高中数学-数学归纳法（一）教学设计学情分析教材分析课后反思

数学归纳法（一）

一.学习目标：

1.通过观看多米诺骨牌视频，了解数学归纳法的原理，知道数学归纳法是一种用于证明

与正整数〃有关命题的科学的证明方法.并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步

骤.

2.通过几个使用数学归纳法证明问题的例子，使学生初步知道如何用数学归纳法证明一

些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写证明过程.

学习重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能运用它证明一

些与正整数“（〃取无限多个值）有关的数学命题.

学习难点：数学归纳法思想实质的理解，对第二个步骤假设的作用认识不足，对如何用上归

纳假设感到困难.

二.课前知多少？

1.你刚学过的证明问题的两类基本方法有和;

2.和是直接证明中的最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常

用的思维方式.

3.综合法是从已知条件和某些数学定义、公理、定理等出发，逐步推向未知，每一步寻找

的是一条件；分析法是从要证的结论出发，逐步向已知靠拢，每一步寻找的是一条件.

三.认真观察独立思考合作探究大胆展示问题解决

（一）问题引入

对于“已知数列｛七｝中，q=l,且%M=—工（〃=1,2,3,…），试归纳出这个数列的通

1+%

项公式."易得到%这样的猜想.（如何证明这个猜想是正确的呢？）

n

（二）试验与现象分析

观看“多米诺骨牌游戏视频”

思考与讨论

问题1：骨牌倒下用不用一块一块地人工推倒？

问题2：要保证骨牌全部倒下，必须满足什么条件？

（三）思考与讨论

问题3：你认为要证明这个猜想=!与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比这个

n

游戏的原理解决这个问题吗？

问题4：试根据对上面这个具体问题的分析，把问题一般化，尝试写出解决证明一个与

正整数〃有关命题的步骤：

问题5：对比多米诺骨牌游戏原理与数学归纳法步骤，填写下表:

多米诺骨牌游戏原理数学归纳法步骤

条件或(1)(1)

步骤

(2)(2)

结果

(四)实践方法深化概念

例1.用数学归纳法证明V+22+…+〃2=〃(〃+1)(2〃+1)(“eN*)

四.课堂达标：

(一)下面是某个同学利用数学归纳法证明的过程。它的过程对吗？如果有错误，请改正!

1.请用数学归纳法证明l+3+5+7+-+(2〃—l)=〃2,〃eN*

证明：假设〃=k(左eN*)时等式成立，即

1+3+5+7+…+(2k-1)=1

那么,

1+3+5+7+…+(2k-l)+(2&+l)=k2+2&+I=伙+1)2

即当〃=k+1时等式也成立。

2请用数学归纳法证明：1+2+3+4+…+〃eN*)

证明(1)当〃=1时，左边=1,右边="±2=1,左边=右边，等式成立.

2

(2)假设〃=攵伏eN*)时等式成立，即

,__,k(k+1)

1+2+3+…+&=-^-----

2

则当〃=&+1时,1+2+3+…+氏+左+1=出匕“此匕吐」

2

根据(1)和(2),可知等式对任何〃eN"都成立.

(二)用数学归纳法证明首项为q，公差为。的等差数列｛处｝的通项公式

an-a}+(〃一l)d

五.作业

“2（"+11?

1.用数学归纳法证明I3+23+---+n3=」——L（〃eN*）

4

2.先利用你学过的等比数列知识写出1+2+2?+…+2"(〃eN)的结果，然后再用数学

归纳法证明证明你写出结果的正确性.

学情分析

数学归纳法的实质是归纳递推，要想学生对数学归纳法的两步深入理解，需要一个过程，要

步步引导，体会每一步的作用，知道两步缺一不可，对于好学生问题不大，但对于成绩差的

学生理解肯定会有困难。

效果分析

通过这样的设计，学生对数学归纳法有了很清楚的认识，并且对两个步骤的作用有了深刻的

理解，能够很好的运用数学归纳法解决问题。

教材分析

数学归纳法教学安排有2课时，第一课时得出数学归纳法的定义及其步骤，第二课时强化提

升，教材设计合理，层层递进，使学生容易接受和理解。

课堂达标：

(一)下面是某个同学利用数学归纳法证明的过程.它的过程对吗？如果有错误，请改正！

1.请用数学归纳法证明l+3+5+7+-+(2〃—l)=〃2,〃eN*

证明：假设〃=eN*)时等式成立，即

1+3+5+7+…+(2k-l)=A：2

那么,

l+3+5+7+―+(2k-l)+(2/+l)=%2+2%+l=(4+l)2

即当〃=k+1时等式也成立。

2请用数学归纳法证明：1+2+3+4+…+〃="(”+1),(〃eN*)

证明(1)当〃=1时,，左边=1,右边=3土？=1,左边=右边，等式成立.

2

(2)假设〃=©ZeN*)时等式成立，即

,__,k(k+1)

1+2+3+…+左=------

2

则当〃=4+1时,1+2+3+…+Z+:+1=0+1)1(.+1[上1]

2

根据(1)和(2),可知等式对任何〃eN*都成立.

(二)用数学归纳法证明首项为q，公差为d的等差数列｛4｝的通项公式4=%

数学归纳法教学反思

数学归纳法是高中数学中的一个重点和难点内容，也是一种重要

的数学方法，数学归纳法这一方法，贯通了高中数学的几大知识点:

等式，不等式，数列，整除问题，平面几何等。通过对它的学习，能

起到以下几方面的作用：提高学生的逻辑思维、推理能力；培养学生

辩证思维素质，全面提高学生数学能力；培养学生科学探索的创新精

神，提高学生综合素质。

对数学归纳法的教学，我主要从以下几个方面进行设计：

(1)为什么要使用数学归纳法？

(2)什么是数学归纳法？

(3)什么时候使用数学归纳法？

(4)怎样正确使用数学归纳法？

根据本节课的内容和学生的实际水平，我采用的是引导发现法和

感性体验法进行教学。

先是给出求数列通项的一个题目，学生自主完成，结果几乎都是

用不完全归纳法得出结论的，这个结论的正确性有待进一步的证明，

这就要寻找新的方法--数学归纳法，又通过观看多米诺骨牌游戏,

让学生思考所有骨牌倒下的条件，然后利用类比的方法，得到数列问

题解决的方法，然后再扩展到一般性问题上来，让学生给出一般性问

题的解决步骤，也就是数学归纳法的步骤。这样的设计，由浅入深,

步步递进，学生积极的思