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2023—2024学年第二学期五校期初调研测试高二数学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.直线倾斜角为A.B.C.D.2.抛物线的焦点坐标为A. B. C. D.3.数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的高阶等差数列,其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列,如数列2,4,7,11,16,从第二项起,每一项与前一项的差组成新数列2,3,4,5,新数列2,3,4,5为等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等差数列.现有二阶等差数列,其中前几项分别为2,5,9,14,20,27,记该数列的后一项与前一项之差组成新数列,则A.8 B.9 C.10 D.114.已知数列均为等差数列,,,则A.9B.18C.16D.275.已知为椭圆的右焦点,为的左顶点,为上的点,且垂直于轴.若直线的斜率为,则椭圆的离心率为A. B. C. D.6.设,若函数有极值点,则的取值范围为A.B.C.D.7.已知圆,点是圆上的一点,过点作圆的的切线与圆相切于点,则的最小值为A. B. C. D.8.已知,,,,则的大小关系为A.B.C.D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.已知函数,则A.有两个极值点 B.有三个零点C.直线是曲线的切线 D.若在区间上的最大值为3,则10.已知数列和满足,,,.则A.是等比数列 B.是等差数列C. D.11.已知点在圆上,点,,则A.存在点,使得 B.存在点,使得C. D.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.若函数的图象是连续平滑曲线,且在区间上恒非负,则其图象与直线,,轴围成的封闭图形的面积称为在区间上的“围面积”.根据牛顿莱布尼茨公式,计算面积时,若存在函数满足,则为在区间上的围面积.函数在区间上的围面积是____________.13.在等比数列中,,为该数列的前项和,为数列的前项和,且,则实数的值是____________.14.双曲线的左、右焦点分别是,,离心率为,点是的右支上异于顶点的一点,过作的平分线的垂线,垂足是,,若上一点满足,则到的两条渐近线距离之和为____________.四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.(13分)设,函数的单调增区间是.(1)求实数a;(2)求函数的极值.16.(15分)已知点到点的距离比到直线的距离小1,记点的轨迹为.(1)求的方程;(2)过点的直线与交于两点,且,求.17.(15分)已知数列的各项均大于1,其前项和为,数列满足,,,数列满足,且,.(1)证明:数列是等差数列;(2)求的前项和.18.(17分)在平面直角坐标系中,已知点,,记的轨迹为.(1)求的方程;(2)过点的直线与交于两点,,,设直线的斜率分别为.(i)若,求;(ii)证明:为定值.19.(17分)已知函数,.(1)若函数在定义域上单调递增,求的取值范围;(2)若函数有两个极值点.(i)求的取值范围;(ii)证明:.2023—2024学年第二学期五校期初调研测试高二数学参考答案一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.B2.D3.C4.A5.B6.A7.B8.D二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.ABD10.ABD11.ACD填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.13.14.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)解:....................................3分因为函数的单调增区间是,所以,解得.......6分当时,令,则或列表如下:x1f'(x)−0+0−f(x)↘极小值↗极大值↘.............10分当时,有极小值,当时,有极大值0.............13分16.(15分)解:(1)由题意,到的距离和到直线的距离相等......................................2分故点的轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,....................................4分故曲线的方程为;....................................5分
(2)设直线的方程为,联立,消去得,设,................................7分则,因为,则,................................10分解方程组,可得,或................................13分所以.................................15分17.(15分)解(1)①,②,①②得,....................................2分整理得,或,....................................4分又,得或(舍去),若,则,得,舍去,,即,数列是以为首项,为公差的等差数列;....................................7分(2)由(1)可得,即,....................................8分,....................................10分,令,则,两式相减得,,....................................14分.....................................15分18.(17分)解:(1)因为,根据椭圆的定义可知曲线为以为焦点的椭圆,..........................................2分其中,所以椭圆方程:..................................................4分(2)(i)易知直线的斜率不为零,所以设直线的方程为,,,,得,则,则,.................................................6分,.................................................11分..................................................12分(ii)因为,.............................................16分为定值..................................................17分19(17分)解:(1)在上恒成立,..........................................2分所以在上恒成立,..........................................3分因为,所以,经检验,符合题意..............................4分(2)(i)由题设且,若,则在上恒成立,即递增,不可能有两个极值点,不符;.......................................6分故,又有两个极值点,则是的两个不同正根,所以,可得,即实数的取值范围是........................................9
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