高中数学的基础知识

高中数学常用公式及常用结论

1.元素与集合的关系

xeACuA,xeA.

2.德摩根公式

弓(An8)=QAuCc,B;Cu(AuB)=GAnCo8.

3.包含关系

An8=AoAU8=8«AcB«CL,BcCVA

=An，B=(D=Q,AUB=R

4.容斥原理

card(AUB)=cardA+cardB一card(4PlB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(AAB)

—card(Afl5)—card(BDC)—card(CPlA)+card(/IPl5ClC).

5.集合｛%,出，…，《J的子集个数共有2"个；真子集有2"-1个；非空子集有2"-1

个；非空的真子集有2"-2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式/(x)=ax2+bx+c(aH0);

(2)顶点式/(x)=a(x-/z)2+k(aW0);

(3)零点式/(x)=a(x-xj(x-x2)(a

7.解连不等式N</(x)<M常有以下转化形式

M+N,M-Nf(x)-N,、

Q"(x)一---------1<----------=------>0

22M-fM

11

=-------->-------.

f(x)—NM-N

8.方程/(x)=0在的,七)上有且只有一个实根,与/困)/(&)<0不等价，前者是后

者的一个必要而不是充分条件.特别地，方程狈2+以+。=0(。。0)有且只有一个实根在

bk+k

(占，葭)内，等价于/(占)/(心)<0,或/(匕)=0且％<—=<」一或/(葭)=0且

2。2

%+hb,

-------<------<k>

2la2

9.闭区间上的二次函数的最值

b

二次函数/(x)=ax2+bx+c(aH0)在闭区间［p,q］上的最值只能在x=———处及区

2a

间的两端点处取得，具体如下：

/?h

⑴当a>0时，若X=-丁e［p，q］，则/(x)min=/(一丁)，/(X)max=max｛/(P)，/⑷｝；

2a2a

-一二任区引，/(x)

{/(P)，/⑷}，/OOmin=min{/(P)，/⑷}・

2amaxmax

b

⑵当a<0时，若x=--e[p,q],则/Wmin=min{/(/?),/(<7)},若

x=-任[p,<d，则/(x)max=max{/(p)J(q)},/(x)min=min{/(p),/(^)}.

2a

10.一元二次方程的实根分布

依据：若/(机)/(〃)<(),则方程/(x)=0在区间(根,〃)内至少有一个实根.

设/(x)=/+px+q,贝ij

p2-4q>Q

(1)方程/(x)=0在区间(九+8)内有根的充要条件为〃M=O或《；

I\--2>m

)(祖)〉0

/(«)>0

(2)方程/(x)=0在区间(〃z,〃)内有根的充要条件为/(〃?)/(〃)<0或1p2_4q20

m<----<n

I2

/(〃?)=0f/(n)=0

af(n)>0[af(m)>0

p2-4q>0

(3)方程/(x)=O在区间(-8,〃)内有根的充要条件为/(,”)<0或4p.

--<m

I2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间(7,一)的子区间L(形如[a,£],(—8,£],[a,+8)不同)上含参数

的二次不等式/(x,f)20(f为参数)恒成立的充要条件是/(x,z)min>0(xgL).

(2)在给定区间(-8,+8)的子区间上含参数的二次不等式/(x,f)20(f为参数)恒成立

的充要条件是

a>0

a<

(3)/(x)=ax4+bx2+c>0恒成立的充要条件是«或《

八h~-4ac<0

c>0

12.真值表

Pq非PP或qP且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

13.常见结论的否定形式

原结论反设词原结论反设词

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有n个至多有(〃一1)个

小于不小于至多有〃个至少有(〃+1)个

对所有X,存在某X，

成立不成立p或q—1〃且一

对任何X,存在某X,

不成立成立P且q—ip或一

14.四种命题的相互关系

15.充要条件

(1)充分条件：若p=>q,则p是q充分条件.

(2)必要条件：若q=>p,则p是q必要条件.

(3)充要条件：若pnq,且“np,则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

16.函数的单调性

⑴设玉•3那么

(王一々)"(王)一/(々)]〉0=△^匕g>Oo/(x)在L，"上是增函数;

(一一%2)[/0)—/(7)]<00JU)—〃々)<0=/(X)在[㈤上是减函数.

X|—x2

(2)设函数y=/(x)在某个区间内可导，如果/'(x)>0,则/(x)为增函数；如果

f\x)<0,则/(x)为减函数.

17.如果函数/(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内，和函数/(x)+g(x)也是减

函数；如果函数y=/(〃)和〃=g(x)在其对应的定义域上都是减函数，则复合函数

y=/[g(x)]是增函数.

18.奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称;反过来，如果一个函数的图

象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函

数是偶函数.

19.若函数>=/(x)是偶函数，则/(x+a)=/(—x—a)；若函数y=/(x+a)是偶函

数，则/(x+a)=/(-x+a).

20.对于函数y=/(x)(xeR),f(x+a)=/(b—x)恒成立,则函数/(x)的对称轴是

函数两个函数丁=/(犬+.)与>=f(b-x)的图象关于直线％=V®对称.

21.若f(x)^-f(-x+a),则函数y=/(x)的图象关于点(y,0)对称；若

/(x)=-/(x+a),则函数y=/(x)为周期为2a的周期函数.

n

22.多项式函数尸(x)=anx+an_tx"-'+…+4的奇偶性

多项式函数P(x)是奇函数=P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零.

多项式函数P(x)是偶函数=P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零.

23.函数y=f(x)的图象的对称性

(1)函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称=f(a+x)=f(a-x)

=>f(2a-x)=f(x).

(2)函数y=/(x)的图象关于直线x=+对称=f(a+mx)^f(b-mx)

<=>f(a+b—mx)=f(mx).

24.两个函数图象的对称性

(1)函数y=f(x)与函数y=/(-x)的图象关于直线x=0(即y轴)对称.

(2)函数y=f(mx-a)与函数y=—mx)的图象关于直线x=*对称.

2m

(3)函数y=/(x)和y=/t(x)的图象关于直线y=x对称.

25.若将函数y=/(x)的图象右移。、上移6个单位，得到函数y=/(x-a)+b的图

象；若将曲线/(x,y)=O的图象右移。、上移匕个单位，得到曲线/(x-a,)，一份=0的图

象.

26.互为反函数的两个函数的关系

f(a)=bofT(b)=a.

27.若函数y=/(乙+6)存在反函数，则其反函数为y=L"T(x)-切，并不是

k

y="T伙x+。)，而函数y="T(履+切是);=_1"(%)一切的反函数.

k

28.几个常见的函数方程

(1)正比例函数/(x)=cx,/(x+y)=/(x)+/(y),/(l)=c.

(2)指数函数/(劝二优,f(x+y)=/(x)/(y)J(l)=。W0.

⑶对数函数/(x)=log.X,f(xy)=y(x)+/(y)J(a)=l(a>0,4H1).

(4)事函数/(x)=x",/(盯)=/(x)/(y),/'(l)=a.

(5)余弦函数/(x)=cosx,正弦函数g(x)=sinx,f(x-y)=f(x)f(y)+g(x)g(y)，

/(0)=l,lim由2=1.

X

29.几个函数方程的周期(约定a>0)

(1)f(x)=f(x+a),则/(x)的周期T=a；

(2)f(x)=f(x+a)=0,

或/(x+a)=--^—(/(x)H0)，

f(x)

^f(x+a)=--^—(/(x)H0),

/(x)

或;+J/(x)-/2(x)=/(x+a),(/(x)e[0,1])，则”x)的周期T=2a；

(3)/(x)=1——(/(x)中0)，则/(x)的周期T=3a；

f(x+a)

(4)/(x,+x2)=/乎旦且/(«)=1(/(玉)-/(x2)H1,0<1x,-x,l<2a)，则

f(x)的周期T=4a；

(5)/(x)+/(%+〃)+/(%+勿)/(x+3cz)+f(x+4a)

=/a)/(x+a)/(x+20/a+%)/(x+甸，则f(x)的周期T=5a；

(6)/(x4-a)=/(x)-/(x+a),则/(%)的周期T=6a.

30.分数指数基

场1

(1)an--r——：(a>O,m,neN',且〃>1).

yjam

上1

⑵a"=—(。>0,冽,〃eN*,且〃>1).

an

31.根式的性质

(1)(V^r=a.

(2)当〃为奇数时，=a；

当〃为偶数时，=\a\=<a"a.

—a,a<0

32.有理指数哥的运算性质

(1)ara'-ar+s(a>O,r,seQ).

(2)(ar)s=ar'(a>O,r,seQ).

(3)(aby-arbr(a>O,b>O,reQ).

注：若a>0,p是一个无理数，则才表示一个确定的实数.上述有理指数辱的运算性

质，对于无理数指数得都适用.

33.指数式与对数式的互化式

log“N=8oa"=N(a>0,a，l,N>0)

34.对数的换底公式

logN

log0N=--—(。>0,且且wiHl,N>0).

log,”a

fl

推论log,”/?"=—log,*(a>0,Ka>1,且加Wl,N>Q).

am

35.对数的四则运算法则

若a>0,a#LM>0,N>0,则

⑴log/MN)=log“M+log〃N;

M

⑵LOGAAF=1O86,M-1OS,,;V:

n

(3)log(,M=nlogflM(neR).

36.设函数，(x)=log,,,(ax2+bx+c)(aH0),记△=/-4ac.若/(x)的定义域为

R,则a>0,且A<0;若/(x)的值域为R,则a>0,且A20.对于a=0的情形，需要

单独检验.

37.对数换底不等式及其推广

若a>0,b>0,x>0,x,则函数y=logM(/?x)

a

(D当a>b时，在(0,-)和(，,+8)上y=logflt0x)为增函数.

aa

(2)当〃</?时，在(0-)和(L+8)上y=log“3x)为减函数.

aa

推论:设〃,例>1，p>0，a>0>且QWI，贝IJ

⑴log』(〃+P)<log/•

/、1,T2m+n

(2)log“机log“〃<log”.

38.平均增长率的问题

如果原来产值的基础数为N,平均增长率为p,则对于时间x的总产值y,有

y=N(l+p),

39.数列的同项公式与前n项的和的关系

(数歹I」｛a,,｝的前n项的和为s=a+a+•••+a).

S"一s,i，“？2H12n

40.等差数列的通项公式

an=q+(n-V)d=dn+al-d(n&N)；

其前n项和公式为

+%)

=­/7"+(O|—-d)n.

41.等比数列的通项公式

nn

an=ayq~'=--q(neN*)；

q

其前n项的和公式为

‘立㈡小

1-4

nax,q—\

或s“=彳l-<7.

n%,q=1

42.分期付款(按揭贷款)

每次还款x=疝0+b)”_元(贷款&元,〃次还清，每期利率为h).

(1+/>)-1

43.常见三角不等式

JI

(1)若xw(0,—),则sinx<x<tanx.

2

(2)若工£(0,工)，贝ijl<sinx+cosxW行.

2

(3)lsinxl+lcosxl>l.

44.同角三角函数的基本关系式

sin2^4-cos2=1,tan0-^^,tan6-cotO=1.

cos。

45,正弦、余弦的诱导公式

n

.,nn、(一I/sina,（n为偶数）

sm(—+a)=<।

23

(-1)cosa,（n为奇数）

为偶数)

rIt(n

，〃兀、(-l/cosa,

cos(—+«)=四(n为奇数)

(-1)2sina,

45.和角与差角公式

sin(a±/?)=sinacos4土cosasin尸；

cos(a±')=cosacosP干sinasin,；

/,Q、tana±tan/?

tan(a±夕)=----------.

1+tan6ztan{5

sin(a+/?)sin(a-/?)usin?a-sin20(平方正弦公式);

cos(a+p)cos(a-p}-cos2a-sin2p.

asina+Ocosa=Js?+/sin（a+〃）（辅助角夕所在象限由点（a,。）的象限决

士b、

定，tan(p——).

a

46.二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a-l=l-2sin2a.

2tana

tan2a=

l-tan26r

47.三角函数的周期公式

函数y=sin（0x+°）,x£R及函数y=cos（0x+Q）,x£R（A,3,Q为常数，且AHO,

3>0）的周期T=生；函数丁=tan（&x+8）,工。%乃+乙,攵£Z（A,3,9为常数，且A

co2

rr

W0,3>0)的周期7=—.

CO

48.正弦定理

上=工=-=2R.

sinAsinBsinC

49.余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA;

h2=c2+/-2cacosB;

c2=a2+/-2abeosC.

50.面积定理

(1)5--ah=—bh=—ch(A>h>也.分别表示a、b^c边上的高).

22h2h

(2)S=—ahsinC=—hesinA=-easinB.

222

22

(3)SSOAB=Iyl(\OA\\OB\)-(OAOB).

51.三角形内角和定理

在AABC中，有A+6+C=〃=C=万一(A+8)

C7tA+8~1n、

—=-------------2c=2万一2(A+B).

222

52.简单的三角方程的通解

sinx=a=x=女兀+(—1)“arcsinaeZ,lal<1).

cosx=aQx=2上〃±arccosa(AeZ,lal<l).

tanx=a=x=k%+arctana(keZ,aeR).

特别地,有

sina=sin0=a=氏+(-1)«伙keZ).

cosa=cos£=a=2k兀±0(kwZ).

tana=tan/3=>a=k7V+j3(keZ).

53.实数与向量的积的运算律

设入、口为实数，那么

(1)结合律：A(\ia)=(Xp)a；

(2)第一分配律:(X+p)a=Xa+iia;

(3)第二分配律：X(a+b)=Xa+Xb.

54.向量的数量积的运算律：

(1)a,b=b,a(交换律)；

(2)(Aa),b=A(a•b)=2a,b=a,(Ab);

(3)(a+b)♦c=a,c+b•c.

55.平面向量基本定理

如果&、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一■平面内的任一向量，有且

只有一对实数入I、入2,使得a=A©l+%202.

不共线的向量白、6叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

56.向量平行的坐标表示

设2=(占，H)4=(》2，%)，且b/0,则ab(b/O)<=>x,y2-x2yt=0.

57.a与b的数量积(或内积)

a,b=abIcos0.

58.a-b的几何意义

数量积a,b等于a的长度lai与b在a的方向上的投影Iblcos0的乘枳.

59.平面向量的坐标运算

⑴设a=(X|,yJ,b=(x2,y2),则a+b=(占+々，州+力)•

(2)设a=(x,,j1),b=(x2,y2),则a-b=(x,-x2,yl-y2).

(3)设A(玉，yj,BC^,%)，则AB=OB-OA=(x2-xi,y2-y1).

(4)设a=(x,y)"eR,则4a=(2r"y).

a

⑸设a=(X1,yJ,b=(X2，%)，则,b=(x1x2+>'(y2).

60.两向量的夹角公式

cose=/,丝+,??,(牛(再，弘)，b=(々，％))・

J芍+>：，«+货

61.平面两点间的距离公式

dAH=\AB\=y^ABAB

=小2-玉)2+(》2-弘)2(A(XQ]),B(x2,y2)).

62.向量的平行与垂直

设a=(X]，M),b=(九2，%)，且bWO,贝U

Ab=b=入a<^>x}y2-x2y{=0.

a_l_b(aHO)=a,b=0=xtx2+y,y2=0.

63.三角形的重心坐标公式

△ABC三个顶点的坐标分别为A(Xi，y)、B(x2,y2),C(X3,丫3),则aABC的重心的坐

标是G(一+々+七，％+%+%).

64.点的平移公式

x=x+hx=x-h——；———：

<Q<QOP=OP+PP.

y=y+k[y=y—k

注：图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形厂上的对应点为尸(x,y),且港的

坐标为(九左).

65.“按向量平移”的几个结论

⑴点P(x,y)按向量a=(〃,A)平移后得到点P(x+h,y+k).

(2)函数y=/(x)的图象C按向量a=(〃,Z)平移后得到图象C,则C'的函数解析式

为y=f(x-h)+k.

(3)图象C'按向量a=(力，口平移后得到图象。，若。的解析式y=/(x),则C'的函数

解析式为y=/(x+力)一%.

(4)曲线C:〃x,y)=0按向量a=(%,A)平移后得到图象C’,则。’的方程为

f(x-h,y-k)=0.

(5)向量m=(x,y)按向量a=(/z,A)平移后得到的向量仍然为m=(x,y).

66.三角形五“心”向量形式的充要条件

设。为A45c所在平面上一点，角A,B,C所对边长分别为”,b,c,则

—2'—2

(1)。为的外心=OA^OB^OC.

(2)。为AA8C的重心=方+而+反=0.

(3)。为A48c的垂心Q次•丽=丽衣=玩用.

(4)。为AA6C的内心oa万+b赤+c瓦=0.

(5)。为A4BC的NA的旁心方=6砺+c近.

67.常用不等式：

(1)a]€/?=>1+从之2〃(当且仅当a=b时取"=”号).

(2)a,b&R+^—>4^b(当且仅当a=b时取“=”号).

2

(3)a3+b3+<?>3abe(a>0,b>0,c>0).

(4)柯西不等式

(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)\a,b,c,dwR.

(5)|a|-1/?|<+Z>|<|a|+|/?|.

68.极值定理

已知x,)，都是正数，则有

(1)若积xy是定值p,则当x=y时和x+y有最小值2品；

(2)若和x+y是定值s,则当x=y时积孙有最大值,$2.

推广已知x,yeR,则有(x+y):=(x-y)2+2盯

(1)若积孙是定值，则当lx-yI最大时，大+yI最大;

当I工一yI最小时，Ix+yI最小.

(2)若和Ix+yl是定值，则当lx-yl最大时，I孙I最小；

当I工一yI最小时，IxyI最大.

69.一元二次不等式ax2++c>0(或<0)(aW0,A=/-4ac>0),如果。与

云+。同号，则其解集在两根之外；如果。与。/+法+。异号，则其解集在两根之

间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

X[<X<尤2Q(X—X1)(尤-x2)<0(玉<x2);

了<士，或%>/2=(工一斗)(％_%2)>°(&<12),

70.含有绝对值的不等式

当a>0时，有

\x\<ax2<a~-a<x<a.

凶〉。=工2>420%>。或工<-a.

71.无理不等式

[/U)>0

⑴J/(x)>Jg(x)o<g(x)20

f(x)>g(x)

[/U)>0

/W>0

⑵"(X)>g(x)=«g(x)20或

g(x)<0

J(x)〉[g(x)f

/W>0

(3)J/(x)<g(x)Q<g(x)>0.

J(x)<[g(x)]2

72.指数不等式与对数不等式

(1)当a>l时，

afM>as(x)=/(x)>g(x)；

7(x)>0

log“/(x)>log”g(x)=<g(x)>0.

/(x)>g(x)

(2)当0<a<l时，

a"x)>=/(X)<g(x)；

7(x)>0

log“/(x)>log.g(x)=<g(x)>0

/(x)<g(x)

73.斜率公式

^=—~~—(耳即弘)、P,(x2,y,)).

尤2f

74.直线的五种方程

(1)点斜式y-y=Mx-X1)(直线/过点<(X]，x),且斜率为A).

(2)斜截式y=Ax+8(b为直线/在y轴上的截距).

(3)两点式■—―=—~五*(弘A%)(6(七，凹)、舄(工2，%)(%。%2)).

%一%々一再

(4)截距式三+上=1(”、b分别为直线的横、纵截距，a、bHO)

ab

(5)一般式Ax+5)，+C=0(其中A、B不同时为0).

75.两条直线的平行和垂直

(1)若4:y=k{x+b],l2:y=k2x-\-b2

①“I/20kl=k2,bt^b2-

②(JU?=A#2=-L

(2)若/]：4x+B/+G=0，/2：42%+82)?+。2=0,且A|、A2,B?都不为零,

①“I/,o&="声三；

1

A2B2C2

②4以。44+5也=o；

76.夹角公式

⑴tana=1"^—-I.

1+e占

(/|：3=占％+4,l1'.y=k2x+b2,k}k2w-l)

(2)tana=1—----I.

44+8]52

(4：4x+6|)，+C|=0,/2：Ax+52y+C2=Q),A^+B,B2HO).

直线/1_L/2时、直线6与6的夹角是弓.

2

77.4到4的角公式

葭—k,

⑴tana=----L.

1+k2kl

(4:丫=卜声+瓦,l2：y=k2x+b2.kxk2W-l)

AB)—A>B,

(2)tana----—.

4A,+8]

(A:Ax+^y+G=012：421+吗丁+。2=O,4]4+3]B2AO).

直线时，直线。到/2的角是弓.

•2

78.四种常用直线系方程

(1)定点直线系方程：经过定点％(公，孔)的直线系方程为y—%=k(x—/)(除直线

x=x0)，其中人是待定的系数；经过定点4(Xo，%)的直线系方程为

A(x-/)+8()，一%)=0，其中A8是待定的系数.

(2)共点直线系方程:经过两直线4:Ax+Bj，+&=0,4：&x+B2y+。2=°的交点

的直线系方程为(4'+片〉+6)+；1(4犬+6”+。2)=0(除4)，其中人是待定的系数.

(3)平行直线系方程：直线y=H+b中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线

系方程.与直线4%+8丁+。=0平行的直线系方程是4》+8)，+；1=0(；1，0),人是

参变量.

(4)垂直直线系方程：与直线Ax+By+C=O(ANO,BWO)垂直的直线系方程是

砍一4丁+4=0,人是参变量.

79.点到直线的距离

d=四；也丁0，(点P(x°,%)，直线/：Ax+力+C=0).

>JA2+B2

80.Ax+3y+C>0或<0所表示的平面区域

设直线/:Ai+6)，+C=0,则Ax+By+C>0或<0所表示的平面区域是：

若8/0,当8与Ax+By+C同号时，表示直线/的上方的区域；当8与Ax+8y+C

异号时，表示直线/的下方的区域.简言之，同号在上，异号在下.

若8=0,当A与Ar+By+C同号时，表示直线/的右方的区域；当A与Ax+8)，+C

异号时.，表示直线/的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左.

81.(4小+4》+6)(48+32》+。2)〉0或<0所表示的平面区域

设曲线。：(4%+用)，+。1)(42%+约)，+。2)=0(444鸟。0)，贝1J

(A1X+4)，+C,)(A2X++。2)〉0或<0所表示的平面区域是：

(4x+与y+C,XAx+B2y+C2)>Q所表示的平面区域上下两部分；

(Ax+B,y+C,)(A2X+B2>-+C2)<0所表示的平面区域上下两部分.

82.圆的四种方程

(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-fe)2=r2.

(2)圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=Q(D2+E2-4F>0).

(3)圆的参数方程\..

y=/7+rsin6

(4)圆的直径式方程(光―玉)(X—z)+(y—%)(y—%)=0(圆的直径的端点是

A(X|,y)、BQ2,当))•

83.圆系方程

(1)过点的圆系方程是

(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+/l[(x-x1)(yl-x2)]=0

>

<=>(x-xl)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)+2(ax+/?>+c)=0,其中ax+by+c=O是直线

AB的方程，入是待定的系数.

⑵过直线/:Ax+8)，+C=0与圆C：/+>2+。、+或+/=0的交点的圆系方程

是厂+),-+Dx+Ey+F+A(Ax+By+C)=0,入是待定的系数.

(3)过圆G:『+y?+£)M+&y+"=0与圆C2：x?+寸+D^x+E^y+F,=0的交

点的圆系方程是d+y+Ax+gy+K+^d+V+Ax+my+BhO,入是待定的

系数.

84.点与圆的位置关系

22

点P(x0,%)与圆(X-«)+(y—32=r的位置关系有三种

若d=J(a-x())2+()一%)2,则

d>r<=>点P在圆外；d=ro点P在圆上；d<r=点尸在圆内.

85.直线与圆的位置关系

直线Ax+为+C=0与圆(x-a)?+(y-〃)2=产的位置关系有三种：

d>r。相离=△<();

d=r。相切=△=();

1<厂=相交=△>().

|74<2+Bb+C|

其中4=

互+声

86.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为0”。2,半径分别为n,r2,\0102\=d

d>八+4q外离<=>4条公切线；

d=八十-2=外切Q3条公切线；

,一々|<dv八+GQ相交Q2条公切线；

“=卜1-々|Q内切=1条公切线；

0cde、一々|=内含=无公切线.

87.圆的切线方程

⑴已知圆x24-y24-£）x+Ey+F=0.

①若已知切点（小，为）在圆上，则切线只有一条，其方程是

£>(%+x)।E(%+y)।F=o.

■v+%y+

22

D（X°+X）++尸=表示过两个切点

当（Xo,%）圆外时，x（）x+%y+0

22

的切点弦方程.

②过圆外一点的切线方程可设为X。），再利用相切条件求k,这时必

有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线.

③斜率为k的切线方程可设为y=+再利用相切条件求b,必有两条切线.

（2）已知圆x2+y2=r2.

①过圆上的q）（Xo,%）点的切线方程为修彳+乂）/=/;

②斜率为k的圆的切线方程为y=kx土Rl+k）.

7

_2x=acos0

88.椭圆fx+y=1（。>6>0）的参数方程是<

CTFy=bsin0

2y2

89.椭圆一xf+=1（。>匕>0）焦半径公式

aF

22

\PF^=e{x+-),\PF2\=e(--x).

cc

90.椭圆的的内外部

2222

(1)点P(x0,y0)在椭圆f+。~=1(〃>人>0)的内部Q-v+<1-

a"ha"b"

2222

（2）点尸（玉）,y0）在椭圆—+=1（。>Z?>0）的外部<=>—^+电">1.

abab~

91.椭圆的切线方程

（1）椭圆.+与=13>b>0）上一点尸（玉P%）处的切线方程是誓+斗=1.

ahab〜

22

（2）过椭圆,+3=l（a>b>0）外一点P（x0,九）所引两条切线的切点弦方程是

写+浮=1.

a2h2

X2v2

(3)椭圆f+2T=1(Q>6>0)与直线Ax+By+C=O相切的条件是

Q-b~

A2a2+B2h2=c2.

22

92.双曲线二-J=1(。>0,b>0)的焦半径公式

ab

22

\PFt\=\e(x+—)\,\PF2\^e(---x)l.

93.双曲线的内外部

2222

(1)点尸(Xo，y°)在双曲线三一斗=l(a>0/>0)的内部=存一4>1.

aab

2222

(2)点P(x0,y0)在双曲线二一2=1(。>0,b>0)的外部=与一4<1.

ah~a~h~

94.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

(1)若双曲线方程为「一斗=In渐近线方程：「一「=0=y=±2x.

a2b2a2b2-a

22

(2)若渐近线方程为y=±2xQ±±2=0n双曲线可设为二一勺='.

aahab

2222

(3)若双曲线与J-4=l有公共渐近线，可设为0-与,=九(X>0,焦点在x

a2b-a2b2

轴上，X<0,焦点在y轴上).

95.双曲线的切线方程

(1)双曲线二—2=1(。>0力>0)上一点P(x0,%)处的切线方程是写一邪=1.

ab-ab-

x2y2

(2)过双曲线二一2T=13>“b>0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

ab

a2b2

x2y2

(3)双曲线—-2v=i(«>0,^>0)与直线Ax+By+C^0相切的条件是

a'b"

A2a2-B2b2=c2.

96.抛物线V=2px的焦半径公式

抛物线V=20工5>0)焦半径|。可=工0+].

过焦点弦长=X]+与++]="I+%2+P.

2

97.抛物线产=2px上的动点可设为P(江,以)或尸(2p〃,2pf)或P(x0,y。)，其中

2P

4=2px。.

98.二次函数)，=o?+bx+c=a(x+=)2+'~匕(a。0)的图象是抛物线：(1)顶

2a4。

点坐标为(―")；(2)焦点的坐标为(一2,4"°一'+1)；(3)准线方程是

2。4。2a4。

4ac-b2-1