高中数学课堂教学实录

高中数学课堂教学实录(一)

南阳中学刘伟明

师：四边形、五边形、六边形分别有多少条对角线？你是怎样

考虑的？

[提出问题，让学生在解答的过程中发现规律.]

生：四边形、五边形、六边形分别有两条对角线，五条对角线

和九条对角线，以六边形为例，每个顶点可引3条对角线，六个顶

点可引18条对角线，但因每条对角线都计算了两次，所以六边形实

际有9条对角线.

师：n边形(n24)有多少条对角线？为什么？

[由特例到一般问题的提出，符合由特殊到一般，由具体到抽象

的认识过程.]

生：n边形有条对角线，因为每个顶点可引n-3条对角线，所以

n个顶点可引n(n-3)条，但每条对角线都计算了两次，故n边形实

际有条对角线.

师：这一公式适合四边形、五边形、六边形吗？

[由一般再回到特殊，特例的正确性提高了学生探索问题的积极

性，增强了猜想的信心.]

生：适合.

师：观察等差数列的前几项：

al=al+Od

a2=al+ld

a3=al+2d

a4=al+3d

你发现了什么规律？试用al,n和d表示an.

生：an=al+(n-1)d

师：像这种由一系列特殊事例得到一般结论的推理方法，叫做

归纳法，用归纳法可以帮助我们从特殊事例中发现一般规律，但是,

由归纳法得出的一般结论并不一定可靠.例如，一个数列的通项公式

是an=(n2-5n+5)2请算出al,a2,a3,a4你能得到什么结论？

生：由al=l,a2=l,a3=l,a4=l可知an=l

师：由an=(n2-5n+5)2计算a5.

[由a5=25Wl,否定了学生的猜想，举出反例是否定命题正确性

的简单而基本的方法.]

师：由归纳法得到的一般结论是不一定可靠的.法国数学家费尔

马曾由n=0,1,2,3,4得到+1均为质数而推测：n为非负整数时,

+1都是质数，但这一结论是错误的.因为数学家欧拉发现，n=5时+1

是一个合数：+1=4294967297=641X6700417.

[数学史例使学生兴趣盎然，学习积极性大为提高，至此，归纳

法作为一种发现规律的推理方法的数学已告结束.]

师：既然由归纳法得到的结论不一定可靠，那么，就必须想办

法对所得到的结论进行证明，对于由归纳法得到的某些与自然数有

关的命题P(n),能否通过一一验证的办法来加以证明呢?

生：不能.因为这类命题中所涉及的自然数有无限多个，所以无

法一个一个加以验证.

[新问题引导学生思考：既然对于P(nO)、P(nO+l)、P(n0+2)……

的正确性无法一一验证，那么如何证明P(n)(nenO)的正确性呢？至

此，数学归纳法的引入水到渠成.]

二、新课

师：我们将采用递推的办法解决这个问题.同学们在电视中可能

看到过“多米诺”骨牌的游戏，由于骨牌之间特殊的排列方法，只

要推到第一块骨牌，第二块就会自己倒下，接着第三块就会倒下，

第四块也会倒下……如此传递下去，所有的骨牌都会倒下，这种传

递相推的方法，就是递推.

从一个袋子里第一次摸出的是一个白球，接着，如果我们有这

样的一个保证：“当你第一次摸出的是白球，则下一次摸出的一定

也是白球”，能否断定这个袋子里装的全是白球？

生：能断定.

[为数学归纳法的两个步骤提供具体生动的模型，帮助学生理解

数学归纳法的实质.]

师：要研究关于自然数的命题P(n),我们先来看自然数有什么

性质，自然数数列本身具有递推性质：第一个数是1,如果知道了一

个数，就可以知道下一个数.有了这两条，所有自然数尽管无限多，

但我们就可全部知道了.类似地，我们可采用下面的方法来证明有关

连续自然数的命题P(n),先验证n取第一个值nO时命题正确；再证

明如果n=k(k2nO)时命题正确，则n=k+l时命题正确，只要有了这

两条，就可断定对从nO开始的所有自然数，命题正确，这就是数学

归纳法的基本思想.

[先通俗了解数学归纳法的基本思想，对深刻理解数学归纳法的

实质至关重要.]

师：用数学归纳法证明一个与自然数有关的命题P(n)的步骤是:

(1)证明当n取第一个值nO(如nO=l或n0=2等)时结论成立，即

验证P(nO)正确；

(2)假设n=k(k£N,且k2n0)时结论正确，证明n=k+l时结论

正确，即由P(k)正确P(k+1)正确由(1)和(2),就可断定命题对于从

nO开始的所有自然数n都正确.

高中数学课堂教学实录(二)

南阳中学刘伟明

一、不等式证明的常用方法和基本不等式

师：前面我们复习了不等式的性质，现在开始复习不等式的证明.

下面我们先来看一个问题：

［例1］求证：(a2+b2)(c2+d2巨(ac+bd)2

如何证明这个不等式呢？我们回忆一下，不等式证明有哪些常用

的方法？

生：比较法、分析法和综合法.

师：什么是比较法？这个不等式能不能用比较法来证明？

生：要证明a>b,只要证明a-b>0,这就是不等式证明的比较

法，这个不等式能用比较法证明.

证法一

V(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2

=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2abcd-b2d2

=(bc-ad)2>0

，(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2

师：用比较法证明不等式的基本步骤有哪些？

生：有三步：(1)作差(2)变形(3)确定符号

师：什么是分析法？这个不等式能不能用分析法来证明？

生：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证

明这个不等式转化为判定这些条件是否具备的问题；如果能够肯定这

些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法就是不等

式证明的分析法.这个不等式能用分析法来证明.

证法二

要证明(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2

只要证明a2c2+b2c2+a2d2+b2d2Na2c2+2abcd+b2d2

也就是证明b2c2+a2d2N2abcd

即(bc-ad)2>0

V(bc-ad)2>0成立

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2成立

(教师指出应用分析法证明时要注意书写格式)

师：什么是综合法？这个不等式能不能用综合法来证明？

生：利用某些已经证明过的不等式作为基础，再运用不等式的性

质推导出所要证明的不等式，这种方法是不等式证明的综合法，这个

不等式能用综合法来证明.

证法三

b2c2+a2d2>2abcd

a2c2+b2d2+b2c2+a2d2Na2c2+2abcd+b2d2

即(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2

师：应用综合法证明的关键是找出作为基础的已经证明过的不等

式.这些不等式大都是基本不等式，主要有：

a2+b2>2ab（a、b£R）

（a、b£R+）

这里要注意：

（1）不等式成立的条件，字母的允许值范围；

（2）当且仅当a=b时，等号成立.

［这里改变了高三复习课先整理知识，然后讲解例题的传统模式,

而是先提出问题让学生思考，创设问题情境，激起学生复习的欲望和

要求，唤起学生对旧知识的回忆，引起学生的思维.这样可以提高学

生复习的积极性.在此基础上，通过教师的启发，让学生自己逐步回

忆过去所学的知识，应用它们来分析问题和解决问题，最好引导学生

自己归纳、整理旧知识，形成比较系统和完整的知识结构.］

二、不等式证明方法的应用

［例2］已知a、b、c是不全相等的正数.

求证：

（先让学生议论，然后由学生起来回答，教师板书.）

证明：：

a、b、c是不全相等的正数

①②③中等号不同时成立

*

・•

即

（如果学生按上述步骤进行证明，教师应提出：这样证明有没有

问题？让学生通过思考后发现：在证明一开始必须先指出a、b、Ce

R+,否则不能确定①、②、③是否成立.)

师：在证明不等式时，应注意以下几点：

(1)不等式的逆向运用，要证明不等式可以先证明它的逆向不等

式.

(2)已知条件在不等式证明中的应用.由于a、b、c是三个不全相

等的正数，从而得出①、②、③中三个等号不同时成立，于是才能证

得原不等式成立.

(3)同向不等式相加是用综合法证明不等式的常用手段.

［例3］已知a、b、c£R+,求证：

(师生共同进行分析)

要证明

只要证明

也就是证明

如何证明这个不等式呢？(让学生议论后回答)

生：Va>b£R+

师：这样证明有没有问题？生：(回