高中数学习题1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第三册 二项式定理

6.3.1二项式定理

一、知识梳理

1.二项式定理：（a+b）"-.

其中叫做（a+b）”的二项展开式，

各项的系数叫做二项式系数。

2.二项展开式的通项：Tk+l=---------。

3.（1+.

二、重要题型

知识点一：二项展开式的应用

1.化简1+3%+3/+/=（）

A.尤4B.（X+1）3C.（%+1）4D.（X-1）3

2.C；+C：X2+C；X22+…+C：2«+…+禺2"等于（）

A.2"B.2"—1C.3"D.1

3.展开=♦

知识点二：二项展开式的通项的应用

4.（多选题）若二项式（x+1）6展开式中的常数项为15,则实数7的值可能为

（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.若的展开式中含1的项的系数为21,则实数a的值为（）

A.3B.-3C.2D.-2

6.心2+±一2丫的展开式中常数项是（）

A.-252B.-220C.220D.252

7.(多选题)若(3.KF-26)"的展开式中有且仅有三个有理项，则正整数〃的

取值为（）

A.4B.6C.7D.8

8.已知+盅的二项展开式中，第三项的系数为7.

(1)求证：前三项系数成等差数列;

(2)求出展开式中所有有理项(即x的指数为整数的项).

三、巩固练习

1.(一+5］的展开式中x的系数是()

A.90B.80C.70D.60

2.己知(x—2)9=4+q(x+1)+a,(x+1)-+…+4(x+1)',则线=()

A.27B.-27C.324D.-324

3.(1+X+X2)(I_4。展开式中/的系数为()

A.120B.135C.140D.100

4.在二项式(a+4的展开式中，常数项是；系数为有理数的项的个数是

5.的展开式的常数项是

x-y

6.(x+1)“-+2月的展开式中x的系数为

X

7.在，+2x+»的展开式中，7一的系数为—

8.已知在二三］的展开式中，第9项为常数项.求:

（1）A的值；

（2）展开式中V的系数；

（3）含x的整数次事的项的个数.

6.3.1二项式定理答案

一、知识梳理

nn22nkk

1.C°a+C'na'-'b'+C^a-b+•••+C^a-b+■■■+C：b",〃eN*,

右边的多项式,C；(Z=0,l,2,...,〃).

2.

3.C>C>+C；x2+…++…+C：x"。

二、重要题型

l.Bl+3x+3x2+x3=Cf-l3+C3-x-l2+C；-x2-l+C3-x3=(x+l)3.

j+C(2x)

Y(2xy9

6

6r6--r

4.AB二项式展开式的通项为，7；+1=C；x-C；X2小

3

令6-丁=0,得「=4,常数项为。6%4=15,m4=l,得，”=土1,故答案为±1.

5.A的展开式的通项为=c;（五

令等=4,得r=3,此时+的展开式中含/的项的系数为

（£|c/=7a,令笥^=；,得/•=1任—舍去，

所以（&+（］利-1）的展开式中含段的项的系数为7a,所以7a=21,得a=3.

故选A.

6A由-2）5=。-工尸，可得二项式（x-L尸的展开式通项为

XXX

T=C^x'°-r（--Y=（-1）,C,>l0-2r,令10-2r=0,解得r=5,所以展开式的常

r+tX

数项为（-1）'%=-252.

7.BD（3・匠—2«）"的通项公式是

515〃-2r

Tr+］=C；・（3./广。（-2x2y=c：・3〃一「・（一2）〃•L

设其有理项为第厂+1,则x的乘方指数为空名，

6

5n_ov,

依题意'—为整数，注意到O«rW〃，对照选择项知〃=4、6、8,

6

逐一检验：〃=4时，「=1、4,不满足条件；

〃=6时，r=0、3、6,成立；

〃=8时，尸=2、5、8,成立，故选：BD.

8.解:⑴4=第由［土］=*渭

•••：戏=7，叱=28;.若］=28,〃=8,（负值舍去）

13

所以前三项分别为7>C；⑷=/，1=4x3

2&

4=C；（«）61壶）=7）.所以前三项系数分别为1,4,7,

V2x4=1+7.•.前三项系数成等差数列.

J=C；（研［士）=畀/

(2)r=0,l,2,...,7,8

，r=0,4,8,展开式中x的指数为整数，所以展开式中所有有理项为:

［Y（"）1dd=/'T4=/X=7X、%=短电"短

三、巩固练习

1.A”咋广0=C"*"3,

令10—3r=4,得r=2,则/的系数为C；了=90.

2.B(X-2)9=[(X+1)-3]\则其展开式的通项为：J=C；(x+l)r(-3广,

当r=8时,4=C；(X+1)8(-3)'=—27(X+1)8,所以6=-27.

3.B(l-x尸的展开式的通项&=，(一切=(-1＞，/，分别令r=4,r=3,r=2,nJ'

442

得(1+x+V)(l-x)'°展开式中x的系数为(-1)C：0+(-l)y+(-l)Cr()=135,故选B.

4.16夜；5二项式(四+x)9的通项为*=CK&)』/.令r=O,得常数项为

C；(&y=16夜.当/=1,3,5,7,9时,系数为有理数，共5项.

、55

21

5.3+2)-1=X-

-2

尤)X

91)的展开式通项为1\5-r

,(T)'WK,2r-IO

X7

所以，(f+2)1T

-^-1的展开式通项为

7

小小或•(-1广铲-1°+24(-1)"0-1°=以《1卢--+2。(_1广针t。

2Z-8=0Z=4

由，210=0'可得'

r=5

因此，(f+2)1/

4-1的展开式的常数项为以•(T『+2C，(T)5=3.

7

6.225%的系数为C!C；+C；C；X2+CC；X22+C：C；X23=225

232

7.60T3=Cl(x+2x)y,而在，+2“中

=C3(x2)3-i(2x/=C3-2k-x6-k,6—k=5,k=l,《=3x2/,则

7；=10X3X2X5/=60X5/,炉产的系数为60

8.解:二项展开式的通项2产争.

(1