专题3-1利用基本不等式求最值（6大题型）

利用基本不等式求最值一、基本不等式常用的结论1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、二、利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.三、利用基本不等式求最值的方法1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法；类型2：分母为多项式时方法1：观察法适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系；方法2：待定系数法，适用于所有的形式，如分母为与，分子为，设∴，解得：4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。题型一直接法求最值【例1】（2023秋·新疆昌吉·高一校考期末）已知，且，则的最大值为（）A．B．25C．36D．49【答案】C【解析】因为，，即，当且仅当时取到等号，故的最大值为36.故选：C【变式11】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）若，，，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，，，所以，所以，当且仅当时等号成立，所以，即的最小值为.故选：A.【变式12】（2022秋·陕西汉中·高一校联考期末）若满足，则的最大值是.【答案】2【解析】由均值不等式可得，当且仅当时等号成立，所以，所以，故的最大值是.【变式13】（2022秋·福建三明·高一校考阶段练习）若，则的最大值为（）A．9B．16C．49D．64【答案】B【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号；故选：B【变式14】（2022秋·吉林长春·高一校考期中）已知，则的最大值为（）A．2B．4C．5D．6【答案】A【解析】因为，所以可得，则，当且仅当，即时，上式取得等号，的最大值为2．故选：A．【变式15】（2022秋·重庆·高一校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（）A．16B．12C．8D．4【答案】D【解析】因为，所以.又.所以，当且仅当时，等号成立.故选：D题型二配凑法求最值【例2】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）若，则的最小值是（）A．B．1C．D．【答案】A【解析】若，则,所以，当且仅当，即时等号成立，则的最小值是1.故选：A【变式21】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）若，则的最大值是【答案】【解析】，∵，∴，，∴，当且仅当即时，等号成立.∴，∴的最大值为.【变式22】（2023秋·四川绵阳·高三校考阶段练习）已知，，且，则xy的最大值为（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】，当且仅当时，取等号.即xy的最大值为1.故选：C【变式23】（2023·海南·高三模拟预测）设，则函数，的最小值为（）A．7B．8C．14D．15【答案】D【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以函数的最小值为15，故选:D．题型三消元法求最值【例3】（2023秋·辽宁·高一校考阶段练习）已知正实数满足，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为正实数满足，所以，因为，所以，即.设，所以，当且仅当，即时取等号.所以的最小值为.故选：C【变式31】（2023秋·浙江·高一校考阶段练习）已知实数，满足，且，则的最小值是（）A．33B．26C．25D．21【答案】C【解析】实数，满足，且，可得，则，令，即有，则，当且仅当，即时，取得最小值，所以的最小值是，当且仅当、时取等号．故选：C．【变式32】（2023秋·四川泸州·高一校考阶段练习）若正数满足，则的最小值是（）A．2B．C．4D．【答案】C【解析】因为正数满足，所以，则，所以，当且仅当，即时，等号成立.故选：C.【变式33】（2023秋·山东枣庄·高一校考期末）负实数，满足，则的最小值为（）A．1B．0C．D．【答案】B【解析】根据题意有，故，当且仅当，时取等号．故选：【变式34】（2023·高一课时练习）已知正实数x，y满足，则的最大值是.【答案】/【解析】由可得：，则.当且仅当，即时取等.题型四乘“1”法求最值【例4】（2023春·广东汕头·高一校考期中）已知正实数满足，则的最小值为.【答案】【解析】因为正实数满足，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为.【变式41】（2023秋·江苏·高三10月联考）若满足，则的最小值为（）A．B．C．12D．16【答案】D【解析】因为，，两边同除得，所以．当且仅当时等号成立，故选：D.【变式42】（2023秋·辽宁朝阳·高一统考阶段练习）若，，且满足，则的最小值是（）A．10B．12C．14D．16【答案】C【解析】，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是14．故选：C【变式43】（2023秋·广东广州·高一校考阶段练习）已知正实数x，y满足，则的最小值．【答案】【解析】因为，所以，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.题型五双换元法求最值【例5】（2022秋·四川成都·高一校联考期中）若实数、满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，，则，，且，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，的最大值为.故选：C.【变式51】（2023秋·浙江杭州·高一校考期末）若，，且，则的最小值为（）A．4B．C．D．【答案】C【解析】设，则，且，题目转化为已知，求的最小值，即，而，当且仅当，即时等式成立.所以.故选：C.【变式52】（2023春·浙江衢州·高一校考阶段练习）设x，y是正实数，且，则的最大值是.【答案】【解析】令，则，可得，即，且，∵，当且仅当，即时，等号成立，可得，∴，即的最大值是.【变式53】（2022秋·广东惠州·高一校考阶段练习）已知正数满足，则的最小值为.【答案】【解析】令，则，即，，当且仅当，即时，解得时等号成立，故的最小值为.【变式54】（2023秋·陕西渭南·高一统考期末）已知，，则最小值为．【答案】16【解析】由，可知，，令，，所以，当且仅当“”时，两个等号同时成立．则x=y=3时最小值为16.题型六构造不等式法求最值【例6】（2023秋·河南新乡·高一统考阶段练习）若正数满足，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，，，，得，当且仅当即时，等号成立，所以，即的最大值为.故选：A.【变式61】（2022秋·广东惠州·高一校考阶段练习）已知，且，则的最大值为（）A．B．C．3D．4【答案】A【解析】，化简得：，解得，当且仅当，即时取等号，故的最大值为.故选：A.【变式62】（2023秋·天津东丽·高一校考阶段练习）已知，且，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，且，则有，得，当且仅当时等号成立，所以的最小值是4.故选：D【变式63】（2023