高中数学2轮14 作业14

专题训练•作业（十四）

一、单项选择题

1.（2021•惠州市第一次模拟考试）“介一3”是“直线y=x+l与圆（x—a）2+y2=2有公共

点”成立的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

答案C

解析圆心（“,0）到直线X—y+1=0的距离"=零"，r=也，直线与圆有公共点，则有dWr,

即也苗或地，解得一3W&W1,且[-3,l]?g[-3,+°°）,所以‘勿2—3”是“直线y=x

+1与圆（X-“）2+V=2有公共点”成立的必要不充分条件.故选C.

2.已知直线/：》一近），一“=0与圆C：（x-3）2+（y+小）2=4交于点M,N,点P在圆C上，

11

且NMPN=w，则。的值为（）

A.2或10B.4或8

C.6±2^2D.6±2小

答案B

LJt

解析连接CM,CN.因为圆的半径是r=2,圆心坐标是C（3,一小），NMPN『,且P

在圆C上,所以计算得=2小.又C点到直线/的距离〃=艮笔兽=叵裂,

D\1+3N

程，+片=产，所以（5）2+（"16）一=4,则”=4或8.故选B.

3.已知直线I过点A（a,0）且斜率为1,若圆f+产=4上恰有3个点到/的距离为1,则a

的值为（）

A.3^2B.±3^2

C.±2D.±^2

答案D

解析由题知直线/的方程为y—x—a,即x—y—a=0.若圆x2+/=4上恰有3个点到/的

距离为1,则圆心0（0,0）到直线工一），一。=0的距离为1,即%=1,得。=R1故选D.

92

4.（2021・湖南长郡中学模拟）已知椭圆E：，+3=1（“泌＞0）的右焦点为&,左顶点为4,

若E上的点尸满足轴，sin/B4iF2=W，则E的离心率为（）

A-2Bt

C4D-5

答案c

〃

一3

3-

解析因为5吊/雨1尸2=亍则tan/抬产2=4工4

5.（2018•课标全国H）已知Fi，B是椭圆C：j=1（。＞6＞°）的左、右焦点，A是C的左

O

顶点，点P在过A且斜率为坐的直线上，△PFiE为等腰三角形，ZF,F2P=120,则C

的离心率为（）

A.,B./

（4DI

答案D

解析由题意可得椭圆的焦点在x轴上，如图所示，设|QEI=2c,y

...△PFiB为等腰三角形，且NFiB尸=120°,A\PF2\=\FIF2\=

,

2c.：\OF1\^c,二点P的坐标为（c+2ccos60°,2csin60°）,即点.

Pile,小c）.

•••点P在过点A,且斜率为小的直线上，A（-a,0），二舍下小，解得＞:，二04故

选D.

6.（2021•河北“五个一名校联盟”二诊）直线），=履与圆。-1）2+。-1）2=1交于M,N两点,

O为坐标原点，则痂•赤=（）

[k2

A-T+PB.[+正

C.1D.2

答案C

解析方法一：设M(xi,yi),N(X2,)2).

1\y-kx,

耳二立j(x—1)2+(y—1)2=1,

得(F+l)f—(2k+2)x+l=0.由/=8Q0得k>0,

f,2k+2

\Xi+X2-l(2+r.必

।[•••yiy2=_XM2=]+丁

f—1k1

OM•ON=x\xi+yIY2=RP+中j=l.故选c.

方法二：（特值法）

由题可知圆心C（l,1）,半径r=l,

令％=1,如图，此时直线过圆心，

则必•ON^\OM\-\ON\

=（ioq-r）-（ioq+r）

=|0C|2一3=1.故选C.

9,2

7.（2021・湖北十一校联考）直线x-y+l=O经过椭圆，+方=1（9>0）的左焦点F,交椭圆

于A,B两点，交y轴于C点，若危=2危，则该椭圆的离心率是（）

A.

2B警

C.2^2-2D.V2-1

答案A

解析如图所示，由题知产（-1,0）,C（0,1）.

FC=2AC,为尸C的中点,

•-2*2^,

又•・•点A在椭圆上,

又・・・层=。2+1,整理得4/-6层+1=0,

3+小=吟&故选A

=4

，+g=l（4>6>0）的左焦点，椭圆E上一点

8.（2021・安徽合肥质量检测）已知F是椭圆E：

P（2,1）关于原点。的对称点为Q.若△PQF的周长为4a+2小，则。-6=（）

B坐

A.^2

D.f

C.小

答案A

解析本题考查椭圆的定义及其对称性.取椭圆E的右焦点F',连接PF,QF',则四

边形QFP尸为平行四边形，则|尸尸|=|QF|.因为△P。尸的周长为4啦+2小，所以IPQ+IQQ

+俨。|=4、「+2小，所以|PQ+|P尸|+2|20|=4也+2下.由椭圆定义知，|PF|+|P尸|=2a,

因为尸(2,1),所以『0|=产彳=小.所以2a+2小=4&+2小，解得。=241又点尸(2,

1)在椭圆E上，所以一(20)《+表i解得6=也所以6=2吸一也="故选A.

9.已知尸&分别为椭圆C：京=1(a>b>0)的左、右焦点，过原点。且倾斜角为30°

的直线/与椭圆C的一个交点为4,若AQ_L43，S^F\AF2=2,则椭圆C的方程为()

A「十袅1B与+%1

C与+方=1D喘+聆=1

答案A

解析因为点A在椭圆上，所以|AFi|+|AF2l=2a,对其平方,得|AFIF+|AF2F+2|AFIMF2|

=4层.又4尸1_|_4尸2,所以|AFIF+|AF2|2=4/,则2|AFI|•依理=4/—4d=4/,即|AQ||AB|

=2b2,所以5八4尸|巳=/1尸||八尸2|=/=2.又44吊尸2是直角三角形，/尸/尸2=90°,且。

为FiB的中点，所以|OA|=TlQB|=c,由已知不妨设A在第一象限，贝!|乙4。尸2=30°,所

以A(坐c,%),则必6尸2=3•|F|F214c=%=2,c?=4,故a2=〃+c2=6,所以椭圆

方程为,+]=1.故选A.

10.(2021•马鞍山市高中毕业班质检汜知产为椭圆C：去+髭=1的左焦点，O为坐标原点，

点尸在椭圆C上且位于x轴上方，点A(—3,4),若直线OA平分线段PF,则/孙F的大小

为()

A.60°B.90°

C.120°D.无法确定

答案B

解析如图，设椭圆的上顶点为8(0,4),则因为A(-3,4),尸(一3,0).故AFJ_x轴，AB

轴.则四边形A3。尸为矩形，故当P在点B时满足直线04平分线段PF.

又设右焦点为N,因为04平分线段EB与FN,故8N〃A0.

故当直线0A平分线段P尸时，P只能在直线BN上.又点P在椭圆C上且位于x轴上方，

故当且仅当尸在8点时满足直线0A平分线段PF.

故N以尸尸=90°.故选B.

二、多项选择题

11.已知直线/：丘+y=0与圆M：/+方一标一2>+1=0,则下列说法中正确的是（）

A.直线/与圆M一定相交

B.若k=0,则直线/与圆M相切

C.当k=-1时，直线/与圆M的相交弦最长

D.圆心M到直线I的距离的最大值为啦

答案BCD

解析由f+y2—2x—2y+1=0得（x—l）2+（y—1>=1,故M（l,1）,r=1,直线/过原点，

不一定与圆M相交，故A错误；

当上=0时，/：y=0,直线/与圆例相切，故B正确；

当％=-1时，直线/的方程为〉=心过圆M的圆心，故C正确；

当直线/_LOM时，圆心M到直线/的距离最大为0〃=姬，故D正确.

72

12.（2021•武汉4月调研）已知F为椭圆点+*=1（。»>°）的一个焦点，4,B为该椭圆的两个

顶点，若|Af]=3,|Bf]=5,则满足条件的椭圆方程为（）

人.3+（=1B.f+f=1

C金+==1D.卧导=1

答案BCD

解析本题讨论48位置，由于椭圆的对称性，不妨设尸为右焦点，分3种情况讨论：

如图1,

如图2,

如图3,

综上，选BCD.

13.（2021.鸿浩超级联考）已知椭圆C：2+g=l（a>'>°）的左、右焦点分别为外，B，尸是

圆O：/+产="2上且不在X轴上的一点，且aPF尸2的面积s=坐底设c的离心率为e,

NFIPF2=8,则（）

A.\PFt\+\PF2\>2ciB.PFi•PF2=ab

答案AC

解析如图，由于点尸在C的外部，所以|PQ|+|PF2|>2m则A正确；

设P（xo,yo）（yoWO）,则m2+涧2=42,所以尸凡•尸尸2=（一c—沏，—yo）-（c

—xo,—yoj—x^—^+y^—^—c^—^^ab,则B错误；由x（r+y（r—a2

及yoWO,得O<|yo|Wa,由S==X2cX|yo|=R"/,解得伙）1=当屋,所以

0<十;Wa,即0<y[3(a2-c2)^2ac,即小e?+2e——小,0,解得坐

We<l,则C正确；由即।-PF2

="及母।•陌=|师川丽|cos9,得|苏讨雨|cosG=h2,从而△尸尸心的面积为S=1

义消下Xsin”=*tan。，结合5=坐乩解得tan。=小，则D错误.故选AC.

三、填空题

14.（2021•秦皇岛市二模）已知直线x+y-5=0与圆C：。-2）2+。-1）2=4相交于A,B两

点，则△ABC的面积为.

答案2

解析因为圆心C（2,1）到直线x+y—5=0的距离为与?=g,半径为r=2,所以|A8|

\1+1

=2"工=2巾，所以△ABC的面积为gx26><也=2.

22112

15.(2021•辽宁省高三模拟)已知圆G：x+y-2x+4y-\-4=0,圆C2：x+y+x~y-m^

0(/n>0),若圆C2平分圆C1的圆周，则正数m的值为.

答案3

解析圆C1的标准方程为。-1)2+°，+2)2=1,两圆的方程作差可得两圆的相交弦所在的直

线为3x—5y—z?i2—4=0,

由题意知Ci(l,-2)在此弦上，代入点Ci(l,-2)的坐标有3+10—加一4=0,解得根=3.

16.(2019•课标全国H1)设Q,B为椭圆C：京+太=1的两个焦点，M为C上一点且在第

一象限.若△〃吊尸2为等腰三角形，则M的坐标为.

答案(3,V15)

解析不妨令Fi,B分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知c=>36—20=4,则尸](一

4,0),3(4,0).因为△MQF2为等腰三角形，且M在第一象限，所以|QM=2c=8,所以

|F2M=2。-8=4.设M(x,y),

(叱v2

36+20=1-

则4|F1M|2=(X+4)2+y2=64,得'—3,

Q0,〔产正，

<y>0,

所以M的坐标为(3,b).

17.(2021•浙江)已知椭圆，+g=l(a»>0),焦点B(—c,0),F2(C,0)(00).若过人的直

线和圆G—相切，与椭圆在第一象限交于点尸，且尤轴，则该直线的斜率

是，椭圆的离心率是.

答案手乎

解析设过Fi的直线与圆的切点为圆心40c,0),连接AM,则|AM|=c,|AQ|=|c,

所以|M吊尸坐c,所以该直线的斜率火=翳=企-=芈.因为PF2LC轴，所以仍尸2|=9,

，IVIy[53a

2c

b1

又内尸2|一2c;所以“一5~2c~2ac~2e,e~5'

X2

+5=1(4*0)的左、右焦点分别为吊，尸2，点P

18.(2021•山东临沂一模)己知椭圆C：2

在椭圆上，且丽•用2=0，|PF||=W，IPF2尸?，则C的标准方程为；若过点

MT，1)的直线/与椭圆C交于两点，且点4B关于点M对称,则/的方程为

答案，+亍=12A—3y+6=0

解析记椭圆的半焦距为c,根据椭圆的定义可得，2〃=|PFi|+|PF2l=4W+苧14=6,则。=3,

又际i•布2=0,贝所以r周EPF如TPFiF=d等—竽=2币=2c,则c

=小，所以〃=4—02=4,因此椭圆c的标准方程为5+9=1.

/3、fxi+x2=-3,

设4即，yi),83,%),因为点A,B关于点火一2，对称，所以j,+),=2由题意

224

22X\+X2-X

两式作差可得气2=。,…脸•-----9

4yi+yz

(0=|,所以直线AB的方程为y—1=差+到=全+1,即2x—3y+6=0.

a培优练：重点班选做

不序逐.,2

19.定义曲线会+$=1为椭圆/+方=1的“倒椭圆”.已知椭圆Ci：,+尸1，它的“倒

椭圆”C2：£+}=1的一个对称中心为;过“倒椭圆”C2上的点P作直线PA垂

直x轴于点A,作直线PB垂直y轴于点B,则直线AB与椭圆Cl的公共点个数为.

答案(0,0)1

解析易知“倒椭圆”C2的一个对称中心为(0,0).

41

因为;1=1—?£(0,1),所以x£(—8,—2)U(2,+°°).

入y

41

设P(xo,)b)(xoyo#O),则77+不=1•①

人0j0

A(xo,0),3(0,泗)，

于是直线A3的方程为6+子=1,代入5+丁=1,得关于x的方程(为2+4州2*—8x0(4+

yo4

22222222

W(yo—1)=0,d=64尤02yo4-i6XO(XO+4yo)(yo—1)=-16xoWyo-4—4y0),

由①可得4yo2+M)2=Xo2yo2,从而/=。，所以直线AB与椭圆Q的公共点个数为1.

20.有一个装有足量水的圆柱形水杯，当水杯倾斜时，水面成椭圆形，水杯底面与水平面所

成的二面角为仇椭圆的离心率为伍当9=45°时，e=；e与。的关系为.

答案2e=sin0

解析本题考查椭圆的几何性质.如图所示，设圆柱的底面半径为R,椭

RR

圆的短轴为3囱，长轴为AAi,贝ij山①|=2b=2R,|AAi|=2a=2X,所以。

sin^——0cos0'

_R2=R2导7—1),

所以椭圆的离心率

=也

当(9=45°时，e=sin45°

~2■

|备选题

1.(2021・湖南高三考试)明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示，清朝的一个青花山水楼阁纹

饰椭圆盘如图2所示,北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示,这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆,

已知图1,2,3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为昆含y,设图1,2,3中椭圆的

离心率分别为ei，e2,63，贝！1()

图1图2图3

A.ei>e3>e2B.e2>e3>ei

C.ei>e2>e3D.e2>ei>e3

答案A

1-捻=小-朗,所以长轴长与短轴长的比值越大，离

解析因为椭圆的离心率

心率越大.因为W41.44,巧率1.24,万率1.43,所以ei>e3"2.

92

2.(2021•云南第二次检测)已知椭圆E：本=132°)的中心是坐标原点。，产是椭圆E

的焦点.若椭圆E上存在点P,使△OFP是等边三角形，则椭圆E的离心率为()

A-2B.4-2^3

C.^/3-l

答案C

3.己知圆的方程为*+9一以一6)，+11=0,直线/：x+y-t=0,若圆上有且只有两个不同

的点到直线/的距离等于半，则参数f的取值范围为()

A.(2,4)0(6,8)B.(2,4]U[6,8)

C.(2,4)D.(6,8)

答案A

解析把/+9一以一6)，+11=0变形为。-2)2+。-3)2=2,所以圆心的坐标为(2,3),半

径为小,则坐12募力<也+乎,解得2</<4或6<7<8.

4.已知P(x,y)是直线"+y+4=0(Q0)上一动点，PA,PB是圆C：*+)2—2)=0的两条

切线,A,8分别是切点，若四边形以CB的面积的最小值是2,则人的值为()

A.1B.A/2

C.A/3D.2

答案D

解析由题意知，圆C的圆心为C(0,1),半径r=l,四边形出CB的面积S=25APBC,若

四边形以CB的面积的最小值是2,则以/耽的最小值为1.而5衡=抑用芍尸8|,则|尸8|

的最小值为2,此时|PQ取得最小值，而甲。的最小值为圆心到直线的距离，所以1粤==

、]2+22=小,即3=4,由Q0,解得々=2.

5.已知椭圆号+方=1的左、右焦点分别为Q,匕，过尸2且垂直于长轴的直线交椭圆于A，

8两点，则△4BQ内切圆的半径为()

4

A.jB.1

C5D4

答案D

2h21

解析由椭圆的通径公式得|4阴=二-=3,则SZV18FI=1X2X3=3,又易得△A8FI的周长

13

C=4〃=8,则由S/\ABF]—~jC•r,可得r=].故选D.

6.(2021・长春市高三质量监测(四)，文)已知尸是椭圆方+£=13*0)的一个焦点，若直线

)，=£与椭圆相交于4,B两点，且NAF8=90°,则椭圆离心率是()

A粤B当

答案A

解析设点A在点B上方，直线倾斜角为a,则tana=坐,sina=；,cosa在

RtAAFB中，。（坐标原点）为AB中点，乙4尸8=90°,所以0A=）B=OF=c,贝I点A的

坐标为4号，f）,代入椭圆方程可得”+*=1,且层=“2—/,可解得4/=34,或

2c2=3/（舍去），则e2=*e=坐故选A.

7.【多选题】（2021•石家庄一模）已知椭圆C：，+1=13>">0）的左、右焦点分别为Q,F2,

长轴长为4,点尸（地，1）在椭圆内部，点。在椭圆上，则以下说法正确的是（）

A.离心率的取值范围为（0,I）

B.当离心率为当时，|QFi|+|QP|的最大值为4+坐

C.存在点Q使得江।•丽=0

D,|Q%|+|Q%|的最小值为1

答案BD

2271

解析由题意可知，“=2,...椭圆的方程为，r+%v=1.又点P（、21）在椭圆内部，

即户>2,又/<“2=4,=1一9（0,：）,.•.离心率e的取值范围为（0,

坐），故A错误；

若e=乎，则e2=l—・=l—*=*）2,解得/=£,则椭圆方程为5+5=1,.3（一孚,

2

0）,尸2咨，0）.由椭圆的定义得|QQ|+|QF2l=2a=4,...|QF||+|QP|=4一|QF2|+IQP|=4+

©P|一|QF2|W4+|PF2l=4+坐.当且仅当。，尸2,尸三点共线且尸2在。，P之间时取"="，

••・IQQI+I2PI的最大值为4+半，；.B正确；

c1=a2—h2=4—h2,2<fe2<4,c2—Z>2=4—2b2<Q,即c〈b.・,•以原点为圆心，c为半径的圆

与椭圆无交点，即椭圆上不存在点。，使得6莅•南=0,；.C错误；

：|QFi|+|QF2l=2a=4,

・1_L1L1」一1\（\nrii-mr0」」。6|」IQQI>1

..以1|+以2厂4（|QFi|+|QF2]>d+l°&—4Q+|QF||+|QF2|）1L

当且仅当|。尸||=|。尸2|=2时，"=”成立，...苏i+忌q的最小值为1,；.D正确.故选BD.

8.【多选题】(2021•大连市二模)已知椭圆C：舌+]=1的左、右焦点分别是Q，F2,左、

右顶点分别是4,42,点P是椭圆C上异于4,A2的任意一点，则下列说法正确的是()

A.|P尸i|+|PB|=4

B.存在点P满足NHPF2=90°

9

C.直线南|与直线以2的斜率之积为一而

L4r-

D.若△APF2的面积为2巾，则点尸的横坐标为4小

答案CD

9.已知点尸在直线x+y=4上，过点P作圆。：『+产=4的两条切线，切点分别为A,B,

则点M(3,2)到直线AB距离的最大值为()

A.^2B.小

C.2D.小

答案D

解析设P(a,b),则〃+匕=4,以OP为直径的圆的方程是。一乎+(3，-32=：(/+〃)，与

圆。的方程x2+y2=4相减，得直线AB的方程为ov+by=4,即or+by-4=0,因为a+b

=4,所以8=4—〃，代入直线A8的方程，得以+(4—a)y—4=0,即〃(x—y)+4y—4=0,

当x=y且4y—4=0,即x=l,y=l时该方程恒成立，所以直线A3过定点N(l，1),点M

到直线AB距离的最大值即为点M,N之间的距离，|MN|=小，所以点M(3,2)到直线AB

距离的最大值为小.故选D.

10.(2021.湖北高三模拟)设椭圆，+5=1的一个焦点为尸，则对于椭圆上两动点A,B,△

ABF周长的最大值为()

A.4+小B.6

C.2小+2D.8

答案D

11.(2020•课标全国I,文)已知圆的方程为f+y2-6x=0,过点(1,2)的直线被该圆所截得

的弦的长度的最小值为()

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析将圆的方程f+y2-6x=0化为标准方程(X-3)2+V=9,设圆心为C,则C(3,0),

半径r=3.设点(1,2)为点A,过点A(l,2)的直线为/,因为(1-3>+22<9,所以点=(1,2)

在圆C的内部，则直线/与圆C必相交，设交点分别为B,D易知当直线/LAC时，直线/

被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到直线/的距离为d,则d=\AC\=

N(3—1)2+(0-2)2=2啦,所以=—d=2^32—(2啦)2=2,即弦的长度

的最小值为2.故选B.

12.【多选题】椭圆C：$+/=l(a>6>0),F,,B分别为左、右焦点，4,4分别为左、右

顶点，P为椭圆上的动点，且河।•丽+或•谈2》0恒成立，则椭圆C的离心率可能为()

A.|B坐

C普D坐

答案AC

解析设尸(xo,州)，Fi(—c,0),F2(C,0),由题意知4(一。，0),A2(a,0),则事+$=1,

.".yo2=b2—~2'x(?.PF\,PF2-\-PA\•PA2=2%o2+2yo2—a2—c2=2xo2+ft2—,xo2^—«2—c2

=多-・刈2+/—3c22a2—3c2,o恒成立.3c2,；.0<e=§w乎.故选AC.

13.(2019•浙江)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2%-y+3=0与圆C相切

于点A(—2,—1),则机=,r=.

答案一2小

解析方法一：易得过点A(—2,—1)且与直线2x—y+3=