高中数学-三角函数

第一常：三角直数

1.1.1佞题前

1、角的有关概念：

角的定义：

角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

角的分类：

'负角：按顺时针方向旋转形成的角

\正角：按逆时针方向旋转形成的角

、零角：射线没有任何旋转形成的角

图4-3

2、象限角的概念：

.①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与X轴的非负半轴重合，那么角的终边（端点除外）在第几

象限，我们就说这个角是第几象限角.

所有与角a终边相同的角，连同。在内，可构成一个集合S={?|万=。+左，360°,

左2力，即任一与角。终边相同的角，都可以表示成角。与整个周角的和.

CC

例、已知a角是第三象限角，则2。，土各是第几象限角？

2

1.1.2弧度制

1、弧度制

.长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；1弧度记做Irad.在运算中，常常将rad单位省略.

2、弧度制的性质：

加2勿与

一=乃；------27t.

①半圆所对的圆心角为r②整圆所对的圆心角为八

③正角的弧度数是一个正数.④负角的弧度数是一个负数.

⑤零角的弧度数是零.⑥角a的弧度数的绝对值|a|=r

3、弧长公式

-I-r-\a\

弧长等于弧所对应的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积.

1.2/佞度角的三角施政

1、三角函数定义

在直角坐标系中，设a是一个任意角，a终边上任意一点P（除了原点）的坐标为（x,y）,它与原

点的距离为r（r=J|x『+|y|2=&2+寸〉0）,那么

(1)比值上叫做a的正弦,记作sina，即sina=—

rr

xx

(2)比值二叫做a的余弦，记作cosa,即cosa=一

rr

v

(3)比值上叫做a的正切，记作tana,即tan=—

XX

Yx

(4)比值上叫做a的余切，记作cota，即cota=一

2.三角函数的定义域、值域

函数定义域值域

y=sinaR[-1,1]

y=cosaR[-1,1]

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y=tana{o|aw耳+左万/sZ}R

例、求函数y=a@+等］的值域

cosx|tanx|

诱导公式

sin(2氏〃+a)=sina(keZ)

cos(2^+a)=cosa(攵eZ)

tan(2ki+a)=tana(keZ)

5、三角函数线的定义：

设任意角a的顶点在原点。，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P(x,y),

过P作x轴的垂线，垂足为M；过点A(1,O)作单位圆的切线，它与角a的终边或其反向延

长线交与点T.

由四个图看出：

当角a的终边不在坐标轴上时,有向线段于是有

yycosa=-=-=x=OM,tana=^=-^-=—=AT

sina=—=—=y=MP,

r1xOMOA

我们就分别称有向线段MROM,AT为正弦线、余弦线、正切线。

1.2.2同角三角商数的基基装系

1、由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：

(1)商数关系：tana=?吧(2)平方关系：sin2«+con2a=1

cona

12

2、已知sina=—，并且a是第二象限角(若没告诉你哪个象限？)，求cosa,tana,cota.

1.3璘导智兴

1、诱导公式(一)

sin(360%+a)=sinacos(360°k+a)=cosatan(360%+a)=tana

诱导公式(二)

sin(1800+a)=-sinacos(1800+a)=-coscrtan(1800+a)=tana

诱导公式(三)

sin(—a)=-sinorcos(-a)=cosatan(-a)=-tana

诱导公式（四）

sin（兀一a）二sinacos(7i-a)=­cosatan(兀-a)=一tana

诱导公式（五）

sin（--a）=cosacos(^-a)=sina

诱导公式（六）

sin（—+a）=cosacosg+a)=-sina

./c、/、兀、11%\

sin(24-cr)cos(/r+a)cos(—+a)cos(----a)

例、化简：----------------------Z--------《——

9万

COS(TF-a)sin(3乃-a)sin(-a-万)sin(+a)

2

例、已知sin(a+〃)=3,且sinacosav0,求名诃。―%)+3tan(3万_^2的值

54cos(a—3")

.^an(^^^sin

cos^^8❸sin(90

1.4.1余殖商般的国家

1、

正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.

2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法)：

正弦函数丫=51”，xC［O,2n］的图象中，五个关键点是:(0,0)(-,1)U,0)(—,-1)(2^,0)

22

余弦函数y=c°sxxC五个点关键是哪几个？(0,1)年。)")旁，。)(2.1)

3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的x的集合：

(l)sinx>-;(2)cosx<—,(0<x<—).

222

1.4.2正弦、余盘商敷的膛质

1、奇偶性：y=cosx是偶函数y=sinx是奇函数。

2、单调性

正弦函数在每一个闭区间［一2yr+24"，n2+2攵不］(4£Z)上都是增函数，其值从一1增大到1；

22

TT34

在每一个闭区间［一+24〃，一+2A〃］(*CZ)上都是减函数，其值从1减小到一1.

22

余弦函数在每一个闭区间［(24-1)万,2/万］(AGZ)上都是增函数，其值从一1增加到1；

在每一个闭区间［2左不，(24+1)”］JeZ)上都是减函数，其值从1减小到一1.

3、有关对称轴

观察正、余弦函数的图形，可知

71

y=sinx的对称轴为x=攵万H——keZy=cosx的对称轴为x=Z;rk£Z

4、判断下列函数的奇偶性

l+sinx-cosx2

⑴/(x)=(2)/(x)=lg(sinx+Vl+sinx);

1+sinx+cosx

1.4.3正切商政的倏质与BB家

1、正切函数丁=tanx的定义域是什么？%|xw2+&万,kwz

2

3、正切函数的性质(1)定义域：(%&乐&£zb

(2)值域：R观察：当x从小于氏+8女匕)，%--->加+殳时，tanx---->+oo

当x从大于彳+.卜ez)，x---->万+立时，tanx---->—8。

(3)周期性：T=/r；

(4)奇偶性：由tan(-x)=-tanx知，正切函数是奇函数；

(5)单调性：在开区间卜^+而微+版•卜ez内，函数单调递增。

例、求函数y=tan(3x-。1的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，

1.5函数了学曲佃吧初次X),的0B家

1、函数y=Asin(wx+(p),(A>0,w>0)的图像可以看作是先把y=sinx的图像上所有的点向左((p〉0)

或向右((p<0)平移|<pl个单位，再把所得各点的横坐标缩短(W>1)或伸长(O〈W〈I)到原来的L倍(纵坐

CO

标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A〈l)到原来的A倍，(横坐标不变)。即：平移

变换一周期变换一振幅变换。

2、⑴函数y=sin2x图像向右平移行个单位所得图像的函数表达式为y=sin2(x-119

⑵函数y=3cos(x+个)图像向左平移g个单位所得图像的函数表达式为y=3cos(x+2)

⑶函数y=21oga2x图像向左平移3个单位所得图像的函数表达式y=21og“2(x+3)

⑷函数y=2tan(2x+g)图像向右平移3个单位所得图像的函数表达式为y=