概率专题 高三数学一轮复习

高中数学高考--概率（一轮复习）课时一知识点一概率综合,写出简单离散型随机变量分布列典例1、某智能共享单车备有、两种车型，采用分段计费的方式营用，型单车每30分钟收费0.5元（不足30分钟的部分按30分钟计算），型单车每30分钟收费1元（不足30分钟的部分按30分钟计算），现有甲、乙、丙三人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲、乙、丙不超过30分钟还车的概率分别为，，，并且三个人每人租车都不会超过60分钟，甲、乙均租用型单车，丙租用型单车.（1）求甲、乙两人所付的费用之和等于丙所付的费用的概率；（2）设甲、乙、丙三人所付费用之和为随机变量，求的分布列和数学期望.随堂练习：某公司生产某种食用菌，为了销往全国各地，把该食用菌分为一级、优级、特级、珍品共四个等级，并以每件0.5kg的标准进行统一包装．某采购商订购了一批这种食用菌，并从中随机抽取100件，按该食用菌的等级分类标准得到数据如下表：等级一级优级特级珍品件数20103040（1）以样本估计总体，将频率视为概率，从这100件食用菌中有放回随机抽取3件，求恰好抽到2件珍品的概率；（2）用分层抽样的方法从这100件食用菌中抽取10件，再从抽取的10件中随机抽取3件，设X表示抽取的是珍品等级的件数，求X的分布列及数学期望．典例2、第届冬季奥林匹克运动会，于年月在北京市和张家口市联合举行．某校寒假期间组织部分滑雪爱好者参加冬令营集训．训练期间，冬令营的同学们都参加了“单板滑雪”这个项目相同次数的训练测试，成绩分别为、、、、五个等级，分别对应的分数为、、、、．甲、乙两位同学在这个项目的测试成绩统计结果如图所示．（1）根据上图判断，甲、乙两位同学哪位同学的单板滑雪成绩更稳定？（结论不需要证明）（2）求甲单板滑雪项目各次测试分数的众数和平均数；（3）若甲、乙再同时参加两次测试，设甲的成绩为分并且乙的成绩为分或分的次数为，求的分布列（频率当作概率使用）．

随堂练习：某调研机构就该市工薪阶层对“楼市限购令”的态度进行调查，抽调了5000名市民，他们月收入人数分布表和对“楼市限购令”赞成人数如下表：月收入(单位：百元)调查人数500100015001000500500赞成人数40080012004149987（1）若从抽调的5000名市民中随机选取一名市民，求该市民赞成“楼市限购令”的概率；（2）依据上表中的数据，若从该市工薪阶层随机选取两人进行调查，记赞成“楼市限购令”的人数为X,求X的分布列和数学期望；（3）若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作；若从抽调的收入在(百元)的市民中随机抽取两名，记赞成“楼市限购令”的人数为，期望记作，比较与的大小关系.(直接写出结论即可)典例3、年月日，郑渝高铁实现全线贯通运营.郑渝高铁北起河南省郑州市，南至重庆市，途经河南、湖北、重庆三省市，全长公里，此前，北京到重庆的高铁列车耗时小时分，现在只需小时分；石家庄至重庆高铁的耗时由小时分缩短至小时分，郑州至重庆的耗时由小时分缩短至小时分，不仅如此，郑渝高铁还是一条旅游线，串联起了嵩山少林寺、襄阳古隆中、神农架原始森林、巫山大小三峡、奉节白帝城等众多著名旅游景点.现有一列郑渝高铁从重庆北发出，某节车厢内共有位旅客，每位旅客等可能地从云阳、奉节、巫山、巴东、神农架、襄阳东共个车站中选择一站下车，且彼此独立.（1）求这位旅客选择下车的车站互不相同的概率；（2）设这位旅客选择下车的车站共有个，求的分布列和期望.

随堂练习：某银行招聘，设置了A，B，C三组测试题供竞聘人员选择.现有五人参加招聘，经抽签决定甲、乙两人各自独立参加A组测试，丙独自参加B组测试，丁、戊两人各自独立参加C组测试.若甲、乙两人各自通过A组测试的概率均为；丙通过B组测试的概率为；而C组共设6道测试题，每个人必须且只能从中任选4题作答，至少答对3题者就竞聘成功.假设丁、戊都只能答对这6道测试题中4道题.（1）求丁、戊都竞聘成功的概率；（2）记A、B两组通过测试的总人数为，求的分布列和期望.知识点二由递推关系证明等比数列,写出简单离散型随机变量分布列,求离散型随机变量的均值,利用等比数列的通项公式求数列中的项典例4、足球运动被誉为“世界第一运动”.为推广足球运动，某学校成立了足球社团由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：（1）下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率.为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为，求；点球数203030252025进球数101720161314（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到.记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第次触球者，第n次触球者是甲的概率记为.（1）求，，（直接写出结果即可）；（2）证明：数列为等比数列.

随堂练习：雅礼中学是三湘名校，学校每年一届的社团节是雅礼很有特色的学生活动，几十个社团在一个月内先后开展丰富多彩的社团活动，充分体现了雅礼中学为学生终身发展奠基的育人理念.2022年雅礼文学社举办了诗词大会，在选拔赛阶段，共设两轮比赛.第一轮是诗词接龙，第二轮是飞花令.第一轮给每位选手提供5个诗词接龙的题目，选手从中抽取2个题目，主持人说出诗词的上句，若选手正确回答出下句可得10分，若不能正确回答出下可得0分.（1）已知某位选手会5个诗词接龙题目中的3个，求该选手在第一轮得分的数学期望；（2）已知恰有甲､乙､丙､丁四个团队参加飞花令环节的比赛，每一次由四个团队中的一个回答问题，无论答题对错，该团队回答后由其他团队抢答下一问题，且其他团体有相同的机会抢答下一问题.记第次回答的是甲的概率是，若.①求和；②证明：数列为等比数列，并比较第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大小.典例5、现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．（1）设乙接到球的次数为，通过三次传球，求的分布列与期望；（2）设第次传球后，甲接到球的概率为，

（i）试证明数列为等比数列；（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．

随堂练习：为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若，求i的最小值.典例6、某校班主任利用周末时间对该班级2019年最后一次月考的语文作文分数进行了一次统计，发现分数都位于20﹣55之间，现将所有分数情况分为[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）七组，其频率分布直方图如图所示，已知m＝2n，[30，35）这组的参加者是12人．（1）根据此频率分布直方图求图中m，n的值，并求该班级这次月考作文分数的中位数；（2）组织者从[35，40）这组的参加者（其中共有5名女学生，其余为男学生）中随机选出1人（为公平起见，把每个人编号，通过号码确定），如果选到男学生，则该学生留在本组，如果选到女生，则该女生交换一个男生到该组中去（已知本班男生人数多于女生人数），重复上述过程n次后，该组中的男生人数为Xn．①求随机变量X1的概率分布及数学期望E（X1）；②求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式．

随堂练习：中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格：月份x12345体重超重的人数y640540420300200若该大学体重超重人数y与月份变量x（月份变量x依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A队员控制，此后排球仅在A队员、B队员和C队员三人中传递，已知每当球由A队员控制时，传给B队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由B队员控制时，传给A队员的概率为，传给C队员的概率为；每当球由C队员控制时，传给A队员的概率为，传给B队员的概率为.记，，为经过n次传球后球分别恰由A队员、B队员、C队员控制的概率.（i）若，B队员控制球的次数为X，求；（ii）若，，，，，证明：为等比数列，并判断经过200次传球后A队员控制球的概率与的大小.附1：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；.附2：参考数据：，.

2025高考--概率（一轮复习）课时一答案典例1、答案：（1）（2）分布列见解析，解：（1）由题意，甲乙丙在3分钟以上且不超过6分钟还车的概率分别为，，，设“甲乙两人所付费用之和等于丙所付费用”为事件，则；（2）随机变量所有可能取值有2，2.5，3，3.5，4，则，，，，，所以，甲乙丙三人所付费用之和的分布列为22.533.54∴随堂练习：答案：（1）；（2）分布列见解析，解：（1）设Y表示每个顾客取到食品所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布列如下:123450.050.450.350.10.05A表示事件“恰好4分钟后，第三个顾客开始等待取食品”，则事件A对应三种情形：①第一个人取到食品所需的时间为1分钟，且第二个人取到食品所需的时间为3分钟；②第一人取到食品所需的时间为3分钟，且第二人取到食品所需的时间为1分钟；③第一个和第二个人取到食品所需的时间均为2分钟.所以.（2）X所有可能的取值为0，1，2.对应第一个人取到食品所需的时间超过2分钟，所以;对应第一个人取到食品所需的时间为1分钟且第二个人取到食品所需的时间超过1分钟，或第一个人取到食品所需的时间为2分钟，所以；对应两个人取到食品所需的时间均为1分钟，所以；所以X的分布列为：0120.50.49750.0025所以典例2、答案：（1）（2）分布列见解析，解：（1）由已知条件知，当两名高级导游来自甲旅游协会时，有种不同选法；当两名高级导游来自乙旅游协会时，有种不同选法，则所以事件发生的概率为；（2）随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，4.，，，，，所以，随机变量的分布列为01234所以，随机变量的数学期望为（人）随堂练习：答案：（1）（2）解：（1）设甲获得的奖金为元，则可能的取值为0，200，700．，，，所以，甲获得的奖金的概率分布列为：0200700所以．（2）由（1）可知，获得二等奖的概率为0.14，获得一等奖的概率为0.035．设事件A：甲和乙最后所得奖金之和为900元，设事件B：甲选手获得一等奖，由（1）知获得二等奖的概率为，获得一等奖的概率为，所以，所以，所求的概率．典例3、答案：（1）（2）分布列答案见解析，解：（1）记事件这位旅客选择下车的车站互不相同，则.（2）由题意可知，随机变量的可能取值有：、、、，则，，，，因此，随机变量的分布列如下表所示：所以，.随堂练习：答案：（1）（2）分布列见解析，解：（1）设参加C组测试的每个人竞聘成功为A事件，则又两人竞聘成功相互独立，故丁、戊都竞聘成功的概率等于由题意可知可取0，1，2，3，又3人竞聘成功相互独立，则，，，，故的分布列为：0123所以.典例4、答案：（1）（2）（i），，（ii）证明见解析；详解:（1）这150个点球中的进球频率为，则该同学踢一次点球命中的概率，由题意，可能取1，2，3，则，，，则的期望.（2）（i）因为从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，所以第1次触球者是甲的概率，显然第2次触球者是甲的概率，第2次传球有两种可能，所以第3次触球者是甲的概率概，（ii）∵第n次触球者是甲的概率为，所以当时，第次触球者是甲的概率为，第次触球者不是甲的概率为，则.从而，又，∴是以为首项，公比为的等比数列.随堂练习：答案：（1）12（2）①；②证明见解析，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大解：（1）设该选手答对的题目个数为，该选手在第一轮的得分为，则，易知的所有可能取值为，则，，，故的分布列为012，则.（2）①由题意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，则.②由第次回答的是甲的概率为，得当时，第次回答的是甲的概率为，第次回答的不是甲的概率为，则，即，又，是以为首项，为公比的等比数列，则，第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大..典例5、答案：（1）分布列见解析，（2）（i）证明见解析；（ii）答案见解析.解：（1）由题意知的取值为，；；；所以X的分布列为012所以；（2）（i）由题意：第一次传球后，球落在乙或丙手中，则，时，第次传给甲的事件是第次传球后，球不在甲手上并且第次必传给甲的事件，于是有，即，故数列是首项为，公比为的等比数列;（ii），所以，当时，，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数.随堂练习：答案：（1）；（2）①，，且；②5.解：（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件，所以甲前3次答题得分之和为40分的概率.（2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则，甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分