高中数学基本数列专项练习

基础训练

L⑸｝是首项ai=l,公差为d=3的等差数列，如果册=2005,则序号"等于（）.

A.667B.668C.669D.670

2.在各项都为正数的等比数列｛册｝中，首项。1=3,前三项和为21,则。3+。4+。5=

（）.

A.33B.72C.84D.189

3.如果外,。2，…，为各项都大于零的等差数列，公差dr0,贝|］（）.

A.。1。8>。4。5B.4a5C.。1+。8<。4+。5D,01a8=。4。5

4.己知方程（x2—2x+m）（M—2x+n）=0的四个根组成一个首项为工的等差数列，贝”

4

Im—。|等于（）.

A】n3「1c3

A.1B.—C.—D.—

428

5.等比数列｛a/中，s=9,。5=243,则｛q｝的前4项和为（）.

A.81B.120C.168D.192

6.若数列｛册｝是等差数列，首项ai>0,a2003+02oo4>O,G003•。2oo4<O,则使前n

项和8>0成立的最大自然数"是（）.

A.4005B.4006C.4007D.4008

7.已知等差数列｛为｝的公差为2,若。1，。3，。4成等比数列,则。2=().

A.-4B.-6C.—8D.-10

若生=3,则务=(

8.设S.是等差数列｛为｝的前n项和，).

«39S,

A.1B.-1C.2D.-

2

「生

9.已知数列一1,。1，a2.-4成等差数列，-1,bl，b2,b3,一4成等比数列，则9

b2

的值是（）.

10.在等差数列｛an｝中,—WO,an-i-a；+a“+i=O（心2）,若S2n-i=38,则n=（）.

A.38B.20C.10D.9

能力提升

11.设/（x）=——，利用课本中推导等差数列前〃项和公式的方法，可求得/（一5）

2X+V2

+/(—4)+-+/(0)+-+/(5)+/(6)的值为.

12.在号和2之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为.

32

13.在等差数列｛aj中，3(aj+os)+2(07+010+013)=24,则此数列前13项之和为.

14.设平面内有n条直线(n23),其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过

同一点.若用/(")表示这n条直线交点的个数，则/(4)=；当n>4时，/(")

15.(1)已知数列｛为｝的前n项和Sn=3"2—2n,求证数列｛an｝成等差数列.

(2)已知工，工成等差数列，求证匕上，山，虫心也成等差数列.

abcabc

16.设｛an｝是公比为q的等比数列，且6,。3,。2成等差数列.

(1)求q的值；

(2)设仿才是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S“当"?2时，比较5.

与瓦的大小，并说明理由.

17.数列｛为｝的前"项和记为S”,已知ai=l,a°+i==2,3—).

n

求证：数列｛2｝是等比数列.

n

18.已知数列｛为｝是首项为a且公比不等于1的等比数列，S.为其前n项和，6，2s，

3a4成等差数列,求证：1253,56,S12—56成等比数列.

第二章数列

参考答案

一、选择题

1.C

解析：由题设,代入通项公式入一l)d,BfJ2005=1+3(n—1),An=699.

2.C

解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力.

设等比数列｛g｝的公比为q(q>0),由题意得01+6+03=21,

即s(l+q+q2)=21,又ai=3,.\l+q+q2=7.

解得q=2或q=-3(不合题意，舍去)，

.•・43+G4+a5=Oiq2(l+q+q2)=3X22X7=84.

3.B.

解析：由。1+。8=。4+。5，；・排除C.

又,Q8=Oi3i+7d)=a，+7aid,

/.04•。5=(。1+3d)(s+4d)=ai2+7aid+12d2>ai•as.

4.C

解析：

解法1：设。1=！，a2=-+d,a3=-+2d,a4=-+3d,而方程x?—2x+m=0中两

4444

根之和为2,x2—2x+/?=。中两根之和也为2,

.*.01+02+03+04=1+6^=4,

.\d=-,01=-,。4=工是一个方程的两个根，01=-,。3=2是另一个方程的两个

24444

根.

A—,"分别为m或〃，

1616

/.Im—n|=—,故选C.

2

解法2：设方程的四个根为X1，X2，X3，X4，且Xi+X2=x3+X4=2fXi*X2=171fX3•X4

由等差数列的性质：若/+s=p+q,则。?+。5=%+%，若设X1为第一项，X2必为第四

项，则于是可得等差数列为57

X2=Z,4,-一,一

44444

715

・・mn=—

1616

]_

m-n=

"2,

5.B

解析:,.•。2=9,4=243,—=q3==27,

出9

••Q—3»aiq=9,Oi=3,

.C-3-35

••34—=120.

1-32

6.B

解析:

解法1：由。2OO3+O2004>0，02003,。2004<0，知。2003和。2004两项中有一*正数一■负数,

又。1>0,则公差为负数，否则各项总为正数,故°2003>02004,即。2003>0,。2004<。

4006(%+%oo6)_40°6(。2003+“2004)

$4006=----------------------------------------------尸U，

22

・3007=包.（。­）=空・2。2。。4<。，

22

故4006为的最大自然数.选B.

解法2：由Oi>0,。2003+。2004>0,。2003・。2004V。,同解法1的分析得。2003>。,02004

<0,

，52003为Sn中的最大值.

・・・S”是关于。的二次函数，如草图所示,

A2003到对称轴的距离比2004到对称轴的距离小,

:•等在对称轴的右侧.

根据已知条件及图象的对称性可得4006在图象中右侧零点8的左侧，4007,4008都

在其右侧，5“>0的最大自然数是4006.

7.B

解析：是等差数列，•,・。3=。1+4,04=0:1+6,

又由。1，03,。4成等比数列,

/.(ai+4)2=Oi(01+6),解得Gi=-8,

ci2=-8+2=-6.

8.A

9(q+%)

,.S9_2_9q_9

解析:-=1,・••选A・

・S55(4+%)5q59

2

9.A

解析：设d和q分别为公差和公比，则-4=一1+34且一4=(-l)q4,

***d=-1,q2=2,

.出一《_d_1

~b2

10.C

解析：：｛漏为等差数列，为a：=an-i+a„+i，：.a;=2%,

又为#0,...如=？，｛分｝为常数数歹I,

而g[J2n-l=—=19,

2n-l2

.\n=lQ.

二、填空题

11.3Vl.

解析：Vf(x)=---------=,

2A+V2

—2X

Af(l—x)=―—=——"——=辛^—

»工62+万2、V2+2r

_L•2r1+-•2V

"(x)+/(Lx)=-^―+及=

设S=/(—5)+/(-4)+…+/(0)+…+/(5)+/(6),

则S=f⑹+〃5)+•••+/(())+…+/(—4)+/(-5),

，2S=[/⑹+/(-5)]+1/(5)+/(-4)]+…+巩一5)+/(6)]=6&,

.,.S=/(—5)+/(-4)+…+/(0)+,•,4-/(5)+/(6)=3'/2.

12.(1)32；(2)4；(3)32.

解析：(1)由得。4=2,

/.02••。4・。5*%==32.

a.+a.=324、i

(2)2二八一，

(4+%)/=369

的+。6=(。1+。2)q4=4.

zxS=a+a-}-a+a=2

(3o)4I]234nq=2,

$8=.+〃2+…+。8=§4+54<7

16

，017+018+019+020—S4q=32.

13.216.

解析：本题考查等比数列的性质及计算，由插入三个数后成等比数列，因而中间数必与

»,3Z同号，由等比中项的中间数为=6,二插入的三个数之积为§X2X6=216.

32V3232

14.26.

解析：・.・。3+。5=2。4，。7+。13=2。必

•・6(04+Gio)=24,。4+。10=4,

.<.-13(可+%3)_13(a+a)_13X4_

••J13------------------------------4------1-0------------------ZO.

222

15.-49.

解析：•.•。=。6一。5=—5,

5H-------1-。10

_7(%+.0)

2

_l(a5-d+a5+5d)

2~

=7(05+2。)

=-49.

16.5,-(n+1)(n-2).

2

解析：同一平面内两条直线若不平行则一定相交，故每增加一条直线一定与前面已有的

每条直线都相交，.••/(k)=/(k—l)+(k—1).

由/(3)=2,

/(4)=/(3)+3=2+3=5,

/(5)=〃4)+4=2+3+4=9,

/(n)=/(n—1)+(n—1),

相力口得/(n)=2+3+4+…+(n—1)=g(n+1)(n—2).

三、解答题

17.分析：判定给定数列是否为等差数列关键看是否满足从第2项开始每项与其前一项

差为常数.

证明：(1)”=1时，01=51=3—2=1,

=22

当时，onSn—Sn-i—3n—2n—[3(n—1)—2(n—1)]=6n—5,

=

.=!.时,亦满足,/.an6n—5(n^N*).

首项ai=l,an—an-i=6n—5—[6(n—1)—5]=6(常数)S^N*)，

.・・数列｛g｝成等差数列且S=l,公差为6.

(2)1成等差数列，

abc

oii

-化简得2ac=b(a+c).

bac

b+c.a~\~bbc~^~c2-\~a~-\~abc)~\~a1c~(a+c)2(a+c)2a~\~c

____+_____=---------------=---------------=-------=________=2•____

acacacac伙a+c)b

2

小，小也成等差数列.

abc

18.解：(1)由题设2。3=。1+。2，即2aiq2=oi+aiq,

V2q2—q—1=0,

；・q=l或——,

2

(2)若q=l,则%=2"+妁曰=立2.

22

当时，S,-b〃=