初中数学教学典型案例分析

初中数学教学典型案例分析

杏林初中数学组韩怀斌2014年10月11S

我个人数学教学的体会，这四个方面是：

1.在多样化学习活动中实现三维目标的整合；2.课堂教学过

程中的预设和生成的动态调整；3.对数学习题课的思考；

2.首先，结合《勾股定理》一课的教学为例，谈谈如何在多

样化学习活动中实现三维目标的整合

案例1:《勾股定理》一课的课堂教学

第一个环节：探索勾股定理的教学

师（出示4幅图形和表格）：观察、计算各图中正方形A、B、C

的面积，完成表格，你有什么发现？

A的面积3的面积C的面积

图1

图2

图3

图4

生：从表中可以看出A、8两个正方形的面积之和等于正方形C

的面积。并且，从图中可以看出正方形4、8的边就是直角三角形的

两条直角边，正方形C的边就是直角三角形的斜边，根据上面的结

果，可以得出结论：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平

方。

这里，教师设计问题情境，让学生探索发现“数”与“形”的密

切关联，形成猜想，主动探索结论，训练了学生的归纳推理的能力，

数形结合的思想自然得到运用和渗透，“面积法”也为后面定理的证

明做好了铺垫，双基教学寓于学习情境之中。

第二个环节：证明勾股定理的教学

教师给各小组奋发制作好的直角三角形和正方形纸片，先分组拼

图探究，在交流、展示，让学生在实践探究活动中形成新的能力（试

图发现拼图和证明的规律：同一个图形面积用不同的方法表示）。

学生展示略

通过小组探究、展示证明方法，让学生把已有的面积计算知识与

要证明的代数式联系起来，并试图通过几何意义的理解构造图形，让

学生在探求证明方法的过程中深刻理解数学思想方法，提升创新思维

能力。

第三个环节：运用勾股定理的教学

师（出示右图）：右图是由两个正方形

组成的图形，能否剪拼为一个面积不变的新

的正方形，若能，看谁剪的次数最少。

生（出示右图）：可以剪拼成一个面积

不变的新的正方形，设原来的两个正方形的

边长分别是。、b,那么它们的面积和就是

a2+h2,由于面积不变，所以新正方形的面积

应该是序+序，所以只要是能剪出两个以h

为直角边的直角三角形，把它们重新拼成一个

边长为a2+b2的正方形就行了。

问题是数学的心脏，学习数学的核心就在于提高解决问题的能

力。教师在此设置问题不仅是检验勾股定理的灵活运用，更是对勾股

定理探究方法和证明思想（数形结合思想、面积割补的方法、转化和

化归思想）的综合运用，从而让学生在解决问题中发展创新能力。

第四个环节：挖掘勾股定理文化价值

师：勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，见数与形

密切联系起来。它在培养学生数学计算、数学猜想、数学推断、数学

论证和运用数学思想方法解决实际问题中都具有独特的作用。勾股定

理最早记载于公元前十一世纪我国古代的《周髀算经》，在我国古籍

《九章算术》中提出“出入相补”原理证明勾股定理。在西方勾股定

理又被成为“毕达哥拉斯定理”，是欧式几何的核心定理之一，是平

面几何的重要基础，关于勾股定理的证明，吸引了古今中外众多数学

家、物理学家、艺术家，甚至美国总统也投入到勾股定理的证明中来。

它的发现、证明和应用都蕴涵着丰富的数学人文内涵，希望同学们课

后查阅相关资料，了解数学发展的历史和数学家的故事，感受数学的

价值和数学精神，欣赏数学的美。

新课程三维目标（知识和技能、过程和方法、情感态度和价值观）

从三个维度构建起具有丰富内涵的目标体系，课程运行中的每一个目

标都可以与三个维度发生联系，都应该在这三个维度上获得教育价

值。

2.课堂教学过程中的预设和生成的动态调整

案例2：年前，在鲁教版七年级数学上册《配套练习册》第70

页，遇到一道填空题：

例：设。、b.c分别表示三种质量不同的物体，如图所示，图①、

图②两架天平处于平衡状态。为了使第三架天平（图③）也处于平衡

状态，则“？”处应放个物体根

b

图①图②

9*

图③

通过调查，这个问题只有极少数学生填上了答案，还不知道是不

是真的会解，我需要讲解一下。

我讲解的设计思路是这样的：

一.引导将图①和图②中的平衡状态，用数学式子（符号语言——

数学语言）表示（现实问题数学化——数学建模）：

图①：2a=c~\~b.图②：a+b=c.

因此，2a=（a+A）~\~h.

可得：a=2h,c=3h.

所以，a~\~c=5b.

答案应填5.

我自以为思维严密，有根有据。然而，在让学生展示自己的想法

时，却出乎我的意料。

学生1这样思考的：

值■设b=l,a=2,c=3.所以，a+c=5,答案应填5.

学生这是用特殊值法解决问题的，虽然特殊值法也是一种数学

方法，但是存在很大的不确定性，不能让学生仅停留在这种浅显的思

维表层上。面对这个教学推进过程的教学“新起点”，我必须深化学

生的思维，但是，还不能打击他的自信心，必须保护好学生的思维成

果。因此，我立刻放弃了准备好的讲解方案，以学生思维的结果为起

点，进行调整。

我先对学生1的方法进行积极地点评，肯定了这种思维方式在

探索问题中的积极作用，当那几个同样做法的学生自信心溢于言表

时，我随后提出这样一个问题：

“你怎么想到假设6N,aAc??b、c是不是可以假设为

任意的三个数？”

有的学生不假思索，马上回答：“可以是任意的三个数。”也有

的学生持否定意见，大多数将信将疑，全体学生被这个问题吊足了胃

口，我趁机点拨：

“验证一下吧。”

全班学生立刻开始思考，验证，大约有3分钟的时间，学生们开

始回答这个问题：

»=2,4=3,c=4时不行，不能满足图①、图②中的数量关系。”

7=2,a=4,c=6时可以。结果也该填5.”

»=3,a=6,c=9时可以，结果也一样。”

7=4,a=8,c=12时可以，结果也一样。”

“我发现，只要a是人的2倍，c是人的3倍就能满足图①、图②

中的数量关系，结果就一定是5.”

这时，学生的思维已经由特殊上升到一般了，也就是说在这个过

程中，学生的归纳推理得到了训练，对特殊值法也有了更深的体会，

用字母表示发现的规律，进而得到a^lb,c=3h.所以，a+c=5h.答

案应填5.

我的目的还没有达到，继续抛出问题：

“我们列举了好多数据，发现了这个结论，你还能从图①、图②

中的数量关系本身，寻找更简明的方法吗？”学生又陷入深深地思考

中，当我巡视各小组中出现了“图①：2a=c+6.图②：a+b=c.w时，

我知道，学生的思维快与严密的逻辑推理接轨了。

我们是不是都有这样的感受，课堂教学设计兼具“现实性”与“可

能性”的特征，这意味着课堂教学设计方案与教学实施过程的展开之

间不是“建筑图纸”和“施工过程”的关系，即课堂教学过程不是简

单地执行教学设计方案的过程。

在课堂教学展开之初，我们可能先选取一个起点切入教学过程，

但随着教学的展开和师生之间、生生之间的多向互动，就会不断形成

多个基于不同学生发展状态和教学推进过程的教学“新起点”。因此

课堂教学设计的起点并不是唯一的，而是多元的；不是确定不变的，

而是预设中生成的；不是按预设展开僵硬不变的，而是在动态中调整

的。

3.一节数学习题课的思考

案例3：一位教师的习题课，内容是“特殊四边形”。

该教师设计了如下习题：

A

0

F

E

B

H

G

C

题1(例题)顺次连接四边形各边的中点、，所得的四边形是怎

样的四边形？并证明你的结论。

题2如右图所示，△ABC中，中线BE、CF

交于O,G、H分别是BO、C0的中点。

(1)求证：FG//EH;

(2)求证：OF=CH.

0

F

A

E

C

B

D

题3(拓展练习)当原四边形具有什么条件时，其中点四边形为

矩形、菱形、正方形？

题4(课外作业)如右图所示，

DE是△4861的中位线，Ab是边

8c上的中线，DE、AF相交于点O.

(1)求证：Ab与DE互相平分；

(2)当△ABC具有什么条件时，AF=DE0

(3)当△ABC具有什么条件时，AF±DEO

F

G

E

H

D

c

B

A

教师先让学生思考第一题（例题）。教师引导学生画图、观察后，

进入证明教学。

师：如图，由条件E、F、G、H

是各边的中点，可联想到三角形中位

线定理，所以连接BD,可得EH、

FG都平行且等于BD,所以EH平行

且等于FG,所以四边形EFGH是平行四边形，下面，请同学们写

出证明过程。

只经过五六分钟，证明过程的教学就“顺利”完成了，学生也觉

得不难。但让学生做题2,只有几个学生会做。题3对学生的困难更

大，有的模仿例题，画图观察，但却得不到矩形等特殊的四边形；有

的先画矩形，但矩形的顶点却不是原四边形各边的中点。

评课：本课习题的选择设计比较好，涵盖了三角形中位线定理及

特殊四边形的性质与判定等数学知识。运用的主要方法有：（1）通

过画图（实验）、观察、猜想、证明等活动，研究数学；（2）沟通

条件与结论的联系，实现转化，添加辅助线；（3）由于习题具备了

一定的开放性、解法的多样性，因此思维也要具有一定的深广度。

为什么学生仍然不会解题呢？学生基础较差是一个原因，在教学

上有没有原因？我个人感觉，主要存在这样三个问题:

（1）学生思维没有形成。教师只讲怎么做，没有讲为什么这么

做。教师把证明思路都说了出来，没有引导学生如何去分析，剥夺了

学生思维空间；

（2）缺少数学思想、方法的归纳，没有揭示数学的本质。出现

讲了这道题会做，换一道题不会做的状况；

（3）题3是动态的条件开放题，相对于题1是逆向思维，思维

要求高，学生难把握，教师缺少必要的指导与点拨。

修正：根据上述分析，题1的教学设计可做如下改进：

首先，对于开始例题证明的教学，提出“序列化”思考题：

（1）平行四边形有哪些判定方法？

（2）本题能否直接证明EF〃FG,EH=FG?在不能直接证明的情

况下，通常考虑间接证明，即借助第三条线段分别把EH和FG的位置

关系（平行）和数量关系联系起来，分析一下，那条线段具有这样的

作用？

（3）由E、F、G、H是各边的中点，你能联想到什么数学知识？

（4）图中有没有现成的三角形及其中位线？如何构造？

设计意图：上述问题（1）激活知识；问题（2）暗示辅助线添加

的必要性，渗透间接解决问题的思想方法；问题（3）、（4）引导学

生发现辅助线的具体做法。

其次，证明完成后，教师可引导归纳：

我们把四边形ABCD称为原四边形，四边形EFGH称为中点四边

形，得到结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形;辅助线沟通

了条件与结论的联系，实现了转化。原四边形的一条对角线沟通了中

点四边形一组对边的位置和数量关系。这种沟通来源于原四边形的对

角线同时又是以中点四边形的边为中位线的两个三角形的公共边，由

此可感受到，起到这种沟通作用的往往是图形中的公共元素，因此，

在证明中一定要关注这种公共元素。

然后，增设“过渡题”：原四边形具备什么条件时，其中点四边

形为矩形？教师可点拨思考：

怎样的平