高中数学：教学设计：导数的概念

3.1.2导数的概念

［教学目的］:

1.了解导数形成的背景、思想和方法；正确理解导数的定义、几何意义；

2.使学生在了解瞬时速度的基础上抽象出变化率，建立导数的概念；掌握用导数

的定义求导数的一般方法

3.在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、

抽象、归纳、总结形成数学概念的能力，体会数学知识在现实生活中的广泛应用。

［教学重点和难点］:导数的概念是本节的重点和难点

［教学方法］:讲授启发，自学演练。

［授课类型］:新授课

［课时安排］：1课时

［教具］:多媒体、实物投影仪

［教学过程］

一、复习提问（导数定义的引入）

1.什么叫瞬时速度？（非匀速直线运动的物体在某一时刻tO的速度）

2.怎样求非匀速直线运动在某一时刻tO的速度？

在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度力（单位：m）

与起跳后的时间f（单位：s）存在关系M0=-4.9尸+6.5f+10,那么我们就会计

算任意一段的平均速度3,通过平均速度G来描述其运动状态，但用平均速度不

一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢？问

题：2秒时的瞬时速度是多少？

二、新课

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况。先计算

2秒之前的加时间段内的平均速度1请同学们完成表格1左边部分，（事先准

备好的），再完成表格的右边部分〉

表格1

&<0时，在［2+8,2］这段时间内&>0时，在［2,2+&］这段时间内

-加2)-奴2+&)49&2+13.1&-凯2+4)-a(2)-4.9&2-13.1&

V=-------------=----------------

2-(2+&)-(2+A。-2&

=­13.1=-4.9母-13.1

当&=-0.01时，&=-13.051；。当&=0.01时，&=-13.0511

当&=-0.001时，&=-13.0951；，当&=0.001时，Az=-13.0951；，

当M=-0.001时，&=-13.09951；，当M=0.001时，4=-13.09955

当&=-0.0001时，&=-13.099951；，当&=0.0001时，&=-13.099951一

当&=-0.00001时，&=73.099951；，当&=0.00001时,&=-13.099951；，

...,...

表格2

加<0时，在［2+加,2］这段时间内加>0时，在［2,2+4］这段时间内

-_〃⑵-〃(2+加)_4442+1334__从2+加)_从2)__4.942_133加

2-(2+加)--M(2+Az)—2Az

=—4.9加一13.1=-4.9Ar-13.1

当，=—0.01时，v=-13.051；当加=0.01时，v=-13.149；

当，=—0.001时，＞=—13.0951；当4=0.001时,v=-13.1049；

当&=一0.0001时，v=-13.09951；当A/=0.0001时,v=-13.10049；

当&=一0.00001时，v=-13.099当4=0.00001时，3=—13.100049；

951；

当&=一0.000001时，v=-13.099当A/=0.000001时，＞=一13.100004

9951；9；

OOOOOOOOOOOO

问题：1你能描述一下你算得的这些数据的变化规律吗？（表格2）

关于这些数据，下面的判断对吗？

2.当4趋近于0时，即无论，从小于2的一边，还是r从大于2的一边趋近于2

时，平均速度都趋近于一个确定的值T3.1相/s。

3.靠近-13.1且比-13.1大的任何一个数都可以是某一段［2+加,2］上的平均速

度；

4.靠近-13.1且比T3.1小的任何一个数都可以是某一段［2,2+加］上的平均速

度；

5.-13.1表示在2秒附近，运动员的速度大约是T3.lm/s。

分析：7=2秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于

瞬时速度，所以比T3.1大的数作为2秒的瞬时速度不合理，比T3.1小的数作

为2秒的瞬时速度也不合理，因此，运动员在2秒时的瞬时速度是T3.lm/s。

这样，我们就得到了2秒时的瞬时速度是-13.lm/s,现在我们一起回忆一

下是如何得到的：

首先，算出［2,2+4］上的平均速度"Q+加）-力⑵=_4.94—13.1,接着观察当加

Ar

趋近于0时，上式趋近于一个确定的值-13.1,这个值就是运动员在2秒时的瞬

时速度。为了表述方便，我们用］帚（2+加）一碓）=_］3.］

表示“当”2,加趋近于0时，平均速度：趋近于确定值T3.1”。

思考：当4趋近于。时，平均速度3有什么样的变化趋势？

结论：当4趋近于0时，即无论f从小于2的一边，还是从大于2的一边趋

近于2时，平均速度G都趋近于一个确定的值-13.1.

从物理的角度看，时间|加|间隔无限变小时，平均速度J就无限趋近于史的瞬

时速度，因此，运动员在f=2时的瞬时速度是-13.%/s

为了表述方便，我们用+⑵=一13」

goZ

表示“当f=2,加趋近于0时，平均速度工趋近于定值-13.1”

小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬

时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3.函数y=/（x）在x=/处的瞬时变化率如何表示？

导数的定义（板书）

函数)=/(x)在x=X。处的瞬时变化率是lim竺=lim,

AsoAJC加TOAX

我们称它为函数丁=/(X)在X=X0处的导数，记作[(X。)或丹-频，

即r(x0)=lira且=lim/(/+0-"工。)o例如：2秒时的瞬时速度可以表示为

°AxAr-»oAr

〃(2)=-13.1或)，1=2=一13.1。

附注：①导数即为函数尸F(x)在尸为处的瞬时变化率；

②定义的变化形式：/(x)=lim旦=lim./.

—(Ax)-t。AJC

f(x)=lim'=lim/(x)Ta。)；f(x)=lim小。一9一八%)；

•fo(Ar)xf&x-xQ—--Ax

Ax=x-x0,当Ax.0时，x-%,所以/'(尢°)=lim~

-x-x0

③求函数y=/(x)在x=x。处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。

三.典例分析

例1.(1)求函数片37在尸1处的导数.

分析：先求△六八y=f(1+△才)-[(1)=6△户(△x)4再求包=6+Ax再求

△x

lim筮=6

As。AX

3r2-3.123(y2-I2)

解：法一(略)；法二：y'L.=lim---------=lim---------=lim3(x+l)=6

-1%—]x—>1x—|x—>1

(2)求函数〃*)=-炉在》=—i附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解："=(T+Ax)2+(l+Ax)—2=33

AxAr

rt(nrAy-(-1+Ax)2+(—1+Ar)—2

f(-1)=lim——=-------------------------=hm(3-Ax)=3

As。AxzkrN—o

例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油

进行冷却和加热，如果第动时，原油的温度(单位：℃)为

/(X)=X2-7X+15(0<X<8),计算第2〃时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率，

并说明它们的意义.

解：在第2〃时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率就是f(2)和/'(6)

根据导数定义，立="2+")二/(』)

AxAx

22

(2+Ar)-7(2+Ax)+15-(2-7x2+15)A.

=---------------------------------=Ax—J

Ar

所以"2)=lim"=lim(Ar-3)=-3；同理可得：/(6)=5

—Ax—

在第2〃时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2〃附近，原

油温度大约以3C//Z的速率下降，在第6人附近，原油温度大约以5c的速率

上升.

注：一般地，f(x0)反映了原油温度在时刻与附近的变化情况.

17世纪，力学、航