误差与数据处理练习题

误差与数据处理练习题

1.用螺旋测微计测量某一铜环的厚度七次，测量数据如下:

i1234567

H(mm)9.5159.5149.5189.5169.5159.5139.517

求H的算术平均值、标准偏差和不确定度，写出测量结果。

【解】H=1X7H=1(9.515+9.514+...+9.517)=9.515(mm)

7i7

i=1

Sl—X7(H_IT)

.B/TI»9.515_9.515)2+(9.514_9.515)2+...+(9.517_9.515)2］=0.0018(mm)

\6——

U=Js2+编2=V0.00182+0.0042=0.005mm

H、H仪

:H=9.515±0.005mm

计算结果表明，H的真值以95%的置信概率落在［9.510mm,9.520mm］区间内。

2.试比较下列测量的优劣:

(1)x=55.98±0.03mm；

(2)x=0.488±0.004mm；

2

(3)x=0.0098±0.0012mm；

3

(4)x=1.98士0.05mm

4

解答:

(2)E=义吗100%=0.82%

(1)E=100%=0.054%

55.980.488

(3)E=100%=12%(4)E=100%=2.5%

0.00981.98

优劣次序为：(1)、(2)、⑷、(3)o

3.用电子秒表（编=0.01s）测量单摆摆动20个周期的时间t,测量数据如下:

仪

i1234567

t(s)20.1220.1920.1120.1320.1420.1220.17

试求周期丁及测量不确定度，并写出测量结果。

解答：

T=[=1(20.12+20.19+...+20.17)=20-140=1.0070s

2020根720

4

S=1(20：12—20.140)2+...+(20.17—20.14峡

T=一0.0015

202&6:

U=5+编2='0.00152+(0.01/20)2=0.0016

T、T仪,

:T=1.007±00.001s6

4.利用单摆测重力加速度g,当摆角9<5。时有T如2几’|/9的关系。式中I为

摆长，T为摆动周期，它们的测量结果分别为1=97.69士0.03cm,T=1.984士0.023s,

试求重力加速度g的测量值及其不确定度，并写出测量结果。

解答：

g=wi=£umB9=979cnVs

T21.98422

❷=凹、凹:0.03yj2x0,0021y=00022

gV(I)(T)\(97.69)(1.9842)

U=979.群艮0.0022=2.2(cm/s2)

g

g=979.6±2.2(cm/s2)

5.试推导下列间接测量的不确定度合成公式。

(1)f=

U+V

sin1(a+6)

⑶n=

sin

2

解答：

(1)解法一(直接求偏导数):

—2—

?fv(u+V)-UVV2?fu(u+v)-UVU2

?U(u+v)2(u+v)2?V(u+v)2(u+v)2

1,-------------------

U」回iWu------------JV4U2+U4U2

f\(?U)"(?v)V(U+V)2uV

解法二(先求自然对数再求偏导数)：

Inf=ln(uv)-ln(u+v)

?Inf11v?Inf11u

?uuu+vu(u+v)'?vvu+vv(u+v)

u二J(粤4丫+(翌4Y=—JV2uU2u

2+2

f\(?Uu)(?Vv)u+V\U2(U+V)2uV2(U+V)2V

="''V4U2+U4U2

(U+V)2UV

(2)解法一(直接求偏导数)：

?fD2+L2?fL

-

?D"4D2)?L-2D

u”射门凯卜伯券刖+喻他

=忘«

02+L2）2UD2+4D2UU2

解法二（先求自然对数再求偏导数）：

Inf=ln(D2-L2)-In4-InD

?lnf2D]D2+L2?lnf-2L

?D-D2-1_2-D-D(D2-1"2)'?L-D2-L2

D2-L2《小+r.2

"D+U

)|[D(D2-L2)L))I

1

V(D+L)U2+4D2L2U2

~4DZ222D

⑶解：Inn=lnsin[(a+6)*2]-lnsin(a/2)

—3

Hnncos[(a+S)2]cos(a2)1ctan[(a+5)0-；ctan(42)

芯w2sin[(a+8),2]-2sin(a2)=2

clnnc0s(a[+5)2]1.「

才=备而两2]一产皿引2]

U「照出；+粤U；

_sin[(a.4-5)2]J'ctan[(a+6)2]-ctan(a/2)12U2Jctan(a+6)21U2

2sin(a2)a6

6.已知某圆柱体的质量m=236.12±0.05g,直径d=2.345±0.005cm,高

h=8.21±0.01cm□求圆柱体的密度及不确定度，并分析直接测量值m、d和h的

不确定度对间接测量值p的影响程度的大小。

解答：

4m4236.12,

p:—,,：----：6.6603

dh必4阴21,

UJ「旦一(2工¥/1142_(\0.05y<2x0.005?f0.05V

丁mJ1ChT-1^36.15)+l,2.345Jt^27J

=v4.5x10-8+1.8x10-54-3.7x10-5=7.5x10-3

U=px7.5x10-3=6.66x0.0075=0.05

0

p=6.66±0.05g/cm3

由U」的计算可知，h的不确定度对p的测量结果影响最大，m的影响最小。

0

7.改正下列错误，写出正确答案。

(1)0.10860的有效数字为六位；

(2)P=(31690±300)kg；

(3)d=10.8135±0.0176cm；

(4)E=1.98x10n±3.27x109N/m2；

(5)g=9.795±0.0036m/S2；

—4—

(6)R=6371km=6371000m=637100000cm。

解答：

(1)0.10860的有效数字为五位；

(2)P=(3.17±003)x104kg；

(3)d=10.814±0.018cm

(4)E=(1.98±0.04)x1OnN/m2

(5)g=9.795±0.004m/s2

⑷R=6.371x106ITI=6.371x10scm

8.根据有效数字运算规则计算下列各题:

76.013

(1)-------------=；

40.03-2.0

50.00x(18.3016.3)

⑵(103-3.0)(1.00+0.001)-

小、252+493.0

⑶------------------=；

In406.0

sin-(60。2，+51。20)

sin30tT

解答：

76.01376.013…

(1)=-----------=2.00

40.03-2.038.0

.50.00x(18.30-16.3)_50.00x2.0_.

(zNo)____________________________——1.Un

(103-3.0)(1.00+0.001)100xl.OO

25+493.06.2x102+4.930x1011.1x102

(3)2=2==d1.o8c5x10z

In406.06.00646.0064

...sin；(6002'+5T12(y)sjn55o4r0.8259.

(4)________===1.651

sin30°V0.50020.5002

9.一定质量的气体，当体积一定时压强与温度的关系为

p=p(1+(3t)cmHg

0

-5-

通过实验测得一组数据如下:

i1234567

t(C)7.516.023.530.538.047.054.5

p(cmHg)73.876.677.880.282.084.486.6

试用作图法求出p、0,并写出实验经验公式。

0

解答：

:(1)坐标轴及比例选择

横坐标t：二=1§故取为2.0-c/cm

一87-73

纵坐标P：————=0.82故取为1.0cmHg/cm

(2)作图(图略，在坐标轴上写出所代表的物理量及单位、坐标轴标度、描点、直线

拟合、写出图名及比例)。

(3)用图解法求待定常数

在直线“两端内侧”取两点：A(8.0,74.1)、B(47.0,84.6)

P-P84.674.110.5

Oh=—e------==0.269

t-t47.0-8.039.0

BA

p=p-bt=84.6-0.269x47.0=84.6-12.6=72.0(cmHg)

0BB

b0.269、一j人4c...

Pn===3.74x10-3(1/℃

p72.0

o

p=p(1+Bt)=72.0(1+3.74x10-31)(cmHg)

10.用双臂电桥测低值电阻的电路图如右，现用QJ36型单双臂电桥测量一个低值电阻，取

R=R=1000Q,标准电阻值置于0.1Q。调节联动电阻R(R始终等于R),当检

12334

流计指针指零时，R的读数为4763.36Q,改变电流方向再次调零，得R的读数为

33

4752.68Q。求被测低电阻的值R及不确定度AR。(已知给定条件下最大可测电阻值为

1.11111Q,电桥的准确度等级为0.02)。

4752.68+4763.36

R=---------------------------=4758.02522分

3/

-6-

R=5-R=0.475802Q

2分

RN

1

AR=1.11111x0.02%=0.00022Q3分

R=0.47580±0.00022Q3分

11、对某一电阻进行多次测量，测量结果数据如下:

200.6200.5200.7199.4201.3200.9欧姆

求该电阻测量最佳值和不确定度(不考虑仪器误差)，写出测量结果的完整表达式。

最佳值R=200.6Q3分

22(X-X)2

不确定度4=J--------——=0.604分

\n-1

测量结果的完整表达式:R=(200.6±0.6)Q3分

12、实验测得铅球的直径为d=(4.00±0.02)cm,质量m=(382.34±0.05)g。试根据有

效数字运算法则求出铅球的密度P,并计算其不确定度，写出P的完整结果表达式。

mm6m6x382.34

“附=11.4g/ciro3分

n(400)3

6

Ap_dAmMJAd)2

=0.0153分

ZSp=0.17g/cm31分

P=11.4±0.2g/cm3

13、计算V-4B3—(其中A：：80:2cm,B=70t2kg,C=60±1s)的最佳值、不

C4"

确定度△,写出y的完整表达式。

y

_A2B3802703

y=-cm2kg3/S4分

cT604

—7—

=0.123分

y\(A)(B)(C)

Ay=20cm2kg3/S4分

y=(1.69±0.20)根102cm2kg3/

12mr_

.某物理量的测量公式为：y=-f,某同学测得某种待测样品的长度、质量、直径和

d

频率结果如下：I=80.24土0.02mm,m=305.2±0.2g,d=10.345±0.005mm,

f=1020.5±0.1Hz试求出该物理量的测量值y±Ayo

&=(8。24*。刖k3。50。。。葭=193.8425烟0

/d,10.345x0.001个''

加二y任):停)号)［圉=0I9(mAg®

Ay=19384土0.19(既幅/$)

•用精密天平称一物体的质量m,共测5次，结果为：3.6127g、3.6122g、3.6125g、3.6121g、

3.6120go试求这5次测量值的平均值、不确定度及相对不确定度，并写出结果（“精密天平”

的含意是指由仪器误差所引起的B类不确定度可以忽略）。

m=3.6123g

,X5(m-rrr)2

Ii

S1

A=Ic_.I------=0.00029g=0.0003g

m=3.6123±0.0003g

0.0003

E=3.6123根100%=0.008%

—8—

.用米尺分5次测量正方形的边长，a=2.01cm；a=2.00cm；a=2.04cm；

123

a=1.98cm；a=1.97cm。试分别求正方形周长和面积的平均值、不确度以及周长和面

45

积的测量结果。

a=2.00cm

I=4a=8.00cm

S=a2cm2

5

:X（a_a）2

编

编B=0.05cm取最小刻度的一半

懒、匾A）2+稀B）2

编I=函a=0.24cm

I=8.00+0.24cm

辍==0.24cm2

S=4.00+0.24cm2

17.用伏安法测量电阻的实验数据如下:

i12345678

U（v）0.002.004.006.008.0010.0012.0014.00

I(mA)0.003.858.1512.0515.8019.9023.0528.10

试用逐差法求电阻Ro

解答：

R=1X0—

4根1。_3r_।

i=1i+4i

_18.000.00+10.00_2.00]12.00-4.0014.00-6.00]

41g10.3(15.80_0.0019.90_3.8523.05_8.1528.10_12.05)

[2039

=(0.506+0.498+0.537+0.498)=:=509.8(Q)

4根10.34根10,3

・用游标卡尺测量铜环内、外径，用螺旋测微计测量厚度。

螺旋测微计零位读数0.003mm

一9一

n1234567

外径D(mm)29.9629.9429.9829.9429.9629.9229.96

内径d(mm)10.0210.0410.0010.0210.0610.0410.08

厚测量读数(mm)9.6479.6499.6489.6449.6469.6469.645

h测量值(mm)9.6449.6469.6459.6419.6439.6439.642

1.对结果需进行不确定度分析(个别不确定度估算较为艰难的实验除外);

2.写出实验结果的表达式(测量值、不确定度、单位)，实验结果的有效数字必须正确;

【解】

D=；(29.96+29.94+...+29,96)=29.95mm

S_「(D一。庭6—299块+…+(29.96—29.95)2=

07-1\6

;

U=S2+^2=V'0.0192+0.022=0.03mm

D'D仪

:D=29.95士0.03mm

-1