2024年广东省佛山市顺德区光正实验学校中考数学三模试卷

2024年广东省佛山市顺德区光正实验学校中考数学三模试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．2024 B． C．﹣2024 D．2．（3分）如图的展开图中，能围成三棱柱的是（）A． B． C． D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．（a2）3＝a5 C．2a+3b＝5ab D．2a2•a＝2a34．（3分）学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差5．（3分）平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，2）关于x轴对称的点B的坐标是（）A．（﹣5，﹣2） B．（﹣5，2） C．（5，﹣2） D．（5，2）6．（3分）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若BD＝BC，∠A＝36°，则∠C的度数为（）A．72° B．68° C．75° D．80°8．（3分）关于x一元二次方程x2﹣2023x+m＝0有一个根是x＝1，则另一个根是（）A．x＝2022 B．x＝﹣2022 C．x＝2023 D．x＝﹣20239．（3分）如图，已知三角板ABC，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（）A．π B．π C．π D．π10．（3分）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝120°，则∠3+∠4的值为（）A．160° B．150° C．100° D．90°二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）因式分解：x3﹣2x2＝．12．（3分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出红球的概率是．13．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tanB的值为．14．（3分）如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若△ABO的面积等于8，则k的值是．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，点D是AB中点，EF∥CD，若AE：EC＝2：3，EF＝2，则AB＝．三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分。16．（10分）（1）计算：．（2）化简：．17．（7分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10．（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在AC上确定一点D，使D到CB、AB的距离相等；（2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则△ADE的周长为．18．（7分）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.6m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留一位小数）四、解答题（二）：本大题共3小题，“每小题9分，共27分。19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．（1）求证：BC＝BD．（2）若OB＝OA，AE＝2．①求半圆O的半径．②求图中阴影部分的面积．20．（9分）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从A．书法、B．国画、C．合唱、D．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有人；（2）在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为，请补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请你估计选择“A．书法”课程的学生有多少人；（4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率．21．（9分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“π日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题11分，第23题各13分，共24分。22．（11分）【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：飞行时间t/s02468…飞行高度y/m010161816…【建立模型】任务1：求y关于t的函数表达式．【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，．任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离．任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围．23．（13分）如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别在边AB、BC上，DF⊥CE于点O，点G，H分别在边AD、BC上，GH⊥CE．（1）问题解决：①写出DF与CE的数量关系：；②的值为；（2）类比探究，如图②，在矩形ABCD中，（k为常数），将矩形ABCD沿GH折叠，使点C落在AB边上的点E处，得到四边形EFGH交AD于点P，连接CE交GH于点O．试探究GH与CE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用，如图③，四边形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝BC＝6，AD＝CD＝4，BF⊥CE，点E、F分别在边AB、AD上，求的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．（3分）﹣2024的相反数是（）A．2024 B． C．﹣2024 D．【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故选：A．2．（3分）如图的展开图中，能围成三棱柱的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、根据图形判断是四棱锥展开图，不符合题意．B、根据图形判断是圆柱展开图，不符合题意．C、根据图形判断是圆锥展开图，不符合题意．D、根据图形判断是三棱柱展开图，符合题意．故选：D．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a6÷a2＝a3 B．（a2）3＝a5 C．2a+3b＝5ab D．2a2•a＝2a3【解答】解：A、a6÷a2＝a4，故此选项不符合题意；B、（a2）3＝a6，故此选项不符合题意；C、2a与3b不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意；D、2a2•a＝2a3，故此选项符合题意；故选：D．4．（3分）学校歌咏比赛，共有11位评委分别给出参赛选手的原始评分，评定参赛选手的成绩时，从11个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到9个有效评分．9个有效评分与11个原始评分相比，一定不变的特征数据是（）A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【解答】解：根据题意，从11个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到9个有效评分，9个有效评分，与11个原始评分相比，不变的特征数据是中位数．故选：B．5．（3分）平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，2）关于x轴对称的点B的坐标是（）A．（﹣5，﹣2） B．（﹣5，2） C．（5，﹣2） D．（5，2）【解答】解：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，故在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣5，2）关于x轴对称的点B的坐标是（﹣5，﹣2）．故选：A．6．（3分）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5吨货物，且大货车运输75吨货物所用车辆数与小货车运输50吨货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x吨，则所列方程正确的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【解答】解：∵每辆大货车的货运量是x吨，∴每辆小货车的货运量是（x﹣5）吨，依题意得：＝．故选：B．7．（3分）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧交于M，N两点；②作直线MN交AC于点D，连接BD．若BD＝BC，∠A＝36°，则∠C的度数为（）A．72° B．68° C．75° D．80°【解答】解：由作法可得MN垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠DBA＝∠A＝36°，∵∠BDC＝∠A+∠DBC，∴∠BDC＝72°，∵BD＝BC，∴∠C＝∠BDC＝72°，即∠C的度数为72°．故选：A．8．（3分）关于x一元二次方程x2﹣2023x+m＝0有一个根是x＝1，则另一个根是（）A．x＝2022 B．x＝﹣2022 C．x＝2023 D．x＝﹣2023【解答】解：设另一根为a，由根与系数的关系得：1+a＝2023，解得：a＝2022，则另一根为x＝2022．故选：A．9．（3分）如图，已知三角板ABC，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝2，将三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A′落在AB边的起始位置上时即停止转动，则B点转过的路径长为（）A．π B．π C．π D．π【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝2，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝4，∴BC＝＝2，∵将三角板绕直角顶点C逆时针旋转，当点A的对应点A'落在AB边的起始位置上时即停止转动，∴CA＝CA′，∵∠A＝60°，∴△ACA′为等边三角形，∴旋转角∠ACA′＝60°，即∠BCB′＝∠ACA′＝60°，∴B点转过的路径长为＝π，故选：D．10．（3分）光在不同介质中的传播速度是不同的，因此光从水中射向空气时，要发生折射．已知在水中平行的光线射向空气中时也是平行的．如图，∠1＝40°，∠2＝120°，则∠3+∠4的值为（）A．160° B．150° C．100° D．90°【解答】解：如图：由题意得：AB∥CD，∴∠1＝∠3＝40°，∵BD∥EF，∴∠4＝180°﹣∠2＝60°，∴∠3+∠4＝100°，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。11．（3分）因式分解：x3﹣2x2＝x2（x﹣2）．【解答】解：x3﹣2x2＝x2（x﹣2）．故答案为：x2（x﹣2）．12．（3分）在一个不透明的袋子中装有2个红球和3个蓝球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，则摸出红球的概率是．【解答】解：共有球3+2＝5个，红球有2个，因此摸出的球是红球的概率为：．故答案为：．13．（3分）如图，在5×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上，则tanB的值为．【解答】解：如图，连接格点A、D．在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝4，∴tanB＝；故答案为：．14．（3分）如图，已知一次函数图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，若△ABO的面积等于8，则k的值是﹣6．【解答】解：如图，直线AB交x轴于点D，交y轴于点C，作BF⊥y轴，垂足为F，作AE⊥CD，垂足为点E，连接EF，易得四边形BDEF和CAEF都是平行四边形，∴DE＝BF，AE＝CF，在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（SAS），∴AD＝BC，在直线中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣8，∴C（0，4），D（﹣8，0），∴S△COD＝×4×8＝16，∴S△ADO＝S△BOC＝4，∵S△AOC＝丨xA丨＝12，∴丨xA丨＝12，解得xA＝﹣6（舍去+6），∵S△ADO＝yA＝4，即yA＝4，解得yA＝1，∴A（﹣6，1），∵点A（﹣6，1）在反比例函数的图象上，∴k＝﹣6．故答案为：﹣6．15．（3分）如图，在Rt△ABC中，点D是AB中点，EF∥CD，若AE：EC＝2：3，EF＝2，则AB＝10．【解答】解：∵AE：EC＝2：3，∴AE：AC＝2：5．∵EF∥CD，∴AE：AC＝EF：CD．又∵EF＝2，∴CD＝5．在Rt△ABC中，∵点D是AB中点，∴AB＝2CD＝10．故答案为：10．三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分。16．（10分）（1）计算：．（2）化简：．【解答】解：（1）＝1﹣2+2＝1；（2）＝•＝•＝．17．（7分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10．（1）尺规作图：（要求保留作图痕迹，不写作法）在AC上确定一点D，使D到CB、AB的距离相等；（2）在（1）的条件下，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则△ADE的周长为8．【解答】解：（1）如图：点D即为所求；（2）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，∴BC＝8，∴AD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵∠C＝90°＝∠BED，∴△BCD≌△BED（AAS），∴CD＝DE，BC＝BE，∴EA＝BA﹣BE＝BA﹣CB＝2，∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝6+2＝8，故答案为：8．18．（7分）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB．小刚在D处用高1.6m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度．（已知：≈1.414，≈1.732，结果保留一位小数）【解答】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝，∴FG＝＝＝AG．在Rt△ACG中，tan∠ACG＝，∴CG＝＝AG．又CG﹣FG＝40，即AG﹣AG＝40，∴AG＝20，∴AB＝（20+1.6）≈36.2米．答：这幢教学楼的高度AB为36.2米．四、解答题（二）：本大题共3小题，“每小题9分，共27分。19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O为AC边上一点，连结OB．以OC为半径的半圆与AB边相切于点D，交AC边于点E．（1）求证：BC＝BD．（2）若OB＝OA，AE＝2．①求半圆O的半径．②求图中阴影部分的面积．【解答】（1）证明：如图，连结OD．∵BD是圆O的切线，D为切点，∴∠ODB＝90°，∵∠ACB＝90°，OC＝OD，OB＝OB，∴Rt△ODB≌Rt△OCB（HL），∴BC＝BD．（2）解：①∵OB＝OA，∴∠OBD＝∠A，∵Rt△ODB≌Rt△OCB，∴∠OBD＝∠OBC，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A，∵∠OBD+∠OBC+∠A＝90°，∴∠OBD＝∠OBC＝∠A＝30°，在Rt△ODA中，sin∠A＝，∴OD＝OA．∵OD＝OE，∴OE＝OA，∴OE＝AE＝2，∴半圆O的半径为2．②在Rt△ODA中，OD＝2，OA＝4，∴AD＝＝2，∴S△OAD＝＝2，∵∠A＝30°，∴∠AOD＝60°，∴S阴影部分＝S△ODA﹣S扇形ODE＝2﹣＝2﹣．20．（9分）我国古代曾以“六艺”（礼、乐、射、御、书、数）教授学生，其中“乐”和“书”主要是用音乐和书画来进行审美教育某校计划在课后服务中开设美育相关课程，并在全校范围内随机抽取了部分学生进行调查，要求学生从A．书法、B．国画、C．合唱、D．水彩画四个课程中选择一个自己最喜爱的．将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：（1）本次被调查的学生有200人；（2）在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为108°，请补全条形统计图；（3）该校共有1200名学生，请你估计选择“A．书法”课程的学生有多少人；（4）小明和小华打算从四个课程中各自选择一个作为美育课程，请用列表或画树状图的方法求出小明和小华所选的课程恰好相同的概率．【解答】解：（1）本次被调查的学生有80÷40%＝200（人）．故答案为：200．（2）在扇形统计图中，C所对应的圆心角度数为360°×＝108°．故答案为：108°．选择“D．水彩画”的人数为200﹣40﹣80﹣60＝20（人）．补全条形统计图如图所示．（3）1200×＝240（人）．∴估计选择“A．书法”课程的学生约240人．（4）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）共有16种等可能的结果，其中小明和小华所选的课程恰好相同的结果有：（A，A），（B，B），（C，C），（D，D），共4种，∴小明和小华所选的课程恰好相同的概率为＝．21．（9分）2024年3月14日是第五个“国际数学日”，某校数学组在今年“π日”举行了数学游园活动，购买了一批钢笔和自动铅笔作为奖品．在前期询价时，通过电话询问文具店了解到，钢笔的价格比自动铅笔贵60%，且花300元购买的自动铅笔比花400元购买的钢笔多10支．（1）求前期电话询问时钢笔和自动铅笔的单价分别为多少？（2）前往文具店购买时，恰逢商家对价格进行了调整：自动铅笔比之前询问时涨价20%，而钢笔则按之前询问价格的8.5折出售．若学校最终购买了钢笔和自动铅笔共200支，且购买奖品的费用没有超过1250元，则学校最多购买了多少支钢笔作为奖品？【解答】解：（1）设前期电话询问时自动铅笔的单价是x元，则自钢笔的单价是（1+60%）x元，根据题意得：﹣＝10，解得：x＝5，经检验，x＝5是所列方程的解，且符合题意，∴（1+60%）x＝（1+60%）×5＝8（元）．答：前期电话询问时钢笔的单价是8元，自动铅笔的单价是5元；（2）设学校购买了y支钢笔作为奖品，则购买了（200﹣y）支自动铅笔，根据题意得：5×（1+20%）（200﹣y）+8×0.85y≤1250，解得：y≤，又∵y为正整数，∴y的最大值为62．答：学校最多购买了62支钢笔作为奖品．五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题11分，第23题各13分，共24分。22．（11分）【问题背景】水火箭是一种基于水和压缩空气的简易火箭，通常由塑胶汽水瓶作为火箭的箭身，并把水当作喷射剂．图1是某学校兴趣小组制做出的一款简易弹射水火箭．【实验操作】为验证水火箭的一些性能，兴趣小组同学通过测试收集了水火箭相对于出发点的水平距离x（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，并确定了函数表达式为：x＝3t．同时也收集了飞行高度y（单位：m）与飞行时间t（单位：s）的数据，发现其近似满足二次函数关系．数据如表所示：飞行时间t/s02468…飞行高度y/m010161816…【建立模型】任务1：求y关于t的函数表达式．【反思优化】图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台（距离地面的高度为PQ），当弹射高度变化时，水火箭飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为水火箭回收区域，已知AP＝42m，．任务2：探究飞行距离，当水火箭落地（高度为0m）时，求水火箭飞行的水平距离．任务3：当水火箭落到AB内（包括端点A，B），求发射台高度PQ的取值范围．【解答】解：任务1：∵二次函数经过点（4，16），（8，16），∴抛物线的顶点坐标为（6，18）．设抛物线解析式为：y＝a（t﹣6）2+18．∵抛物线经过点（0，0），∴36a+18＝0．解得：a＝﹣．∴y关于t的函数表达式为：y＝﹣（t﹣6）2+18；任务2：∵x＝3t，∴t＝．∴y＝﹣（﹣6）2+18＝﹣x2+2x．当水火箭落地（高度为0m）时，﹣x2+2x＝0．解得：x1＝0（不合题意，舍去），x2＝36．答：水火箭飞行的水平距离为36米；任务3：设PQ的长度为c．∴水火箭的抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+c．①当抛物线经过点A时．∵AP＝42m，∴点A的坐标为（42，0）．∴﹣×422+2×42+c＝0．解得：c＝14．②当抛物线经过点B时．∵AP＝42m，．∴BP＝（18+18）m．∴点B的坐标为（18+18，0）．∴﹣×（18+18）2+2×（18+18）+c＝0．解得：c＝18．∵水火箭