：-

4Q<>

a-a--Ta-a

〃

T〃T

〃

〃

〃

〃

an<(>)q+(〃-l)d,(〃>2)

u

an<(N)q+(〃-l)d,(wN+),(〃=1时等号成立).

B.类等比数列的概念与性质

C:变式挑战o

3

已知数列｛%｝满足：a[=,,%+]=_〃：+3%+C,（〃GN+）

（一）若。=T,

（1）分析｛%｝的单调性和取值范围；

（2）求证：”+1W——<2/7,（77eN+）

%T

3Q

（二）若C=0,（此时方%三）；

5

求证<an-2<-x

〃247

C:变式挑战o

3

已知数列｛%｝满足：卬=5，。〃+]+3%+C,(〃G”

(一)若。=-1,

(1)分析｛%｝的单调性和取值范围；隐

/、4、-122〃+1n+2

(2)求证：/?+1<—产2n,”N*)^——<an<--

an-12/7n+1

3Q

(-)若C=0,(止匕时;w。"w：)；

求证出

此类递推关系式下寻找类等差(tt)逼近通项的解题五

步法。

%+i=寸+Ba〃+C

1、找出迭代函数理解迭代函数

2、计算迭代函数的不动点与并结合蛛网图理解

3、“中心化”后两边出现相同的因式。〃+1一%,。〃一工

?

并求出=q(a),并分析“变比”讥。〃)•

(X)有兴趣的

4、计算“变比”式雁不动点处的函数值外X。)同学可根

(1)若等于1,则数列为取倒类等差型

(2)若不等于1,则为类等比型据待定系

数法去探

5、根据4的判断进行求解。究为什

不动点的应用！

数歹U｛。〃｝满足：Q〃+i=J3a〃+4,q=7.

(i\n~2?〃

求证4+-<a<4+-

⑴n〃8内

类型二、已知数列递推关系式下的不等式问题

2

葭已知：

玩点花样：抽掉梯子,

3跳过a求和！

求证:q+%+…+%V—n

2、已知数列｛%｝满足q=；,。“+]=q,-a：(〃eN').

(I)求证：Iss2(〃eN')；

%

玩点花样：表面夹和,

(II)设数列｛"｝的前〃项和S“,实质夹通项！

证明:

2(n+2)n2(〃+1)

练习:

已知数列｛%｝中,%=3,2%+]=-2an+4;

(1)证明:

(2)证明:an>2+9

(3)设数列，的前〃项和为S”,求证：1-目

4，"

编题:

12_1_

q="。〃+1=_4〃+4〃，s〃为，—，的刖〃项和。

%J

(1)求证：0<。〃]

/C、-4X、T/+7〃c2/72+1077

(2)求证：一^<S〃<―--

类型四：与函数不等式相结合。

Y

已知：f(x)=ln(l+x),g(x)=——

l+x

⑴求证：/(x)>g(x)

(2)求证:;+；+…+々〈项〃+1)

函数不等式群：lnx<x-1=>In—<--1BD-Inx>1--

xxx

/.1--<Inx<x-1=>x<ln(x+1)<x

xx+l\

不能求和：尝试从

那么就寻找“

练习:

-jxs-rIn2In3ln〃n(n-i)

求证：——+——+…+---<-

34〃+14

有一种裂项叫常规:

H<q=2p---L-

n~4n"4/?~-12〃+1

⑵一!—=——

2"(2〃-1)2"2"

(3)I-------<+2--y/n<=>--------<i--------------T=。—f=<-------------

yjn+2+2+2>jn+2>+2+J

(4)p---Q.±=_!___________!_

\2n+\2n+3J2"(2n+l)-2n-1(2〃+3)・2”

‘八