初中人教版数学八年级下册《17.1勾股定理》

《17.1勾股定理》

♦教材分析

IJ

本课从观察网格中的正方形面积关系出发，发现了等腰直角三角形三边之间的数量关系,

再通过观察网格中以一般直角三角形的三边为边长的正方形面积关系，发现网格中的一般直

角三角形也具有这种三边长的数量关系，从而提出猜想，直角三角形两直角边的平方和等于

斜边平方，介绍了赵爽的证明方法.学习应用勾股定理进行直角三角形的边长计算，解决一

些简单的实际问题.运用勾股定理证明了直角三角形全等的HL判定定理,从中进一步确认，

一个直角三角形中，只要两边的大小确定，则这个三角形就形状大小就确定了.运用勾股定

理，通过作直角三角形，画出了长度为无理数的线段，并学习在数轴上画出无理数表示的点

的方法.

♦教学目标

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力，培养学生的数学抽象和数学与推理。

3.介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。

4.能从实际问题中抽象出直角三角形这一几何模型，利用勾股定理建立已知边与未知边之

间长度的联系，进而求出未知边长解决实际问题，培养学生的建模思想.

5.通过勾股定理建立已知边和未知边之间的关系列出方程解决实际问题,培养学生的方程

思想.

6.能用勾股定理证明直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理；

7.能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；

8.体会勾股定理在数学中的地位和作用.

♦教学重难点

1.探索并证明勾股定理

2.如何利用或构造直角三角形利用勾股定理解决问题

3.用勾股定理作出长度为无理数的线段

♦课前准备

课件，收集关于勾股定理的有关史料、趣事及其证明方法.

♦教学过程

第一课时

一、复习导入：

1.国际数学家大会是最高水平的全球性数学科学学术会议.2002年在北京召开了第24

届国际数学家大会,如图就是大会的会徽的图案.它与数学中著名的勾股定理有着密切关系.

本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题.由此

可以加深对直角三角形的认识.

6

2.相传2500多年前，毕达哥拉斯有一次在朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地

面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们也来观察一下地面的图案，看看能从中

发现什么数量关系？

二、新课讲解：

1.探究勾股定理：

问题1：下图中三个正方形的面积有什么关系？三个正方形中间的等腰直角三角形三边

之间有什么关系？

教师引导学生通过观察组成小正方形和大正方形中等腰直角三角形的个数，发现以等腰

直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积之和，等于以斜边为边长的大正方形的面积.

即等腰直角三角形三边关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.

【设计意图】从等腰直角三角形入手，容易发现数量关系.结合毕达哥拉斯的传说故事，可

以提高学生学习的兴趣，另外其中的图案对学生发现规律也有一定的提示作用.

问题2：下图中，每个小方格的面积均为1,请分别算出图中正方形A,B,C,A',B',C'

的面积，看看能得出什么结论.

学生求C和C'面积遇到困难时，可提示用某个正方形的面积减去4个直角三角形的面

积.

由SA=,SB=»Sc-,故SA+SIISC;

由S#—,SB'—,Sc"-,故SA'+SB-Sc'.

直角三角形三边关系：斜边的平方等于两直角边的平方和.

【设计意图】通过两个一般直角三角形的探究，也得到了相同的数量关系，从而发现了勾股

定理.

问题3：根据前面的例子，请对直角三角形的三边关系，做出你的猜想：

命题1如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么£+3=/

A

我国古人赵爽证法（赵爽弦图），四个全等的直角三角形（红色）可以如图围成一个大

正方形，中空的部分是一个小正方形（黄色）.

B

赵爽证法：把边长为a,b的两个正方形连在一起（图1）,它的面积是a?+b2；另一方

面，这个图形可分割成四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）.把图（1）中

左、右两个三角形移到图（2）所示的位置，它就形成了一个以c为边长的正方形，因为图

（1）与图（2）都由四个全等的直角三角形（红色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们

的面积相等.因此，a2+b2=c2.

证明方法2：赵爽弦图还可用面积法来证明勾股定理，首先以AB为边的大正方形的面积

是C?,而这个大正方形又由直角边为a,b的四个全等的直角三角形和一个边长为（b-a）的

小正方形组成，即面积为4X—ab+（b-a）2=a2+b2,故a?+b2=c2.

2

2.勾股定理的应用:

练习1.求出图中字母所代表的正方形的面积.

80

225

A24

144

练习2.如图，所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A,B,C,D的

边长分别是12,16,9,12.

练习3.求下列直角三角形中未知边的长度.

三、课堂小结:

1.如果直角三角形两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.即直角三角形两

直角边长的平方和等于斜边长的平方.

2.注意事项:

(D注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形.

(2)注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错.

(3)注意勾股定理公式的变形:在直角三角形中，已知任意两边长,可求第三边长,即

c—y/a2+b~,b—V?-a2,a-Vc2-b2.

四、课堂扩展：勾股定理的证明

2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣.不但因为这个定理重要、基本，还因为

这个定理贴近人们的生活实践.以至于古往今来，下至平民百姓，上至帝王总裁都愿意探讨、

研究它的证明，新的证法不断出现.下面介绍几种用来证明勾股定理的图形，你能根据这些

图形及提示证明勾股定理吗？

1.传说中毕达哥拉斯的证法：

提示：两个图形中的正方形面积相等.

2.总统政法：

提示：3个三角形的面积之和=梯形的面积.

第二课时

一、知识回顾：

1.直角三角形性质:

如图，在AABC中，已知NC=90°,则NA和NB的关系为：；a,b为

直角边，c为斜边，三边关系为；a,b,c,h之间的关系式为。

A

2.已知在Rtz\ABC中，ZC=90",a、b、c是AABC的三边，则

c=(已知a、b,求c)；a=(已知b、c,求a)；

b=(已知a、c,求b)

3.(1)在RtaABC,ZC=90°,a=3,b=4,则c=。

(2)在RtZkABC,ZC=90°,a=6,c=8,则b=。

(3)在RtZ\ABC,ZC=90°,b=12,c=13,贝Ua=。

【设计意图】通过复习勾股定理，进一步复习直角三角形中三边关系，从而为后面研究

实际问题提供知识保证。

二、新课讲解：

问题1：

例1一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过？为

什么？

分析：此题可看出，木板横着或竖着都不能通过门框，只能试试斜着能否通过.而门框

对角线AC的长度是斜着能通过的最大长度，所以求出AC,再与木板的宽进行比较，就将此

实际问题转化为已知直角三角形的两直角边，求斜边的问题，利用勾股定理轻松求解.

实际问题匚＞数学模型

解：在RtZ\ABC中，根据勾股定理,

AC2=AB2+BC2=l2+22=5.

AAC=V5«2.24.

•••AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.

【设计意图】将实际问题转化为数学问题，建立几何模型，画出几何图形，分析已知量、待

求量，让学生掌握解决实际问题的一般套路.

练习1：如图，一架2.6米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙A0上，这时A0为2.4米.

(1)求梯子的底端B距墙角0多少米？

(2)如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5米，那么梯子底端B也外移0.5米吗？

解：可以看出，BD=0D-0B.

在RtZXAOB中，根据勾股定理，08=彳万二万不=收萍与不=1；

在RtZXCOD中，根据勾股定理，0D=J。］-OC?=J26—(2.4—0.5)2=13.15=1.77；

BD=OD-OB^1.77-1=0.77.

答：梯子的顶端沿墙下滑0.5m时，梯子底端外移约0.77m.

问题2：

例2池塘中有一株荷花的茎长为0A,无风时露出水面部分CA=O.4米，如果把这株荷花旁边

拉至使它的顶端A恰好到达池塘的水面B处，此时荷花顶端离原来位置的距离BC=1.2米，

求这颗荷花的茎长0A.

解：如图，已知AC=0.4m,BC=1.2m,Z0CB=90°

设OA=OB=x,则OC=OA-AC=(x-0.4)m

在RtAOBC中，由勾股定理可知OC2+BC2=0B2

A(x-0.4)2+1.22=x2

解得，x=2

答：荷花的茎长OA等于2m.

【设计意图】将实际问题转化为数学问题，如果不能直接用已知线段求待求线段时，应想到

设未知数列方程，这里勾股定理是常用列方程的方法.

练习2：如图，一棵树被台风吹折断后，树顶端落在离底端3米处，测得折断后长的一截比

短的一截长1米，你能计算树折断前的高度吗？

根据题意画出图形，已知/ACB=90°,AC=3,AB-BC=1.

设BC=x,则AB=BC+l=x+l.

在RtZXABC中，根据勾股定理得，AC2+BC2=AB2

A32+x2=(x+l)2

解得，x=4.

AB+BC=3+5=8m.

答：树折断前的高度为8m.

【点拨】此题中能将实际问题的条件转化为数学问题是解题的关键.

问题3：

例3科技改变生活，手机导航极大方便了人们的出行，如图，小明一家自驾到古镇C游玩，

到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60。方向行驶4千米至B地，再沿北偏东45°方向

行驶一段距离到达古镇C,小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B,C两地的距离.

在RtZiABD中，VZBAD=60°,

/.ZABD=90°-ZBAD=30°,

1

AD=—AB=2km.

2

BD=JAB2-AD2=2V3km.

在RtZ\BCD中，VZDBC=45",

.,.CD=BD=2-V3km.

BC=V-CD2-2A/6km.

答：B,C两地的距离为2j^km.

练习3：如图所示，两艘货船分别从点A出发离开码头，甲船以16海里/时的速度向北偏东

60。的方向行驶，乙船以12海里/时的速度向南偏东30。的方向行驶，若两船同时出发，2

小时后两船相距多远？

解：

根据题意可得NBAC=90o,根=16x2=32海里,AC=12x2=24海里,

根据勾股定理可得

BC=ylABP+AC2=A/322+242=40.

...2小时后两船相距40海里.

问题4：如图所示，C城市在A城市正东方向，现计划在A、C两城市间修建一条高速公路（即

线段AC）,经测量，森林保护区的中心P在A城市的北偏东60°方向上，在线段AC上距A

城市120km的B处测得P在北偏东30°方向上，已知森林保护区是以点P为圆心，100km

为半径的圆形区域，请问计划修建的这条高速公路是否穿越保护区，为什么？（参考数据6

31.73）

【分析】此题中，过P点作AB的垂线，由垂线段最短可知，P点是直线AB上所有点的连线

中DP最短，也就是公路上D点离P最近，如果此时DP<100km,则D点在保护区内，即公

路穿越了保护区；反之，则不会穿越保护区.

解：公路不会穿越保护区，理由如下：

过P作PD1AC于D,

在RtaBDP中,VZPBD=60°,

AZBPD=900-ZPBD=30°,

.,.PB=2BD,

设BD=x,则PB=2x,

PD=dBP?-BD?=73x.

VZPBD=ZA+ZAPB,

AZAPB=ZPBD-ZA=30°,

.*.ZA=ZAPB,

；.PB=AB=120km,

.*.2x=120

解得，x=60.

PD=V3x=6073^103.8km>100km.

，这条公路不会穿过保护区.

练习4：如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位

置）就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来

多长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在

这条路上通行吗？

过点A作AC±BD于点C,

•••由题意得AC=9,AB=AD=41,AC±BD,

RtAACB中，BC=,412一92=4()01,

VAB=AD,AC1BI),

；.BD=2BC=80m,

.*.804-4=20(s),

受影响时间为20s；

V20<25,

；•可以通行.

三、课堂小结：

1.解决实际问题时，首先要将实际问题转化为数学问题，即画出几何图形，明确已知

和未知，借助直角三角形勾股定理来解决问题.

2.有时需要先构造直角三角形，通过作垂线化非直角三角形为直角三角形来解决问

题.

第三课时

一、利用勾股定理证明“斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等”？

问题1:在八年级上册中，我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边分别相等

的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？

已知：如图，在RtZ\ABC和RtZkA'8'C'中，NC=/C'=90°,AB=A'B',AC=AC'.

求证：AABC丝△A'3'C'.

证明：在RtaABC和m△A'B'C'中，NC=NC'=90°,根据勾股定理，得

BCujG-AC5,B'C'^yjAB,2-AC'2.

又；AB=A⑻，AC=A'C',

：.BC=B'C'.

.,.△ABC丝△A'B'C'(SSS).

【反思】勾股定理是直角三角形三边的一种特殊的数量关系，利用这一关系确定任意两边，

第三边的长度也随之确定.

二、利用勾股定理画出一条线段等于已知长度为无理数的线段？

问题2：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表

示"5的点吗？

【分析】我们知道长为血的线段是两条直角边的长都为1的直角三角形的斜边，类似的长

为小的线段能够也构造一个直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？

解：以直角边长为2,3的直角三角形的斜边长为"5,由此在数轴上找出表示3的点A,过

A点作直线垂直于0A,并在垂线上截取AB=2,以原点0为圆心，0B为半径作弧，弧与数轴

交在原点右侧点C处，点C即为表示旧的点.如下图所示：

\加

/小

/:\

/11

0123

【拓展】

(1)类似地，利用勾股定理，可以作出长为“，72,、回，"，石•••的点,

如下图：

/：、・・•：*/.：'：：\

/孝肝胃\%

：\：：：•：；

・・♦・・・:•：：••：：：：：：.

而犷/ijjTj/iiQjGi■J---->

0123

(2)我们也可以用下图中的方式构造线段J5,V3,V4,亚…,如下图:

练习1:在数轴上画出表示坏的点.

【点拨】作一条长度等于无理数的线段的方法不唯一，如石，除了上题中构造直角边为1,2

的直角三角形，也可以借助直角边为拉，、回的直角三角形得到，我们一般尽量利用直角

边为整数的直角三角形作出.

练习2：在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长皆为1.请在网格上画出长度分

别为V