湖北省武汉市武昌区2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

武昌区2023~2024学年度高二年级期末质量检测数学命题单位：武昌区教研培训中心考试时间：2024年6月27日本试题卷共5页，共19题.满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A.B.C.D.2.在复平面内，复数对应的点关于直线对称，若，则（）A.B.C.-1D.13.已知向量满足，则在上的投影向量为（）A.B.C.D.4.现将六名学生排成一排，要求相邻，且不相邻，则不同的排列方式有A.144种B.240种C.120种D.72种5.已知角，点在直线上，则（）A.B.-1C.D.6.已知数列满足.若数列是公差为2的等差数列，则（）A.2022B.2023C.2024D.20257.摩天轮是一种大型转轮状的机械游乐设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色.某摩天轮等距离设置有60个座舱，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，转一周需要.已知在转动一周的过程中，座舱距离地面的高度关于时间（min）的函数关系式为若甲､乙两人的座舱之间有4个座舱，则甲､乙两人座舱高度差的最大值为（）A.B.C.D.8.如图，在棱长为2的正四面体中，分别为棱的中点，为线段的中点，球的球面正好经过点，则下列结论中正确的是（）A.B.球的的体积与四面体外接球的体积之比为C.直线与平面所成角的正弦值为D.球被平面截得的截面面积为二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.一组数据的第25百分位数为7B.若随机变量，且，则C.袋中装有除颜色外完全相同的4个红球和2个白球，从袋中不放回地依次抽取2个球，则第二次取到红球的概率为D.在对高二某班学生物理成绩的分层随机抽样调查中，抽取男生12人，其平均数为75，方差为；抽取女生8人，其平均数为70，方差为23，则这20名学生物理成绩的方差为3310.在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点必在同一个与椭圆同心的圆上，称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，且半径为.已知长方形的四条边均与椭圆相切，则下列说法正确的有（）A.椭圆的离心率为B.椭圆的“蒙日圆”的方程为C.长方形的面积的最大值为18D.若椭圆的上下顶点分别为，则其蒙日圆上存在两个点满足11.已知函数，则（）A.函数的一个周期为B.函数在区间上单调递增C.函数在区间上没有零点D.函数的最大值为1三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数为__________.（用数字填写答案）13.已知直线和，过动点作两直线的平行线，分别交于两点，其中点在第一象限，点在第四象限.若平行四边形（为坐标原点）的面积为3，记动点的轨迹为曲线，若曲线与直线有且仅有两个交点，则的取值范围为__________.14.已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知函数的内角所对的边分别为，且.（1）求角；（2）设为边的中点，且的面积为，求的长.16.（15分）如图，四棱台中，下底面为平行四边形，平面，为的中点，平面平面.（1）求四棱台的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值.17.（15分）甲､乙两位学生进行答题比赛，每局只有1道题目，比赛时甲､乙同时回答这一个问题，若一人答对且另一人答错，则答对者获得10分，答错者得-10分；若两人都答对或都答错，则两人均得0分.根据以往答题经验，每道题甲答对的概率为，乙答对的概率为，且甲､乙答对与否互不影响，每次答题的结果也互不影响.（1）求在一局比赛中，甲的得分的分布列与数学期望；（2）设这次比赛共有4局，若比赛结束时，累计得分为正者最终获胜，求乙最终获胜的概率.18.（17分）已知圆和点，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线与线段相交于点，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若过原点的两条直线分别交曲线于点和，且（为坐标原点）.判断四边形的面积是否为定值？若为定值，求四边形的面积；若不为定值，请说明理由.19.（17分）帕德近似是法国数学家亨利･帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数，函数在处的阶帕德近似定义为：且满足：.注：.已知函数在处的阶帕德近似.（1）求的表达式；（2）记，当时，证明不等式；（3）当，且时，证明不等式.武昌区2023-2024学年度高二年级期末质量检测高二数学参考答案及评分细则选择题：题号1234567891011答案CCAACBDCBCDBCDBD填空题：12.-4013.或14.2024解答题：15.（13分）解：（1）因为，所以.所以.因为，所以，所以.（2）因为，所以.所以.因为，所以.所以.由余弦定理，得，而，所以，即.所以，即.因为，所以.所以，即.所以.因为，所以.所以，所以.16.（15分）解：（1）取的中点，则，所以，四边形为平行四边形.因为平面，所以平面，即梯形的高为（或）.在直角三角形中，求得.因为平面平面，所以.因为平面平面，交线为，因为，所以平面.所以，所以.在直角三角形中，求得边的高，所以，底面的面积.同理求得上底面面积.由平面，知梯形的高为，所以.（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴建立空间直线坐标系.则.由（1）知，平面的一个法向量为.设平面的一个法向量为，因为，所以所以令，则.所以.设平面和平面的夹角为，则.17.（15分）解：（1）的取值可能为.，，，所以，的分布列为-10010所以.（2）由（1）知，在一局比赛中，乙获得10分的概率为，乙获得0分的概率为，乙获得-10分的概率为.在4局比赛中，乙获得40分的概率为，在4局比赛中，乙获得30分的概率为，在4局比赛中，乙获得20分的概率为，在4局比赛中，乙获得10分的概率为，所以，乙最终获胜的概率为.18.（17分）解：（1）由题意知，圆心为，半径为4，且.因为，所以，点的轨迹为以为焦点的椭圆.设椭圆方程为，则，解得，所以，.所以，曲线的方程为.（2）四边形的面积为定值，理由如下：当直线的斜率不存在时，直线轴，此时四边形为矩形，且.因为，不妨设，则.取，则四边形的面积.当直线的斜率存在时，设，且.联立直线与椭圆的方程，消去并整理，得.由，得.所以.所以.所以.因为，所以，即.因为，所以.因为原点到直线的距离，且四边形