高中数学必须第二册（苏教版）课后习题第十二章复数：第12章测评

第12章测评

（时间:120分钟满分:150分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知复数z=2+i,贝Uz2=()

A.V3B.V5C.3D.5

HJD

解桐•.•z=2+i,；.2=2-i.；.z5=（2+i）（2-i）=5.故选D.

2.（2021河南郑州一模）复数z=2,在复平面内复数z的共扼复数对应的点位于（）

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案|D

.._2_碧4=l+i,；.2=l-i.；.z的共貌复数在复平面内对应的点的坐标为（1,-1）,位于第四象

•Z~~\~

限.故选D.

3.设z=^，则|z|=()

A.2B.V3C.V2D.1

^]c

――3-i._(3-i)(l-2i)_1_7.

・乙-1+2r..Z-(l+2i)(l-2i)-5-51,

•"|=1百+（-丁=叵故选《

4.(2021四川成都郸都期中)复数i+i2+i3+…+i2021=()

A.i-1B.i

C.-lD.O

奉B

^Vi+i2+i3+i4=0,i2021=(i4)505•i二i,；・i+F+i3+…+i202i=505x()+i=i，故选B.

5.(2021甘肃白银靖远模拟)设复数z满足囱2i|=3,复数z在复平面内对应的点为(种),则()

A.Q>2)2+)2=9B.(X+2)2+/=9

C.x2+(y-2)2=9D.x2+(y+2)2=9

HJD

解析因为z在复平面内对应的点为(x,y),所以，=x・yi,故5-2ir+(-y・2)i,因为02“=3,所以

Jx2+(y+2)2=3,化简可得/+。叶2)2=9.故选D.

6.已知复数zi=cos23°+isin23°和复数Z2=cos37°+isin37°,则2团为()

.1,V3.

A5+/B畀手

c遮L

4-争DT-2,

答案A

|解析|ZIZ2=COS(23°+37°)+isin(23°+37°)=cos60°+isin60°=；+孚・

7.已知z是复数，且p:z=2+学;值+^^R.则p是q的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

ggA

|解析[显然，当z=；+易时,z+工+=|+孚+之君=1WR,但当z+iSR时，若令z=a+b\（a,b

'―――"-'22zZ21.V3.221z

2+T

ab

£R）,则a+hi+—^—=（b-2i,所以有b=0或层+尻=],不一定有z=^+事.故p是q的

a+bia2+b^a2+bz22'?

充分不必要条件，选A.

8.关于复数z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）

A.3+4iB.4+3i

C.y+3iD.3+yi

%-

40一

3

-，因为13办20,故xW与，所以x号不符合要求，故z=4+3i.

y

3,

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得5分,部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.（2021湖南模拟）已知复数z=（l+2i）（2-i）,N为z的共聊复数，则下列结论正确的是（）

A.z的虚部为3i

B.团=5

C.z-4为纯虚数

D.2在复平面内对应的点在第四象限

答案|BCD

国丽因为z=(l+2i)(2-i)=4+3i,所以z的虚部为3,选项A错误;因为|2|=0=付不国=5,所以选项B正

确;因为z-4=3i为纯虚数，所以选项C正确;因为2=4-3i在复平面内对应的点(4,-3)在第四象限,所以选

项D正确.故选BCD.

10.己知复数z=a+6i(a力GR),且a+b=l,下列说法正确的是()

A.z不可能为纯虚数

B.若z的共枕复数为2,且z=5，则z是实数

C.若z=|z|,则z是实数

D.|z|可以等于T

答案|BC

解析当n=0时力=1,此时z二i为纯虚数,A错误;若z的共机复数为N且z=5,则〃+历=〃-加,所以方二0,B

正确;由|z|是实数，且z=|z|知,z是实数,C正确;若|z|=；,则层+/二：,又〃+匕=1,所以8a2-8〃+3=0,A=・

32<0,无实数解，即|z|不可以等于g,D错误.

11.(2021山东德州二模)已知复数zkW(i为虚数单位)，下列说法正确的是()

Az对应的点在第三象限

B.zi的虚部为-1

C.zf=4

D.满足|z|=|zi|的复数z对应的点在以原点为圆心,半径为2的圆上

答案|AB

廨稿复数Z1=三=-=-1-i,z|对应的点(-11)在第三象限，故A正确;Z|的虚部为-1,故B正

1------1-1+11,1-尸1)(1：+?1)

确;⑵)4=(-l-i)4=(2i)2=-4,故C不正确;|Z||=V5，满足|z|=|Z||的复数Z对应的点在以原点为圆心,半径为

迎的圆上，故D不正确,故选AB.

12.设次0)=cos9+isin0(i为虚数单位)，则产@=cos20+isin20/(9)=cos36+isin3。,…，若严(0)为实数,

则。的值可能等于()

答案|AC

|解析淤(0)=cos100+isin100,要使/。(。)为实数，则sin100=0,100=E(%dZ),故6»=^(%GZ),当k=\

时，=q，当k=2时*.

三、填空题:本题共4小题,每小题5分洪20分.

13.若二=a+bi(i为虚数单位,a,Z?WR),则a+b-.

1^2

|解析|因为高=(；；；：；)=1+i=〃+历,所以”=b=l.故a+b-2.

14.(2021湖南长沙天心校级期中)已知2i-3是关于x的方程2炉+川+26=0的一个根,则实数

P=-

量12

解析V2i-3是关于x的方程2x2+px+26=0的一个根,.,.-2i-3是关于x的方程2x2+pA+26=0的另一个

根，则⑵-3)+(-2i-3)=-*得p=l2.

15.如果复数2满足忆+"+忆-”=2,那么忆+1+计的最小值是，最大值是.

Vs

解稠由

于|z+i|+|z-i|=2,则点Z在以(0,-1)和(0,1)为端点的线段上,|z+l+i|表示点Z到点(-1,-1)的距离.由图知最

小值为1,最大值为VI

16.已知复数z满足|z+2-4i|=2,则|z-11的取值范围是.

客冢3,7]

解析设z=x+yi(x,yGR),

V复数z满足|z+2-4i|=2,

.,.l(x+2)2+(y-4)2=2,即(X+2)2+G，-4)2=4.

，在复平面内复数z所对应的点Z表示的是以(-2,4)为圆心,=2为半径的圆.

；|z-l|表示的是点Z与(1,0)之间的距离，

又圆心与点(1,0)之间的距离d=[(-2-1)2+42=5,

，|z-l|的范围是[4r,d+r],即[3,7].

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.(10分)已知复数z满足|z|=l+3i-z,求亚粤封的值.

廨［设z=a+bi(a,bGR),V|z|=1+3i-z,

二yja2+b2-1-3i+〃+Ai=0,

gpfVa2+b2+a-1=0,解得产=4

tb-3=0.lb=3.

.*.z=-4+3i,

22

.(l+i)(3+4i)2i(-7+24i)24+7i公

----------------=------------=-------=3o+41.

2z2(-4+3i)4-3i

18.(12分)当实数m为何值或何取值范围时，复数z=片史+(/2”)i符合下列要求?

⑴实数.

(2)虚数.

(3)纯虚数.

解⑴若z为实数,可得了二°，解得m=2.

1—­1(mH0,

所以当m=2时,z为实数.

⑵若z为虚数，则虚部/-2/*0,且加/),

解得*2,且勿#0.所以当机的取值范围为Goo,0)U(0,2)U(2,+8州寸,z为虚数.

m2+7n-6_「

(3)若Z为纯虚数，则m—，解得加=-3.

,m2-2mW0,

所以当m=-3时,z为纯虚数.

19.(12分)(2021江苏连云港期末)在①z2=-7-24i,②5=(|z|-l)+5i,③z+｝是实数，这三个条件中任选一个，

补充在下面问题中,并完成解答.

已知z是虚数，且，求|z|.

龌|若选择①，设z=a+bi(a,bGR,厚0),则z2=(a+bi)2=(a2-b2)+2abi=-l-24i,

叫2ab=一24,解得匕=4,或匕=-4,

所以z=-3+4i,或z=3-4i,则|z|=5.

若选择②，设z=a+历(a力WR,厚0),则"=a-0=(|z|-l)+5i=(后+屏-l)+5i,由=、心+岳/，解得

1-6=5,

(a—12,

lb=-5.

所以z=12-5i,则|z|=13.

若选择③，设z=a+bi(a,/?eR,厚0),则:=念j=U)，

因为z+Lq+为i+：加2=(〃+「2)+J'2bJi是实数，所以b-J2二0,

22£2£

Za+b^。2+/a+ba+b

又厚0,所以〃2+抉=1,则|z|=l.

20.(12分)设△A8C的两个内角A,8所对的边分别为〃力，复数z\=cz+/?i,Z2=cosA+icosB,若复数Z|Z2为

纯虚数，试判断AABC的形状，并说明理由.

解AABC为等腰三角彩或直角三角形.

理由如下：因为zi=a+bi,Z2=cosA+icos仇所以ziZ2=(acosA-bcosB)+(acosB+bcosA)i.

又因为Z1Z2为纯虚数，

acosA=bcosB,

①

acosB+bcosAH0.

由①及正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB,

即sin2A=sin28.因为为AABC的内角,

所以0<2A<2兀,0<2B<2兀，且2A+2B<2n.

所以24=2B或2A=n-2B,即A=8或A+B苫.即4=8或C=］故△4BC为等腰三角形或直角三角

形.

21.(12分)已知z为复数,z+2i和5均为实数，其中i是虚数单位.

Z-I

(1)求复数Z和|z|