3月大数据模拟卷02（广东专用）（解析版）高中数学

3月大数据精选模拟卷02(广东专用)

数学

本卷满分150分，考试时间120分钟。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符

合题目要求的.

1.设集合A={x,2—2x—3<0卜B={x|2<x<4},则AD8=()

A.{x|2<尤<3}B.1%|-1<x<4!

C.{x[2<x〈3}D.{x|-l<x〈4}

【答案】A

【详解】

,因为4={X,2_2%_3<()}={闫_1<%<3},

所以Ac8={x|2<x<3}.

故选；A

2.已知复数z=-，则复数z在复平面内对应的点位于()

1+Z

A.第一县象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【详解】

2-i132-z

因为z=「=;所以复数z=——在复平面内对应的点位于第四象限.

l+i(l+z)(l-z)221+z

故选：D

4

3.“Vx>0,a4x+——”的充要条件是()

x+2

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

【答案】D

【详解】

444

因为x>0，可得x+——=x+2+----2>2J(x+2)x-----2=2,

x+2x+2Vx+2

1

4

当且仅当x+2+——，即x=（）时等号成立，

x+2

4

因为x>0,所以x+——>2,

x+2

4

所以“Vx>O,a〈x+——”的充要条件是aW2.

x+2

4.北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化

与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，

某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一

个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【详解】

由题意可知应将志愿者分为三人组和两人组，

当三人组中包含小明和小李时，安装方案有C；用=6种；

当三人组中不包含小明和小李时，安装方案有6=2种，共计有6+2=8种，

故选：A.

5.“微信红包”自2015年以来异常火爆，在某个微信群某次进行的抢红包活动中，若所发红包的金额为10

元，被随机分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人抢，每人只能抢一次，

则甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率是（）

1234

A.—B.-C.—D.一

2555

【答案】B

【详解】

5个红包供甲、乙等5人抢共有8种情况，

若甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元，只能是1.36元和3.22元，1.59元和3.22元，

2.31元和3.22元，1.52元和3.22元，四种情况，共有4&A；种情况.

故甲乙二人抢到的金额之和不低于4.5元的概率为上&8=2

其5

故选：B

2

6.(2x—的展开式中常数项为()

A.-160B.160C.80D.-80

【答案】A

【详解】

/］、6

2x--\展开式的通项公式为(+1=C/(2x)6-•(_1)<£,=(_1)「26-℃46-2"

\1)

令6—2r=(),可得r=3,故0x—4)展开式的常数项为—8=—160.

7.双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点工发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延

长线经过左焦点耳.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”

22

的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为，-与=1,耳,鸟为其左、右焦点，若从右焦点名发出的光

3

线经双曲线上的点人和点5反射后，满足/胡。=9。。,切/筋。=-"则该双曲线的离心率为()

【答案】C

【详解】

易知A,。共线，6,8,C共线，如图，设|然|=加，|AE|=”,则加一〃=2。，

3

33

由tanZA5C=—2得，tanZABF又/耳43=/£4。=90。，

44

所以tanNAB£=j^=j,[4同=：机，则忸玛|=|4耳_恒用=十〃一〃，

所以忸用=2«+|B7s|=2a+^m-n=4a+^m,

由|A用2+|A邦=忸耳『得＞+(„=(4a+J〃)2,因为机＞0,故解得加=3”，

则n=3a-2a=a^

在巴中，m2+n2=(2c)2,即9a2+/=松，所以e=£=叵.

8.“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学

的对称美如图.将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个

面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，则异面直线AB与8所成角的大小是（）

【答案】C

【详解】

如图所示：将多面体放置于正方体中，以点。为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2

4

则A(l,0,2),3(0,1,2),C(0,2,1),。(1,2,0)

而=(—1,1,0),CD=(l,0,-l),设异面直线AB与8所成角为。

\AB-CD\11

所以3"^^=口故小。

故选：C

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,

全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9.回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221,

15351等都是回文数.若正整数，•与〃满足2Kz且〃N4,在［10'T,10,-1］上任取一个正整数取得回文

数的概率记为E，在口0,10"-1］上任取一个正整数取得回文数的概率记为，则()

1〃

A.^<^+1(2</<»-1)B.Q„<-

C.2,之月D.£月<1

〃-1i=2n

【答案】BD

【详解】

对于选项A：在口01,10，-1］中的正整数都是1位的，一共有io,—io-=9x101个，

若i=2k,则回文数的个数是9xl()i个，

若i=2攵+1.则回文数的个数是9x10*个，

5

9xlOA-'_1_9x10"_1

所以与i=

9xIO?--历」2*+L-9X102A-lO7

所以2*>21+2，故选项A不正确;

对于选项D：

当n=2k时;

9(n-l)(2-i0r_10r)<9(n-l)

<1,

当〃=22+1时;

而%[2-播-马〈就J.故选项D正确;

由Q的定义:。,=寻行之(9xio-)pj,

1U—1U,=2

当〃二22时，由〃之4M得kN2,

1ni2ki111iw111

—y^=—y^>—10+1(?+1(7+"+10^J+lio+ior+ior

1金21金2k

Q*=F&[9(I+I°+…+10力+9(1°+…+iof]

（白阿小…+时力会力

又因为i-T（产210*-10-18%

>0(^>2),

1-

9kIO-9^-10*

6

12k

所以久<药"

当，=2上+1时，由〃24可得222,

1

n-\

2"M=15H^[9(1+10+…+101)+9(10+…+"T)]

<fj——[1800+…+10A-')1=2(°T)<_2_,

1()27_ioL、〃102*+2-1010*

1___I-?1___—1___1_1__1_

由以上可知10"1>/，10"：1()1所以10&；2

9k)9k9k9k10"

]2k+\

所以。2"l♦ZE，故选项B正确，选项C不正确,

2ki=2

故选：BD.

10.若a,b,ceR,则下列说法正确的是()

A.若>0,则3+2B.若则>宜

ba

c.若。>网，则/>力2D.若a>b,则!

ba

【答案】AC

【详解】

对于A,若">(),则小。同正、同负

所以0+242、叵•=2,故A正确；

ba\ba

对于B,若a>b,当/=0时，则〃(?2=〃G2,故B不正确；

对于C,若。>回>0,则/>〃，故c正确；

对于D,若a>0>力，则故D不正确.

ba

故选：AC

11.设M、N是函数/(x)=2sin(s+°)(①>0,0<9<")的图象与直线y=2的交点，若M、N两

7

点距离的最小值为6,尸是该函数图象上的一个点，则下列说法正确的是()

A.该函数图象的一个对称中心是(7,0)

B.该函数图象的对称轴方程是x=-1+3左，ZeZ

2

「71一

c./(x)在一5，一］上单调递增

D./(x)=2cos—x+—|

I36)

【答案】ABD

【详解】

因为M、"是函数/(》)=25皿5+°)(8>0,0<9<乃)的图象与直线丁=2的交点，

若“、N两点距离的最小值为6,则函数/(%)的最小正周期为7=6,.-.3=^=(,

所以，/(x)=2sin+。)，

将点P的坐标代入函数/(x)的解析式，可得/-；)=2sin°—2)=2,则$吊(0-曰=1.

c717T57r_.71712乃

♦[2<（p<兀、/.---<（p----<——,则9-----=—,:.（p=——,

666623

r（\~.（加2乃）C.（乃乃）（7C乃）

f\x]=2sin—x+——=2sin—x+——i■—=2cos-x-\——，D选项正确;

v7（33）（362）（36）

对于A选项，/(7)=2cos(q-+力■)=2cos5-=0,A选项正确；

jr丫jr1

对于B选项，由空+二=bz■(女eZ),解得x=——+3左伏eZ),

362

所以，函数/(力的图象的对称轴方程是x=-g+3左，keZ,B选项正确;

7171717t

对于C选项，当—时，—冗£—x-\—<一,

233618

“\71

所以，函数/(%)在区间一5，一§上不单调，c选项错误.

12.如图所示，在棱长为1的正方体ABC。一ABCR中，M,N分别为棱42，。。的中点，则以下

8

四个结论正确的是（)

A.B\C”MN

B.平面MNG

C.A到直线MN的距离为史1

4

3

D.过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为-乃

8

【答案】ACD

【详解】

正方体中，AQ//BC，而M,N分别为棱42，的中点，则MN//4。，所以4C〃MN,A正

确，B错误；

设A%与AD,MN分别交于点E,F,则A，_LA。，ADt1MN,

山M,N分别为棱AA，的中点，知F是中点，AF^-AD.,C正确；

44

正方体外接球球心是正方体对角线交点0，由对称性知过MN作该正方体外接球的截面，所得截面的面积

最小的圆是以MN所在的弦为直径的截面圆，即截面圆圆心为尸，

0D]=—.D,F=—.cosZOD,F=^=^=—,

'214BD1乖）3

222

OF=D,F+D,O-2D.F-D.OcosZFD,O=2_+2_2x—x—x—=-,

1644238

截面圆半径为r,则，=0£）2—。/2=-3----3-=23，面积为5=〃，=巳3），口正确.

14888

故选：ACD.

9

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分・

13.已知非零向量湎满足问=2欠，且0询_1况则£与右的夹角为--------.

【答案】y

【详解】

因为(£询_15

所以(a-石)・石=。即。石-坂2=0，

根据向量的数量积运算，则|耶卜0$(£3)一忖=0

|铲1

代入化简得cos(a,b)=占』=->

\/忖b\2

由(a,B)w[0,司，

/rr\71

所以(a力)=§.

x+1xK1

14.已知〃尤)=｛厂，_，若〃x)>/(x+l)，则X的取值范围是-----------

vx,x>1

【答案】(0』

【详解】

当X+1W1时，即当xWO时，由〃x)>/(x+l)可得x+l>x+2,矛盾;

当xWlcx+1时，即当0<xKl时，由/(x)>/(x+l)可得x+l>Jx+1,

10

可得解得x〉0,此时0cxWl:

当X>1时，由/(x)>,f(x+l)可得&>Jx+1,即x>x+l,矛盾.

综上所述，满足不等式/(x)>.f(x+l)的X的取值范围是(0,1].

15.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为尸，过点尸且斜率为百的直线/交c于A，3两点，以

线段A3为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为Q,若点F到C的准线的距离为3,则

sinNQMN的值为.

【答案】-

8

【详解】

解：抛物线C：：/=2px(p>0)的焦点为产(々,0),准线方程为x=—

由题意得P=3,则抛物线方程为丁=6x,尸§,0),

则直线AB的方程为y=V3(x-1),

-3

y=5/3(x—).27

由42,得3f—15x+,=0,

，,4

[y=6x

设的横坐标分别为不々，则玉+々=5,

所以AB的中点。的坐标为§,百)，lABUxi+%+puS+Bug,

则圆。的半径为4,

5

在AQA/N中，./〜八,25,

smNQMN=j=w

16.已知三棱锥P-ABC中，ABAC=90，AB=AC=2,PB=PC,PA=JiZ，为AABC的

外接圆的圆心，cosNPAOj=乎，则三棱锥P—/WC的外接球的表面积为.

【答案】14%

【详解】

山题意。1是3C中点，则AQ=正,

11

因为A8=AC=2，PB=PC,所以5C_LA01,BC1POt,

又Aanpa=a，4。1,「。］€：平面尸4。1,所以BCJ_平面PA。，

而BCu平面ABC,所以平面A3C_L平面PAO1,

作尸"J"平面ABC，垂足为H，Pe平面PAO一则p//u平面PA。一

又平面ABCD平面PA。=AO,,则HeAO,,

AH=PAcosNPA。1=V14x-=2&=2核，

因为N84c=90°，所以A8HC是矩形，

取以中点。，连接。。，则0aHPH,从而0a±平面ABC.

。就是三棱锥尸-ABC也是四棱锥P-A5"C的外接球的球心.

球半径为r=LPA=画，

22

表面积为S=4乃x［曰4］=14万.

故答案为：14%.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①sinC+J^cosC=2，©C-2A,③b=2a这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问

题中的三角形存在，求。的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在AABC,它的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,且（3c—23cosA=2acos3,

c=\,?

【答案】答案见解析.

12

【详解】

解：由(3c-2b)cosA=2acosB结合正弦定理可得(3sinC-2sinB)cosA=2sinAcosB,

所以3sinCeosA=2sinAcosB+2cosAsinB=2sin(A+B)=2sinC.

2

因为sinCwO,所以cosA=—.

3

l选择条件①的答案］

所以sinA=^

3

由sinC+y/3cosC=2得2sin(。+—j=2,所以sin+=1

因为(？£((),4),所以C+2=2.所以c=2.

326

好

rmaccsinAT2^

由正弦定理-----=-----得a=--------=

sinAsinCsinC23

2

［选择条件②的答案］

所以sinA=^--

3

4x/s

因为C=2A,所以sinC=sin2A=2sinAcosA=———.

9

V5

ac,csinA33

由正弦定理「■=—7得。=—^=:%=彳

sinAsinCsinC4154

［选择条件③的答案］

所以sinA=—3.

3

由方=2。得sin6=2sinA.

因为sinA=@，所以sin8=2sinA=马5>1.

33

所以三角形不存在.

13

18.已知数列｛。“｝的前〃项和为S“，at=1,—4——4----——=n(n..2),neN*•

12n-\n

（1）求数列｛4｝的通项公式;

111

（2）若力,ak,S*+2成等比数列，ZeN*，求三+....+不~的值.

72

【答案】（I）an~n•（2）---

37

【详解】

（1）因为4=1,幺+&+…也+%=〃（*）,

12H-lH

所以1+"=2,%=2,

2

又幺+&+…&+也=〃+1（**）,

12nn+1

（**）-（*）得4iL=1,所以a“+i=〃+l,又4=1,々=2,

n+1

所以%=〃，/twN*；

⑵由（1）"=如由，

2

若生,ak,以+2成等比数列，则22=伙+2）/+3）,解得攵=6（攵=一1舍去）,

12(11]

Sfl〃(鹿+1)vn7?+1J

所以,+'+....+」—=2

S[S2S36

19.如图1,四边形ABC。为直角梯形，AD//BC,AD±AB,AB=26N5C£)=60°.E为线段CD

上的点，且CE=C5=3.将△8CE沿BE折起，得到四棱锥G-ABE。（如图2）,使得64=。力.

（1）求证：平面AG。，平面A3G；

14

(2)求二面角G-DE-A的余弦值.

【详解】

解：(1)在图1中过点。作O/LBC交8C丁点F，在图2中取G为A3的中点，连接GE和GG，则

DF=AB=2也,因为CE=CB=3且NBCD=6(y，所以ABCE为等边三角形，所以£8=3,在

n

△CDR中，CF=gDF=2,CD=2CF=4

3

因为CE=3,所以DE=1，BF=AD=1，在图2中£A=GB=3,所以△A£B为等腰三角形，所

以GG^AB,在△ABE中，ZABE=30°且AB=2白，BE=3,AE=6,所以AEJ.屈，所以

EG=；AB=6所以AGEG丝AGBC1,所以GGLGE,又GE[\AB=G,AB,GEu平面ABED，

所以GG_L平面ABED，AOu平面A8££>，所以C|GJ_A£>,又AO_LAB，ABC\CiG=G,

AB，GGu平面ABC一所以A。，平面ABC-ADu平面AQ。，所以平面ACQ_L平面ABC；；

(2)连接GO交AE于尸，过点G作GQ//AE交BE于点。，由(I)知QG±平面ABED，所以&G工PG

且GGLQG,因为AE18E，所以PG_LQG,如图建立空间直角坐标系，所以G仅，0，后)，

E——,—,0,A——,0,£)(0,2,0),所以G。=(。,2,—,CtA=——A/6,

<Jv/\>

//r\m-CtD=2y-V6z=0

C[E=——,->/6,设平面CQE的法向量为=(x,y,z),所以，__T.,

1.22Jv-7m-C,E=—x+-y-V6z=0

I122-

令y=3,则而=(6,3,n)，取面ADE的法向量7=(0,0,1)，

_m*n_y/6_V3

所以c°s<牡〃>=郦|=]xj(.『+3、(6)2=?，由图可知二面角为锐二面角，故其余弦值为

15

c

图1

但它也有缺点——持续阴天或雨天便无法正常使

用.为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天气不好或冬季水温无法

满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用.某工厂响应“节能减排''的号召，决定把

原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时

长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下

表所示:

日照情况日均气温不低于15℃日均气温低于15℃

日照充足耗电0千瓦时耗电5千瓦时

日照不足耗电5千瓦时耗电10千瓦时

16

日照严重不足耗电15千瓦时耗电20千瓦时

2?1

根据调查，当地每天日照充足的概率为不，日照不足的概率为不，日照严重不足的概率为《.2020年这一

年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),

[30,35].

频率/组距

(1)求图中。的值，并求一年中日均气温不低于15℃的频率；

(2)用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时，试估计更换电辅式太阳能热

水器后这一年能省多少电？(一年以365天计算)

【详解】

(1)依题意得a='(1—0.02x5—0.03x5—0.03x5—0.04x5—0.03x5)=0.05.

3

一年中日均气温不低于15℃的频率为0.03x5+0.04x5+0为5x5+0.03x5=0.75=—.

4

31

(2)这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为二，一年中日均气温低于150c的概率的估计值为一，

44

设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为X，X的所有可能取值为0,5,10,15,20

o)=-x-=A,P(X=5)=2X3+2X!」=2,P(X=IO)=2X，=2=L

'=7542010175454205'7542010

p(X=15)=lx-=—,P(X=20)=-xl=—.

,75420175420

所以X的分布列为

X05101520

17

32131

p

K)5io2020

3213125

所以X的数学期里E（X）=0x—+5x—+10x—+15x，+20x—=一=6.25

v71051020204

所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为20-6.25=13.75（千瓦时）

所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为13.75x365=5018.75（千瓦时）

21.已知抛物线C：9=2庶（〃>（））的焦点是尸，若过焦点的直线与。相交于尸，。两点，所得弦长|PQ|

的最小值为4.

（1）求抛物线C的方程；

（2）设A,3是抛物线C上两个不同的动点，。为坐标原点，若。4_LO5,OMLAB,M为垂足,

证明：存在定点N,使得|MN|为定值.

【详解】

（1）显然直线PQ的斜率不为0,故可设置PQ的方程为彳=加>+5,

y2=2px

<"=>,2_2加〃）,一〃2=0,所以,.+,0=2加〃，yp〉Q=_p2.

x-my+-^

所以Xp+=m^yp+yQ）+p=2nrp+p.

|PQ|=XP+XQ+p=2nrp+2〃，

所以当加=0时，|PQ|最小，所以2〃=4,p=2

故所求抛物线的方程为y2=4x.

（2）直线A8的斜率不为0,

故可设直线A8的方程为x=）+s,4（%,乂），