椭圆的常见题型及解法(一)

椭圆的常见题型及其解法(一)椭圆是圆锥曲线的内容之一，也是高考的热点和重点，椭圆学习的好坏还直接影响后面的双曲线与抛物线的学习，笔者在这里就椭圆常见题型作简要的探讨，希望对学习椭圆的同学有所帮助.一、椭圆的焦半径椭圆上的任意一点到焦点F的长称为此曲线上该点的焦半径，根据椭圆的定义，很容易推导出椭圆的焦半径公式。在涉及到焦半径或焦点弦的一些问题时，用焦半径公式解题可以简化运算过程。1.公式的推导设P〔，〕是椭圆上的任意一点，分别是椭圆的左、右焦点，椭圆，求证，。证法1：。因为，所以∴又因为，所以∴，证法2：设P到左、右准线的距离分别为，由椭圆的第二定义知，又，所以，而。∴，。2.公式的应用例1椭圆上三个不同的点A〔〕、B〔〕、C〔〕到焦点F〔4，0〕的距离成等差数列，那么.解：在椭圆中，右准线方程为，设A、B、C到右准线的距离为，那么、、。∵，，，而|AF|、|BF|、|CF|成等差数列。∴，即，。例2.是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的动点，求的最大值和最小值。解：设，那么在椭圆上，，的最大值为4，最小值为1.变式练习1：.求过椭圆的左焦点，倾斜角为的弦AB的长度。解：由可得，所以直线AB的方程为，代入椭圆方程得设，那么，从而变式练习2.设Q是椭圆上任意一点，求证：以〔或〕为直径的圆C与以长轴为直径的圆相内切。证明：设，圆C的半径为r即也就是说：两圆圆心距等于两圆半径之差。故两圆相内切同理可证以为直径的圆与以长轴为直径的圆相内切。3.椭圆焦半径公式的变式P是椭圆上一点，E、F是左、右焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，那么〔1〕；〔2〕。P是椭圆上一点，E、F是上、下焦点，PE与x轴所成的角为，PF与x轴所成的角为，c是椭圆半焦距，那么〔3〕；〔4〕。证明：〔1〕设P在x轴上的射影为Q，当不大于90°时，在三角形PEQ中，有由椭圆焦半径公式〔1〕得。消去后，化简即得〔1〕。而当大于90°时，在三角形PEQ中，有，以下与上述相同。〔2〕、〔3〕、〔4〕的证明与〔1〕相仿，从略。4.变式的应用对于椭圆的一些问题，应用这几个推论便可容易求解。例1.〔2005年全国高考题〕P是椭圆上一点，E、F是左右焦点，过P作x轴的垂线恰好通过焦点F，假设三角形PEF是等腰直角三角形，那么椭圆的离心率是___________。解：因为PF⊥EF，所以由〔2〕式得。再由题意得＋。注意到。例2.P是椭圆上且位于x轴上方的一点，E，F是左右焦点，直线PF的斜率为，求三角形PEF的面积。解：设PF的倾斜角为，那么：。因为a＝10，b＝8，c＝6，由变式〔2〕得所以三角形PEF的面积变式训练1.经过椭圆的左焦点F1作倾斜角为60°的直线和椭圆相交于A，B两点，假设，求椭圆的离心率。解：由题意及变式〔2〕得化简得。变式训练2.设F是椭圆的上焦点，共线，共线，且＝0。求四边形PMQN面积的最大值和最小值。解：设PF倾斜角为，那么由题意知PF⊥MF，所以MF倾斜角为90°＋α，而，由题意及〔3〕式得同理得。由题意知四边形PMQN面积当时，；当时，＝。二椭圆的焦点弦设椭圆方程为过椭圆右焦点且倾斜角为的直线方程为，此直线交椭圆于两点，求焦点弦的长.例1、椭圆的长轴长，焦距，过椭圆的焦点作一直线交椭圆于、两点，设，当取什么值时，等于椭圆的短轴长？分析：由题意可知是椭圆的焦点弦，且，，从而，故由焦点弦长公式及题设可得：，解得，即或。例2、在直角坐标系中，椭圆E的一个焦点为F〔3，1〕，相应于F的准线为Y轴，直线通过点F，且倾斜角为，又直线被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的方程。分析：由题意可设椭圆E的方程为，又椭圆E相应于F的准线为Y轴，故有〔1〕，又由焦点弦长公式有〔2〕又〔3〕。解由〔1〕、〔2〕、〔3〕联列的方程组得：，，，从而所求椭圆E的方程为。变式训练1、椭圆C：〔〕，直线：被椭圆C截得的弦长为，过椭圆右焦点且斜率为的直线被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的，求椭圆C的方程。分析：由题意可知直线过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有，〔1〕又由焦点弦长公式得=，〔2〕因=，得，〔3〕又