全国数学建模 DVD在线租赁的优化设计

承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛的题目是：DVD在线租赁 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：鲁东大学参赛队员(打印并签名)：1.龚飞2.王开泰3.那晓栋指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：刘伟日期：2013年08月17日DVD在线租赁的优化设计摘要本文通过对网络DVD在线租赁问题的研究和分析，对实际中的DVD租赁公司可能遇到的租赁问题进行了分析并得出了一些合理的结论，设计出了满意度较高的租赁分配方案。首先，针对问题一，通过对1000个会员愿意观看五种DVD的人数进行抽样分析，可以得到100000个会员中愿意观看五种DVD的人数分布。通过分析题意我们知道每张DVD每个月的实际租赁次数为1.6次，相当于每张DVD实际每个月变成了1.6张，另外第二小问，我们可以算出每张DVD三个月的实际租赁次数为4.8次，相当于4.8张。由于实际中这样的一些问题通常都是随机的，因此我们近似认为希望看到某种DVD的会员数量服从正态分布，由此我们可以采用置信区间估计的方法，建立模型，求出会员愿意观看五种DVD的数量。此模型简单易懂，美中不足的是很多我们忽略细节对该问题结果的影响。然后，我们根据表中给出的数据来分配DVD，使得会员对DVD分配的满意度最大。关键问题是要把会员对DVD的偏好程度转换为会员满意度，由题意可知，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，通过观察我们用一个大于9的固定数值来减偏爱数,把这个差值作为满意度，定义总的满意度为maxZ，那么求得maxZ的值越大，即表示会员越满意。随后建立0-1整数规划模型，运用LINGO编程求解。很好的解决了如何再获得最大满意度的情况下如何去分配100种DVD。接着，对于问题三，我们将DVD的购买和分配分开处理。首先考虑DVD的购买量，我们通过把DVD订单需求量和会员对某种DVD的满意度标准化处理，再加权求和，运用LINGO编程求解，得出了100种DVD的购买数量。其次，再考虑DVD的分配问题，我们围绕着DVD租赁商家的利润和会员满意度展开分析，在不考虑二次分配的情况下，运用问题二的方法进行分配，建立规划模型，在尽可能使会员满意度最大的情况下，编程求解得到最佳分配方案。再考虑二次分配的问题，将第一次分配时未分配的DVD和第一次借出又还回的DVD进行第二次分配，由于第二次只对60%的会员进行分配，所以我们运用C程序编程随机求取600个会员，在排除了会员最满意的三张DVD后，对其进行第二次分配，在满足要使这600个会员在第二次租赁时也能租到想看的DVD的情况下，建立模型，求最大满意度和分配情况。最后，基于以上通过对DVD租赁公司在运营过程中如何购买DVD，分配DVD，如何获得会员的支持等问题来获得最大利润的分析和研究，我们自己提出了这样一个问题：会员的诚信，租赁公司预测会员租借DVD的种类与数量，多次少量购买DVD，平衡短期利润和长期利润这四种因素会对租赁公司的利润产生影响，于是我们建立它们之间的联系，建立模型进行分析，为实际中的DVD租赁公司运营提供了一定的参考。关键字：正态分布，置信区间估计，二次分配,0-1整数规划模型，LINGO,。1问题提出随着信息时代的到来，网络成为人们生活中越来越不可或缺的元素之一。许多网站利用其强大的资源和知名度，面向其会员群提供日益专业化和便捷化的服务。例如，音像制品的在线租赁就是一种可行的服务。这项服务充分发挥了网络的诸多优势，包括传播范围广泛、直达核心消费群、强烈的互动性、感官性强、成本相对低廉等，为顾客提供更为周到的服务。考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑以下问题：网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？请具体列出前30位会员（即C0001~C0030）分别获得哪些DVD。继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。表1对1000个会员调查的部分结果DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510表2现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）DVD编号D001D002D003D004…DVD现有数量10401520…会员在线订单C00016000…C00020000…C00030003…C00040000…注：D001~D100表示100种DVD,C0001~C1000表示1000个会员,会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中。2模型假设1.假设从网站下载的数据符合统计规律；2.假设邮寄时间可以忽略；3.不考虑DVD的损坏和丢失；4.假设会员只有将所租的DVD寄回网站后才能继续下次租赁；5.假设每个会员每月最多租2次且至少租一次，一个月租一次的周期时间为30天，租两次的周期时间为15天；6.假设租出的DVD返还率在总体上相对稳定。7.假设每月按30天计算。8.假设从月初会员就被分配了DVD3问题分析3.1问题1在DVD在线租赁时，顾客缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务，会员只需对感兴趣的DVD提交在线订单，网站就好根据手头现有的DVD数量和DVD在线订单为会员提供DVD租赁服务，于是在此问题中，就要考虑到如何满足双方最大的利益，DVD在线租赁租赁公司既要满足会员的需求，又要使自己的成本尽可能的小，即准备的各种DVD的数量最少。表31000个会员中愿意观看五种DVD的人数DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数200100502510由表1对1000个会员愿意观看五种DVD的人数进行抽样分析，可以得到100000个会员中愿意观看五种DVD的人数分布，其分布如下表表4100000个会员中愿意观看五种DVD的人数DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5愿意观看的人数2000010000500025001000并且由历史数据可知，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%会员每月只租一次,由于希望看到某种DVD的会员数量是随机的，会员希望看到某种DVD的概率为p,网站会员总数为n,因此，希望看到DVD会员的数量服从二项分布N(n,p)，且当n比较大时，近似服从正态分布N(np,npq)，我们可以根据以上的条件说明，建立数学模型，对要求的DVD数量进行置信度估计，最终得到所求结果。具体方法见4.1问题1的模型与求解。3.2问题2问题二是在现有一定数量DVD的前提下，如何分配以使会员总的满意度最大。这与“分配问题”或“指派问题（Assignmentproblem）”有很多相同点。我们可以通过一些变化来使求解“分配问题”的模型能运用于该问题。分配问题最常用的方法是0-1型整数规划。在具体使用前，还需要将每个会员对不同DVD的偏爱度转化为满意度。因为我们的目标是总体满意度最大。根据题给条件，网站所拥有的DVD数量有限，但是会员订单确是不确定的，为了获得最大利润，网站必须要最大限度的满足会员的要求，给会员分配最佳需求的DVD，每个会员最多只能租赁3张DVD，并且对不同种DVD的喜好程度不一。综上所述，列出满足要求的规划模型，运用LINGO编程即可求得最佳分配方案。具体方法见4.2问题2的模型与求解。3.3问题3问题三是一个完全由我们来设计解决并优化的问题，网站没有DVD，让我们根据表2提供的在线订单情况来分析需要准备多少张各种DVD，并且分配出去以后还要使得会员对DVD的分配满意度达到最大。在现实的网站经营中需要综合考虑问题一、二，这就需要我们进一步讨论问题三的模型，并结合问题一、问题二来解决问题三，但问题三中DVD的购买量是自己定的，如何分配DVD也是自己定的，一般情况下，DVD数量越多，肯定越能满意会员的需求，这样会员的满意度肯定大，但是实际中，DVD越多，网站租赁商家需要付出的成本肯定越高，如果DVD数量少，那么会员的满意度肯定比较低，因此，网站购买DVD的数量和会员的满意度之间存在一个矛盾，那么我们只有另寻方法，使得在网站购买DVD数量最少的情况下，让会员满意度尽可能达到最大。由实际问题可知，购买DVD数量越多，网站商家的利润会相对变小，但此时会员的满意度比较高，因此，我们把网站商家需要购买的DVD数量转化为商家的利润，这样网站获得的利润和DVD之间就有一个关系，同时，将满意度也和网站的利润联系起来，建立一种关系。此过程中利用SPSS软件对数据进行标准化处理和加权处理。具体方法见4.3问题3的模型与求解。3.4问题4显然该问题是一个开放性的问题，我们如果是网站DVD租赁公司的管理人员和决策者，在DVD的需求预测、购买和分配中肯定还有很多问题需要解决。我们可以结合前三个问题，提出很多可能会影响DVD租赁公司收益和会员满意度的因素，结合自己的看法，我们认为DVD租赁公司在实际运营过程中可以考虑一下四种策略或者方法：一，建立诚信制度，记录会员是否及时归还DVD，或者会员是否损坏DVD；二，建立预测制度，由DVD租赁公司内部人员通过分析会员历史租赁记录，来预测哪些会员可能会借哪些种类的DVD；三，DVD运营者把握好短期利润和长期利润的平衡度，在考虑会员满意度的情况下，合理获取利益；四，采取多次购买的方法来购买DVD，节省成本，尽量兼顾到会员的满意度。具体方法见4.4问题4的模型与分析。4模型的建立及求解4.1问题1的模型与求解对于问题1的第一小问，由于该问题中n=100000,相比较而言，符合比较大的条件，因此，我们可以近似认为希望看到某种DVD会员的数量服从正态分布ξ～N(np,npq)。假设租出的DVD返还率在总体上相对稳定，那么40%的会员每天有1/30的归还概率，60%的会员每天有1/15的归还概率，所以每张DVD每个月的实际使用次数为变量定义：参考部分数理统计知识（见参考文献[1]），由ξ～N(np,npq)，q=1-p，可知通常取置信区水平为于是有得到由题意可知P=50，n=100000;;为保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD，将p=0.2,q=0.8;p=0.1,q=0.9;p=0.05,q=0.95;p=0.025,q=0.975;p=0.01,q=0.99分别代入上式，可得这五种DVD至少应该准备的数量入下表所示：表5五种DVD至少应该准备的数量DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5至少准备数量（张）632731821604811331同理，第二小问也可依据此模型来解决，此时，每张DVD三个月的实际使用次数为此时其中P=95，n=100000;；为保证希望看到该DVD的会员中至少95%能在3个月内能够看到该DVD，将p=0.2,q=0.8;p=0.1,q=0.9;p=0.05,q=0.95;p=0.025,q=0.975;p=0.01,q=0.99分别代入上式，可得这五种DVD至少应该准备的数量入下表所示：表6五种DVD至少应该准备的数量DVD名称DVD1DVD2DVD3DVD4DVD5至少准备数量（张）4007201610165142104.2问题2的模型与求解问题2是一个典型的优化设计问题，主要目的是如何把现有的DVD合理的分配给会员，以达到会员对DVD分配的最大满意度。分配问题最常用的方法是0-1型整数规划。在具体使用前，还需要将每个会员对不同DVD的偏爱度转化为满意度。因为我们的目标是使总体满意度最大。从表2中可以看到：会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中，通过观察我们用一个大于9的固定数值来减偏爱数,把这个差值作为满意度，定义Z为总满意度，那么求得maxZ的值越大，即表示会员越满意。变量定义：所有会员满意度总和为：我们的目标就是求出其最大值，由题意我们可以建立以下优化模型，求出Z的最大值。建立次模型以后，运用LINGO编程求解，可求得最大满意度为maxZ=30000，此时前30为位会员的DVD分配情况如下表：表7前30位会员的DVD分配情况会员租赁的DVD编号会员租赁的DVD编号会员租赁的DVD编号C0001DVD10,DVD53,DVD95C0011DVD86,DVD68,DVD23C0021DVD96,DVD97,DVD29C0002DVD1,DVD55,DVD92C0012DVD85,DVD24,DVD14C0022DVD98,DVD78,DVD51C0003DVD25,DVD59,DVD78C0013DVD54,DVD35,DVD19C0023DVD72,DVD23,DVD20C0004DVD34,DVD37,DVD66C0014DVD62,DVD37,DVD5C0024DVD91,DVD26,DVD18C0005DVD26,DVD45,DVD89C0015DVD63,DVD60,DVD41C0025DVD95,DVD66,DVD55C0006DVD93,DVD90,DVD39C0016DVD100,DVD50,DVD30C0026DVD70,DVD31,DVD12C0007DVD85,DVD64,DVD38C0017DVD87,DVD71,DVD9C0027DVD61,DVD52,DVD14C0008DVD81,DVD41,DVD6C0018DVD64,DVD48,DVD22C0028DVD89,DVD80,DVD50C0009DVD91,DVD11,DVD20C0019DVD78,DVD16,DVD7C0029DVD85,DVD73,DVD51C0010DVD69,DVD21,DVD2C0020DVD97,DVD72,DVD3C0030DVD83,DVD66,DVD30注：具体结果由LINGO程序运行可得，程序见附录。经分析可知，此种模型下该种分配比较合理，既了满足大部分会员的需求，又为DVD租赁公司带来了方便。另外，还有其他两种改进模型，将上述模型中的约束条件：改为：的时候，即每个会员可以得到0,1,2,3张DVD，该种情况下求得的最大满意度仍为maxZ=30000;若将该约束条件改为：此时，每个会员必须得到3张DVD，该情况下的最大满意度仍为maxZ=30000。因此该条件为一个松约束条件，对目标函数没有约束性。4.3问题3的模型与求解对于该问题，我们把DVD购买数量通过标准化以后再加权与网站所得利润联系起来，把DVD购买的数量标准化后再加权和会员满意度联系起来。变量定义：y1表示满意度；Z标准化以后的DVD需求数；Zy1标准化以后的满意度；从表2可知，由于DVD偏爱程度越高，网站分配DVD时越不容易满足会员，DVD偏爱程度越小，越容易满足会员，因此我们把对每个DVD的偏爱程度之和求出来，再乘以-1，这样得出的结果就可以用来表示满意度了，再对这些数据标准化处理，然后采用常用的三、七比例进行加权处理，运用SPSS标准化和加权处理的结果如下表所述：表8原始数据、标准化处理的数据：DVD种类需求量（原始数据）偏爱程度（原始数据）满意度y1标准化以后的需求数Z标准化以后的满意度Zy1DVD184.00433.00-433.00-1.06940.0878DVD292.00418.00-418.00-0.19010.4160DVD387.00373.00-373.00-0.73961.4009DVD499.00429.00-429.000.57920.1753DVD578.00363.00-363.00-1.72881.6197DVD687.00409.00-409.00-0.73970.6130DVD787.00377.00-377.00-0.73971.3133DVD8100.00462.00-462.000.6891-0.5469DVD993.00424.00-424.00-0.80230.2847DVD1090.00434.00-434.00-0.40100.0659DVD1195.00438.00-438.000.1396-0.0217DVD1297.00446.00-446.000.3594-0.1968DVD1385.00410.00-410.00-0.96000.5911DVD14102.00500.00-500.000.9100-1.3786DVD1584.00384.00-384.00-1.06941.1601DVD1694.00394.00-394.000.02970.9413DVD17102.00491.00-491.000.9089-1.1816DVD1891.00429.00-429.00-0.30010.1753DVD19100.00466.00-466.000.6891-0.6345DVD20116.00530.00-530.002.4476-2.0351DVD2196.00419.00-419.000.24950.3942DVD22101.00492.00-492.000.7990-1.2035DVD23109.00515.00-515.001.6783-1.7068DVD2493.00456.00-456.00-0.8023-0.4156DVD2589.00391.00-391.00-0.51991.0069DVD26101.00481.00-481.000.7990-0.9627DVD2787.00413.00-413.00-0.73970.5255DVD2883.00396.00-396.00-1.17930.8975DVD2997.00500.00-500.000.3594-1.3786DVD3097.00437.00-437.000.35940.0002DVD31100.00444.00-444.000.6891-0.1530DVD3287.00367.00-367.00-0.73971.5322DVD3391.00403.00-403.00-0.30000.7443DVD3482.00380.00-380.00-1.28921.2477DVD35109.00474.00-474.001.6783-0.8095DVD3697.00439.00-439.000.3594-0.4355DVD3791.00415.00-415.00-0.30000.4817DVD3894.00438.00-438.000.2967-0.0217DVD3987.00405.00-405.00-0.73970.7006DVD4087.00414.00-414.00-0.73970.5036DVD41119.00498.00-498.002.7773-1.3348DVD42104.00487.00-487.001.1287-1.0941DVD4393.00439.00-439.00-0.0802-0.0436DVD4490.00413.00-413.00-0.41000.5255DVD45106.00485.00-485.001.3486-1.0503DVD4694.00489.00-489.000.0297-1.1378DVD4794.00421.00-421.000.02970.3504DVD4888.00444.00-444.00-0.6298-0.1530DVD4991.00408.00-408.00-0.30000.6349DVD5094.00409.00-409.00-0.19670.6130DVD51107.00481.00-481.001.4585-0.9627DVD5291.00435.00-435.00-0.30000.4400DVD5398.00444.00-444.000.4693-0.1530DVD5492.00463.00-463.00-0.1901-0.5688DVD5597.00464.00-464.000.3594-0.5907DVD5699.00459.00-459.000.5792-0.4813DVD57108.00552.00-552.001.5684-2.5166DVD5877.00349.00-349.00-1.83871.9261DVD5985.00353.00-353.00-0.95951.8386DVD60103.00469.00-469.001.0188-0.7001DVD6194.00455.00-455.000.0297-0.3937DVD62103.00495.00-495.001.0188-1.2691DVD63105.00517.00-517.001.2387-1.7506DVD64108.00470.00-470.001.5684-0.7220DVD6598.00413.00-413.000.46930.5255DVD66105.00492.00-492.001.2387-1.2035DVD6790.00415.00-415.00-0.41000.4817DVD6896.00411.00-411.000.24950.5692DVD69105.00467.00-467.001.2387-0.6663DVD70101.00486.00-486.000.7990-1.0722DVD7195.00448.00-448.000.1396-0.2405DVD72106.00507.00-507.001.3486-1.5318DVD7385.00424.00-424.00-0.95950.2847DVD7482.00355.00-355.00-1.28921.7948DVD7590.00399.00-399.00-0.41000.8319DVD7686.00411.00-411.00-0.84960.5692DVD7788.00480.00-480.00-0.6298-0.9409DVD7889.00478.00-478.000.5792-0.8971DVD7982.00348.00-348.00-1.28921.9480DVD8098.00475.00-475.000.4693-0.8314DVD8199.00476.00-476.000.5792-0.8533DVD8277.00384.00-384.00-1.83881.1601DVD8372.00376.00-376.00-2.38821.3352DVD8484.00428.00-428.00-1.06930.1972DVD8590.00417.00-417.00-0.41000.4379DVD8678.00393.00-393.00-1.72880.9632DVD8795.00435.00-435.000.13960.0440DVD8873.00300.00-300.00-2.27842.9985DVD8994.00449.00-449.000.0297-0.2624DVD9098.00473.00-473.000.4693-0.7877DVD91107.00483.00-483.001.4584-1.0065DVD9294.00432.00-432.000.0297-0.1097DVD9393.00480.00-480.00-0.0802-0.9409DVD9490.00429.00-429.00-0.41000.1753DVD95102.00466.00-466.000.9090-0.6345DVD9678.00378.00-378.00-1.72881.2915DVD9795.00458.00-458.000.1396-0.4594DVD98101.00456.00-456.000.7990-0.4156DVD9980.00413.00-413.00-1.50900.5255DVD10086.00378.00-378.00-0.84961.2915（注：SPSS运行结果见附录）由于在考虑会员满意度时，网站所得利润和需要购买DVD的数量之间存在矛盾，对于到底是优先考虑网站利润还是优先考虑会员满意度，在这两种情况下需要购买的DVD数量应该不一样，这三者之间存在密切关系，于是我们对这两个影响会员满意度的因素进行加权处理，我们按照以下方式加权处理：利润较大=0.7*Z需要数+0.3*Zy1.满意度较大=0.3*Z需要数+0.7*Zy1.将加权处理以后的利润和满意度单独列出来，如表9所示：表9加权以后的利润和满足满意度的值利润满意度利润满意度利润满意度利润满意度-0.72-0.260.27-0.430.73-0.24-0.420.14-0.010.23-0.360.15-0.2-0.06-0.72-0.85-0.10.76-0.560.270.280.030.14-0.450.460.3-0.16-0.86-0.3-0.46-0.320.98-0.720.67-0.310.08-0.44-0.330.210.440.10.26-0.160.15-0.42-0.120.7-0.060.850.34-1.29-0.940.260.32-0.180.010.43-0.710.8-1.270.220.030.18-0.530.49-0.121-0.69-0.18-0.27-0.080.93-0.060.5-0.18-90.030.240.08-0.1-0.27-0.920.160.19-0.03-0.070.250.33-0.580.110.07-0.490.130.01-0.010.34-0.85-0.71.420.22-0.69-0.310.270.88-0.03-0.06-0.17-0.40.49-0.370.130.490.510.09-0.410.30.671.54-0.10.51-0.470.72-0.270.28-0.550.46-0.43-50.09-0.160.03-0.07-0.050.350.47-0.34-0.680.29-0.24-7-0.09-0.2301.1-0.690.63-0.330.24-0.510.45-0.170.290.35-0.32-0.790.03-0.13-0.820.390.2-50.48-0.67-0.04-0.280.66-0.69-0.49-0.3-0.59-0.090.43-0.05-0.18-0.31-0.020.35-0.360.87-0.9-0.08-0.060.550.20.44-0.040.46-0.210.65于是我们可以根据表9的数据画出利润较大时，所需购买DVD的数量的一个大致情况，如图1所示；也可以画出满意度较大时DVD所需购买的DVD数量，如图2所示。图1图2通过比较，我们可以发现这两个因素对DVD的购买数量的影响明显不一样。依据题意，我们应当优先考虑会员对DVD的满意度，由问题二知道，目标是使所有会员满意度总和达到最大，而且每种DVD数量是固定的，但问题三中DVD的购买量是自己定的，因此设置一个新的变量表示当前需要购买DVDj的数量，表示需要购买DVD数量的总和，而且从盈利角度考虑总的购买数量越小越好。所以我们可以将目标函数定如下：根据题意，我们建立以下规划模型:运用LINGO编程求解可得每种DVD需要购买的数量，如表10所示：表10100种DVD的购买数量DVD编号DVD数量（张）DVD编号DVD数量（张）DVD编号DVD数量（张）DVD编号DVD数量（张）DVD150DVD2660DVD5164DVD7652DVD255DVD2752DVD5255DVD7753DVD352DVD2850DVD5359DVD7859DVD459DVD2958DVD5455DVD7949DVD547DVD3058DVD5558DVD8059DVD652DVD3160DVD5659DVD8159DVD752DVD3252DVD5765DVD8246DVD860DVD3355DVD5846DVD8343DVD956DVD3449DVD5951DVD8450DVD1054DVD3565DVD6052DVD8554DVD1157DVD3658DVD6156DVD8647DVD1258DVD3755DVD6262DVD8757DVD1351DVD3856DVD6363DVD8844DVD1461DVD3952DVD6465DVD8956DVD1550DVD4052DVD6559DVD9059DVD1656DVD4171DVD6663DVD9164DVD1761DVD4262DVD6754DVD9256DVD1855DVD4356DVD6857DVD9356DVD1960DVD4454DVD6963DVD9454DVD2069DVD4563DVD7060DVD9561DVD2157DVD4656DVD7157DVD9647DVD2260DVD4756DVD7263DVD9757DVD2365DVD4853DVD7351DVD9860DVD2456DVD4955DVD7449DVD9948DVD2553DVD5056DVD7554DVD10052运用LINGO求得每种DVD的分配方法如下表（取前30位会员的分配情况）：表11前30位会员的DVD分配情况会员租赁的DVD编号会员租赁的DVD编号会员租赁的DVD编号C0001DVD46,DVD47,DVD48C0011DVD44,DVD45,DVD46C0021DVD47,DVD48,DVD49C0002DVD46，DVD47,DVD48C0012DVD45,DVD46,DVD48C0022DVD47,DVD48,DVD49C0003DVD45,DVD47,DVD48C0013DVD45,DVD46,DVD47C0023DVD46,DVD47,DVD48C0004DVD46,DVD47,DVD48C0014DVD44,DVD55,DVD46C0024DVD47,DVD48,DVD49C0005DVD45,DVD46,DVD47C0015DVD46,DVD45,DVD48C0025DVD48,DVD49,DVD50C0006DVD45,DVD46,DVD48C0016DVD46,DVD47,DVD48C0026DVD47,DVD48,DVD49C0007DVD46,DVD47,DVD48C0017DVD46,DVD47,DVD47C0027DVD47,DVD49,DVD50C0008DVD45,DVD46,DVD47C0018DVD46,DVD47,DVD48C0028DVD48,DVD49,DVD50C0009DVD45,DVD47,DVD48C0019DVD47,DVD48,DVD49C0029DVD47,DVD49,DVD50C0010DVD46,DVD47,DVD47C0020DVD46,DVD47，DVD49C0030DVD48,DVD49,DVD50由程序运行结果可知，此时购买的DVD总数为5612张，最大满意度maxZ=24388.00。由此结果可知，在此情况下，网站花费的成本比较小，而且又最大限度地满足了会员的需求。（注：以上数据由代码二代码三运行得出，代码见附录）以上分析只考虑了第一次如何分配，但实际中有60%的会员可能会进行第二次分配，由于事件的随机性比较大，我们用软件随机产生1~1000之间的600个数（具体见附录代码四），以此当做那实际中60%的会员。再从表2中随机提取出这600个会员对DVD的订单情况进行分析，以为了更好的满足会员的需求。具体操作见附录代码四和代码五及其运行结果。由上面所用的方法，由于第一次分配下去后，还有DVD没有分配完，对剩下的DVD进行建模处理，所建模型和问题2用到的模型一致，最终我们得到了二次分配的每种DVD数量和部分会员的DVD分配情况，如下表所示。表11二次分配100种DVD的剩余数量DVD编号DVD数量（张）DVD编号DVD数量（张）DVD编号DVD数量（张）DVD编号DVD数量（张）DVD140DVD2636DVD5152DVD7640DVD243DVD2740DVD5243DVD7741DVD340DVD2838DVD5349DVD7845DVD447DVD2946DVD5443DVD7937DVD533DVD3048DVD5546DVD8047DVD640DVD3148DVD5645DVD8149DVD740DVD3240DVD5753DVD8234DVD846DVD3345DVD5834DVD8331DVD944DVD3437DVD5937DVD8440DVD1042DVD3553DVD6050DVD8542DVD1141DVD3646DVD6145DVD8635DVD1246DVD3743DVD6250DVD8745DVD1339DVD3844DVD6351DVD8832DVD1447DVD3942DVD6455DVD8942DVD1538DVD4040DVD6547DVD9047DVD1644DVD4159DVD6651DVD9152DVD1749DVD4250DVD6742DVD9244DVD1845DVD4344DVD6841DVD9344DVD1948DVD4442DVD6951DVD9442DVD2052DVD4551DVD7048DVD9549DVD2147DVD4644DVD7143DVD9635DVD2248DVD4744DVD7251DVD9745DVD2351DVD4841DVD7341DVD9848DVD2440DVD4947DVD7437DVD9936DVD2541DVD5044DVD7544DVD10038运用第二问的模型，用LINGO编程得出部分会员的DVD分配情况如下表所示：表12二次分配部分会员的DVD分配情况（取30位会员）会员租赁的DVD编号会员租赁的DVD编号会员租赁的DVD编号C0224DVD58,DVD59,DVD60C0719DVD57,DVD58,DVD60C0664DVD60,DVD61,DVD62C0402DVD58，DVD59,DVD60C0732DVD58,DVD59,DVD60C0193DVD60,DVD61,DVD62C0126DVD58,DVD59,DVD60C0613DVD59,DVD60,DVD61C0541DVD60,DVD61,DVD62C0758DVD58,DVD59,DVD60C0301DVD59,DVD60,DVD61C0706DVD60,DVD61,DVD62C0012DVD58,DVD59,DVD60C0377DVD59,DVD60,DVD61C0833DVD58,DVD59,DVD62C0044DVD58,DVD59,DVD60C0765DVD60,DVD61,DVD62C0137DVD60,DVD61,DVD62C0625DVD58,DVD59,DVD60C0861DVD59,DVD61,DVD62C0221DVD59,DVD61,DVD62C0907DVD58,DVD59,DVD60C0070DVD60,DVD61,DVD62C0841DVD61,DVD62,DVD63C0793DVD58,DVD59,DVD60C0804DVD59,DVD60,DVD62C0152DVD61,DVD62,DVD63C0419DVD57,DVD58,DVD59C0987DVD60,DVD61，DVD62C0791DVD60,DVD61,DVD63注：此数据由代码五运行得出。这样第二次分配达到的最大满意度maxZ=18000,由于第一次已经让95%的会员看到了想看的DVD，因此我们在此对第二次分配进行分析，能更好的保证让更多的会员看到想看的DVD。4.4问题4的模型与求解对于该问题，我们通过查阅有关DVD租赁公司的运营情况，发现了一些值得解决的问题。Netflix是美国最大对的DVD在线租赁公司，通过对netflix租赁公司的运营情况进行分析，我们发现以下几种营销方法和策略可能会对DVD租赁产生一些重要的影响。一，建议DVD租赁公司建立会员诚信度制度，其意思是说：对于那些爱惜DVD，在租赁观看过程中保护好DVD，不损坏DVD，或者及时归还DVD的会员，DVD租赁网站可以记录其长期的租赁历史记录，给予这样的会员诚信度高的评价，同样对其他会员也记录其长期租赁的历史记录，这样每个会员都有自己的租赁诚信度，由于实际情况，肯定有一部分会员的诚信度比较低，我们知道，诚信度低的会员可能会对DVD租赁公司的营业利润造成一定的不良影响，于是我们给予诚信度高的会员一些优惠待遇，可以让诚信度高的会员每个月多租赁几次，或者减少对其收费，以这样的方式来吸引顾客。二，通过我们查阅netflix租赁公司的运营资料（见参考网站），我们发现这样一个可以值得参考的建议，租赁网站组织内部人员，对会员的租赁情况进行预测，这样的预测是建立在对会员长期租赁记录的分析上预测的，具有非常高的精确性和可靠性，顾客需求的DVD中的75%能被公司准确预测到，其预测方法已十分成熟。一般只要分析会员之前租赁了什么样的DVD，就可以大致知道该会员经常会租赁那种DVD，这样网站就可以统计出这些数据，提前大致了解一下哪些DVD在写一次租赁的时候被租出去的可能性比较大。这样DVD租赁公司就可以提前准备好这些DVD，减少其租赁策略的盲目性，最终减少成本，增加利润，同样还会增加会员对DVD分配的满意度。三，DVD租赁网站的运营管理者可以实行“多次少量购买”的策略，意思就是说不要一次就把所有需求的各种种类的DVD全部买回来，可以实行租多少买多少的方法，这样可以在一定的时间段内为公司的资金周转腾出更多资金，也可以节约成本，每次需要多少就买多少，这样更精确，能为DVD租赁公司节省很多不必要的花费。最终也达到增加DVD租赁公司利润的目的。四，把握好短期利润和长期利润相平衡，DVD租赁公司在实际运营操作中，不要只顾及一时的利润，为了节约成本，或者为了吸引顾客，只满足眼前的需求，不深入思考以后的利润。但是也不能盲目的只考虑长期利润，因为市场消费在变化，我们队以后的预测也不会那么准确。综上所述，DVD租赁公司如果考虑短期利润的话，就少购买点DVD，这样来满足会员的需求，虽然这样不一定能更好的满足会员的需求，但是租赁公司购买的DVD数量越少，其经营成本越低，长期下来也可以获得不错的利润，DVD租赁公司如果考虑长期利润，就多购买一些DVD，虽然暂时花费的成本比较高，但是从长远来考虑，这样的做法留住了会员，而且满意度还高，还会吸引更多的顾客，为DVD租赁公司带来更大的利润，这样也有利于DVD租赁公司的发展。综上所述，虽然这些方法和策略对DVD租赁公司的发展都有一定的好处，但是这些方法和策略在实际实施中会有一些互相制约，互相矛盾。为了更好的解决该问题，我们把这四种因素联系起来，它们一起决定了DVD租赁公司的运营情况，如下图所示：DVD租赁问题诚信制度平衡短期长期利润多次购买诚信制度平衡短期长期利润多次购买DVD公司预测公司成本公司成本会员满意度DVD租赁公司的利润DVD租赁公司的利润在实际运营中，DVD租赁公司可以根据已记录的数据，或者历史数据，依靠次模型来分析，决策出更好的运行方式。另外，在实际的DVD租赁过程中，租赁公司还可以在邮费的问题上进行优化改进，由题意知，会员最多只能租赁2次DVD，那么如果想要再租赁DVD的话，公司可以这样规定，如若再借，会员自行承担邮费，如果会员不愿意承担邮费，那么会员就等到下个月再租赁DVD了,如下图所示：会员租赁DVD第二次免邮第一次免邮第二次免邮第一次免邮第...第...次自付邮费次免邮第三次自付邮费第n次租借（n>3）第二次租借第n次租借（n>3）第二次租借第一次租借这样，在租借次数较多的情况下，会员自付邮费，也可以为租赁公司带来一定的收益。5模型评价5.1问题1的模型评价优点所建模型简单易懂，易于操作，与题目要求联系很大。用到了随机模拟，置信估计这两种经典的数学方法。缺点在解决第一个问题的时候，我们忽略了二次租赁的情况，这样会使得结果有所不准确，并且把该问题近似看成一个正态分布问题，再用置信估计的方法来建模解决问题，肯定会存在很多误差，我们在考虑需求量最大的情况下购买了DVD，这样买的DVD数量偏多，在实际中会影响商家的利润，使得网站的经营成本过高。5.2问题2的模型评价优点：所建模型可用相应软件工具来实现并解决问题，用LINGO进行优化处理，模型简单易懂，易于操作。缺点：对于此问题，我们自定义了一个最大满意度，只是简单得把会员订单中的DVD进行了相同差别的处理，无法表示出会员的真实满意度差别。虽然求得了最大满意度为多少，但是没有一个比较的标准，我们不好确定该种算法下的最大满意度是否为最佳值。再者，我们忽略了二次租赁，实际中那60%的会员肯能不会只借一次，很有可能借两次，而且什么时候借，什么时候还，都是不确定的。所以我们忽略了很多会影响结果的因素，最终导致得到的结果可能不是很准确。5.3问题3的模型评价优点：对问题进行了比较深入的分析，充分考虑到了二次分配可能对结果的影响，模型易于操作和实现。运用C程序解决部分问题。缺点缺乏对商业运作的了解，可能对一些因素考虑欠佳，对于一次分配和二次分配中的许多细节都是人为设置的，主观意识过于强烈。从软件运行的结果分析，每位会员都分配了3张DVD，这显然与实际不相符，最终得到的只是一个理想值，可能与实际生活中的DVD租赁问题存在很多不同。5.4问题4的模型评价优点：比较充分的发挥了我们的想象力，考虑了很多可能会影响公司收益的因素，给出了各种因素对收益的影响做了具体的分析。总而言之，考虑的比较全面，有一定的实用价值。缺点：对于此模型，我们主观意识太强，缺乏对市场经济活动的了解，有些建议或者策略可能在实际中不能应用，模型的可靠性不是很强。6.模型推广本文中针对各问题建立的模型可以应用推广于解决其它类似问题，首先，我们所建的模型对于实际中的DVD租赁公司可以提供一些参考，为DVD公司租赁DVD提供了一些意见和策略，其次我们的模型还可以用于其他分配问题，比如城市公共自行车租借问题，商场进货问题，景点门票订购出售问题。总之，我们的模型可以广泛用于市场经济中的企业管理，企业运行等市场经济活动之中。参考文献：[1]吴赣昌.概率论与数理统计(理工类.第四版).人民大学出版社,2011年。[2]司守奎，孙玺菁，张德存，周刚，韩庆龙.数学建模算法与应用习题解答.国防工业出版社，2013年。[3]袁新生，邵大宏，郁时炼.LINGO和Excel在数学建模中的应用.科学出版社，2007年。参考网站：[1]/mcm05/problems2005c.asp[2]/300/12685300.shtml[3]/innobase/i-6307.html[4]/allnews/200912/t20091231_505833209.html附件（程序）1代码一（LINGO程序）：model:sets:n/1..1000/:y;m/1..100/:c;link(n,m):a,x;endsetsdata:a=@file('C:\Users\gongfei\Desktop\dvddata.txt');c=@file('C:\Users\gongfei\Desktop\dvd.txt');enddatamax=@sum(link(i,j):(10-a(i,j))*x(i,j));@for(link:@bin(x));@for(n:@bin(y));@for(m(j):@sum(n(i):x(i,j))<c(j));@for(n(i):@sum(m(j):x(i,j))<3*y(i));End代码一部分运行结果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:30000.00Objectivebound:30000.00Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:89633ModelClass:PILPTotalvariables:101000Nonlinearvariables:0Integervariables:101000Totalconstraints:1101Nonlinearconstraints:0Totalnonzeros:300418Nonlinearnonzeros:02SPSS运行结果GETFILE='C:\Users\gongfei\Desktop\大散文\123.sav'.DATASETNAME数据集1WINDOW=FRONT.COMPUTE利润较大=0.7*Z需要数+0.3*Zy1.EXECUTE.COMPUTE满意度较大=0.3*Z需要数+0.7*Zy1.EXECUTE.3代码二（LINGO程序）：model:sets:n/1..1000/:y;m/1..100/:d,p;link(n,m):a,x;endsetsdata:a=@file('C:\Users\gongfei\Desktop\dvddata.txt');p=@file('C:\Users\gongfei\Desktop\dvddata1.txt');enddatamax=@sum(link(i,j):(10-a(i,j))*x(i,j))-@sum(m:d);@for(link:@bin(x));@for(n:@bin(y));@for(m:@gin(d));@for(n(i):@sum(m(j):x(i,j))<3*y(i));@for(m(j):d(j)*1.6>950*0.001*p(j));@for(m(j):d(j)>=0);end代码二部分运行结果：Globaloptimalsolutionfound.Objectivevalue:24388.00Objectivebound:24388.00Infeasibilities:0.000000Extendedsolversteps:0Totalsolveriterations:0ModelCl