【新步步高】2018版高考数学(理)一轮复习第五章平面向量5.4平面向量的综合应用

§5.4平面向量的综合应用根底知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引根底知识自主学习问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔

⇔

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔

⇔

，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量1.向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：知识梳理a＝λbx1y2－x2y1＝0x1x2＋y1y2＝0a·b＝0夹角问题数量积的定义cosθ＝

(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|＝

＝

，其中a＝(x，y)，a为非零向量(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：平面几何问题

向量问题

解决向量问题

解决几何问题.2.平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是

，它们的分解与合成与向量的

相似，可以用向量的知识来解决.(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cosθ(θ为F与s的夹角).矢量加法和减法3.向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题.知识拓展2.假设直线l的方程为：Ax＋By＋C＝0，那么向量(A，B)与直线l垂直，向量(－B，A)与直线l平行.几何画板展示判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)假设∥，那么A，B，C三点共线.()(2)向量b在向量a方向上的投影是向量.()(3)假设a·b＞0，那么a和b的夹角为锐角；假设a·b＜0，那么a和b的夹角为钝角.()(4)在△ABC中，假设·<0，那么△ABC为钝角三角形.()(5)平面直角坐标系内有三个定点A(－2，－1)，B(0，10)，C(8,0)，假设动点P满足： ，t∈R，那么点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.()√×××√思考辨析

考点自测1.(教材改编)△ABC的三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(5,2)，C(－1，－4)，那么该三角形为A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等腰直角三角形答案解析∴△ABC为直角三角形.

A.6 B.5C.4 D.3在△ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cosA＝BC2，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.又D为边BC的中点，所以

，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3，故选D.答案解析答案解析x＋2y－4＝0由

＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.4.(2016·银川模拟)向量a＝(cosθ，sinθ)，b＝(，－1)，那么|2a－b|的最大值为_____.设a与b夹角为α，∵|2a－b|2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4|a||b|cosα＝8－8cosα，∵α∈[0，π]，∴cosα∈[－1,1]，∴8－8cosα∈[0,16]，即|2a－b|2∈[0,16]，∴|2a－b|∈[0,4].∴|2a－b|的最大值为4.4答案解析几何画板展示5.一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，那么力F所做的功W＝______J.W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉＝6×100×cos60°＝300(J).300答案解析题型分类深度剖析题型一向量在平面几何中的应用例1(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.假设 ＝1，那么AB＝_____.答案解析在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，

(2)O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，假设动点P满足 ，λ∈(0，＋∞)，那么点P的轨迹一定通过△ABC的A.内心 B.外心C.重心 D.垂心答案解析引申探究本例(2)中，假设动点P满足 ，λ∈(0，＋∞)，那么点P的轨迹一定通过△ABC的______.内心答案解析向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，那么有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.(2)基向量法适中选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解.思维升华

跟踪训练1

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.三边均不相等的三角形答案解析5答案解析以D为原点，分别以DA，DC所在直线为x轴、y轴建立如下图的平面直角坐标系，设DC＝a，DP＝y.那么D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，y)，由点P是腰DC上的动点，知0≤y≤a.题型二向量在解析几何中的应用例2(1)向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，假设k为直线的斜率，那么过点(2，－1)的直线方程为___________.2x＋y－3＝0∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0，解得k＝－2或k＝11.由k<0可知k＝－2，那么过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.答案解析答案解析向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.(2)工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)，a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法.思维升华跟踪训练2(2016·合肥模拟)如下图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，假设P为半径OC上的动点，那么 的最小值为________.∵圆心O是直径AB的中点，答案解析题型三向量的其他应用命题点1向量在不等式中的应用答案解析因为

＝(x,1)，

＝(2，y)，所以

＝2x＋y，令z＝2x＋y，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z＝2x＋y过点C(1,1)时，zmax＝2×1＋1＝3，目标函数z＝2x＋y过点F(a，a)时，zmin＝2a＋a＝3a，所以3＝8×3a，解得a＝

.

命题点2向量在解三角形中的应用例4(2016·合肥模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，假设20a＋15b＋12c＝0，那么△ABC最小角的正弦值等于答案解析∴△ABC最小角为角A，

命题点3向量在物理中的应用例5如图，一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态.F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，那么F3的大小为答案解析利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化.思维升华跟踪训练3(1)函数y＝sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下图，M、N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且 ＝0，那么函数f(x)的最小正周期是____.答案解析3解得xN＝2，答案解析3

三审图形抓特点审题路线图系列审题路线图答案解析返回由E为该函数图象的一个对称中心，作点C的对称点M，作MF⊥x轴，垂足为F，如图.返回课时作业A.等边三角形

B.等腰三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形√答案解析12345678910111213故△ABC一定是直角三角形.123456789101112132.(2016·山东)非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝.假设n⊥(tm＋n)，那么实数t的值为√∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即tm·n＋n2＝0，∴t|m||n|cos〈m，n〉＋|n|2＝0，答案解析123456789101112133.(2016·南宁模拟)向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)且a∥b，那么sin2α等于√由a∥b得cosα＋2sinα＝0，∴cosα＝－2sinα，又sin2α＋cos2α＝1，答案解析123456789101112134.(2016·武汉模拟)设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，假设m·n＝1＋cos(A＋B)，那么C等于√答案解析123456789101112135.点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足＝x2，那么点P的轨迹是A.圆 B.椭圆C.双曲线 D.抛物线√∵＝(－2－x，－y)，

＝(3－x，－y)，∴

＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2，∴y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线.12345678910111213答案解析*6.假设平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，那么α与β的夹角θ的取值范围是________.答案解析12345678910111213如图，向量α与β在单位圆O内，由于|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，故以向量α，β为两边的三角形的面积为，故β的终点在如下图的线段AB上(α∥，且圆心O到AB的距离为)，因此夹角θ的取值范围为 .123456789101112137.在菱形ABCD中，假设AC＝4，那么 ＝________.－8设∠CAB＝θ，AB＝BC＝a，由余弦定理得：a2＝16＋a2－8acosθ，∴acosθ＝2，∴

＝4×a×cos(π－θ)＝－4acosθ＝－8.答案解析123456789101112138.平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为.以a，b为邻边作平行四边形，那么此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______.答案解析∵|a＋b|2－|a－b|2＝4a·b＝4|a||b|cos

＝4>0，∴|a＋b|>|a－b|，又|a－b|2＝a2＋b2－2a·b＝3，∴|a－b|＝

.123456789101112139.|a|＝2|b|≠0，且关于x的函数f(x)＝x3＋|a|x2＋a·bx在R上有极值，那么向量a与b的夹角的范围是__________.答案解析12345678910111213设a与b的夹角为θ.

∴f′(x)＝x2＋|a|x＋a·