2025届江苏南京师范大附属中学九年级数学第一学期期末统考模拟试题含解析

2025届江苏南京师范大附属中学九年级数学第一学期期末统考模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题(每小题3分,共30分)1．若，设，，，则、、的大小顺序为（）A． B． C． D．2．已知三角形的面积一定，则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．3．已知和的半径长分别是方程的两根，且，则和的位置关系为（）A．相交 B．内切 C．内含 D．外切4．如图，E为矩形ABCD的CD边延长线上一点，BE交AD于G，AF⊥BE于F，图中相似三角形的对数是（）A．5 B．7 C．8 D．105．一元二次方程的根的情况是()A．有两个相等的实根 B．有两个不等的实根 C．只有一个实根 D．无实数根6．要使式子有意义，则x的值可以是（）A．2 B．0 C．1 D．97．一个群里共有个好友，每个好友都分别给群里的其他好友发一条信息，共发信息1980条，则可列方程（）A． B． C． D．8．如图，在中，，，，则的面积是()A． B． C． D．9．如图，在中，点为边中点，动点从点出发，沿着的路径以每秒1个单位长度的速度运动到点，在此过程中线段的长度随着运动时间的函数关系如图2所示，则的长为()A． B． C． D．10．如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（）A．40° B．60° C．70° D．80°二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，P1是反比例函数(k＞0)在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为(2，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，则A2点的坐标为_____．12．一个扇形的圆心角为120°，半径为3，则这个扇形的面积为（结果保留π）13．某市某楼盘的价格是每平方米6500元，由于市场萎靡，开发商为了加快资金周转，决定进行降价促销，经过连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元.设平均每次下调的百分率为，则可列方程为____________________.14．庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，求这次有多少队参加比赛？若设这次有x队参加比赛，则根据题意可列方程为_____．15．工厂质检人员为了检测其产品的质量，从同一批次共1000件产品中随机抽取50件进行检检测出次品1件，由此估计这一批产品中的次品件数是_____．16．如图，Rt△OAB的顶点A（﹣2，4）在抛物线y=ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为_____．17．已知在中，，，，那么_____________.18．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________．三、解答题(共66分)19．（10分）有5张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同．将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．（1）从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为_____．（2）若从中随机抽取1张卡片后不放回，再随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率．20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，点从点运动到点停止，连接，以长为直径作.（1）若，求的半径；（2）当与相切时，求的面积；（3）连接，在整个运动过程中，的面积是否为定值，如果是，请直接写出面积的定值，如果不是，请说明理由.21．（6分）先化简，再从0、2、4、﹣1中选一个你喜欢的数作为x的值代入求值．22．（8分）已知：△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是__________；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；四边形AA2C2C的面积是__________平方单位．23．（8分）如图所示，在中，，，，点由点出发沿方向向点匀速运动，同时点由点出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为．连接，设运动时间为．（1）当为何值时，？（2）设的面积为，求与的函数关系式，并求出当为何值时，取得最大值？的最大值是多少？24．（8分）如图，路灯（P点）距地面9米，身高1.5米的小云从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？25．（10分）感知：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD．（1）求证：△ACB≌△BED；（2）△BCD的面积为（用含m的式子表示）．拓展：如图②，在一般的Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含m的式子表示△BCD的面积，并说明理由．应用：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则△BCD的面积为；若BC＝m，则△BCD的面积为（用含m的式子表示）．26．（10分）为了“城市更美好、人民更幸福”，我市开展“三城联创”活动，环卫部门要求垃圾按三类分别装袋、投放，其中类指废电池，过期药品等有毒垃圾，类指剩余食品等厨余垃圾，类指塑料、废纸等可回收垃圾，甲、乙两人各投放一袋垃圾．（1）甲投放的垃圾恰好是类的概率是；（2）用树状图或表格求甲、乙两人投放的垃圾是不同类别的概率．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】根据，设x=1a，y=7a，z=5a，进而代入A，B，C分别求出即可．【详解】解：∵，设x=1a，y=7a，z=5a，

∴=，

==1，

==1．

∴A＜B＜C．

故选：B．【点睛】本题考查了比例的性质，根据比例式用同一个未知数得出x，y，z的值进而求出是解题的关键．2、D【解析】先写出三角形底边a上的高h与底边a之间的函数关系，再根据反比例函数的图象特点得出．【详解】解：已知三角形的面积s一定，

则它底边a上的高h与底边a之间的函数关系为S=ah，即；

该函数是反比例函数，且2s＞0，h＞0；

故其图象只在第一象限．

故选：D．【点睛】本题考查反比例函数的图象特点：反比例函数的图象是双曲线，与坐标轴无交点，当k＞0时，它的两个分支分别位于第一、三象限；当k＜0时，它的两个分支分别位于第二、四象限．3、A【解析】解答此题，先要求一元二次方程的两根，然后根据圆与圆的位置关系判断条件，确定位置关系．圆心距<两个半径和，说明两圆相交.【详解】解：解方程x2-6x+8=0得：

x1=2，x2=4，

∵O1O2=5，x2-x1=2，x2+x1=6，

∴x2-x1＜O1O2＜x2+x1．

∴⊙O1与⊙O2相交．

故选A．【点睛】此题综合考查一元二次方程的解法及两圆的位置关系的判断，关键解出两圆半径．4、D【解析】试题解析：∵矩形ABCD∴AD∥BC，AB∥CD，∠DAB=∠ADE=∴△EDG∽△ECB∽△BAG∵AF⊥BE∴∠AFG=∠BFA=∠DAB=∠ADE=∵∠AGF=∠BGA，∠ABF=∠GBA∴△GAF∽△GBA∽△ABF∴△EDG∽△ECB∽△BAG∽△AFG∽△BFA∴共有10对故选D．5、D【分析】先求出的值，再进行判断即可得出答案．【详解】解：一元二次方程x2+2020=0中，

=0-4×1×2020＜0，

故原方程无实数根．

故选：D．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）＜0⇔方程没有实数根．6、D【解析】式子为二次根式，根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，可得x-50，解不等式就可得到答案.【详解】∵式子有意义，∴x-50，∴x5，观察个选项，可以发现x的值可以是9.故选D.【点睛】本题考查二次根式有意义的条件.7、B【分析】每个好友都有一次发给QQ群其他好友消息的机会，即每两个好友之间要互发一次消息；设有x个好友，每人发(x-1)条消息，则发消息共有x（x-1）条,再根据共发信息1980条，列出方程x（x-1）=1980.【详解】解：设有x个好友，依题意，得：x（x-1）=1980.故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意设出合适的未知数，再根据等量关系式列出方程是解题的关键.8、C【分析】在Rt△ABC中，求出BC，AC即可解决问题．【详解】解：在Rt△ACB中，∵∠C=90°，AB=8cm，

∴sinA==，

∴BC=6（cm），

∴AC=（cm），

∴S△ABC=•BC•AC=×6×2=6（cm2）．

故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9、C【分析】根据图象和图形的对应关系即可求出CD的长，从而求出AD和AC，然后根据图象和图形的对应关系和垂线段最短即可求出CP⊥AB时AP的长，然后证出△APC∽△ACB，列出比例式即可求出AB，最后用勾股定理即可求出BC．【详解】解：∵动点从点出发，线段的长度为，运动时间为的，根据图象可知，当=0时，y=2∴CD=2∵点为边中点，∴AD=CD=2，CA=2CD=4由图象可知，当运动时间x=时，y最小，即CP最小根据垂线段最短∴此时CP⊥AB，如下图所示，此时点P运动的路程DA＋AP=所以此时AP=∵∠A=∠A，∠APC=∠ACB=90°∴△APC∽△ACB∴即解得：AB=在Rt△ABC中，BC=故选C．【点睛】此题考查的是根据函数图象解决问题，掌握图象和图形的对应关系、相似三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键．10、D【分析】首先根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，然后根据圆周角定理可得∠O＝2∠A，进而可得答案．【详解】解：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∴∠A＝180°−70°×2＝40°，

∵点O是△ABC的外心，

∴∠BOC＝40°×2＝80°，

故选：D．【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆和外心，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半．二、填空题(每小题3分,共24分)11、(2，0)【分析】由于△P1OA1为等边三角形，作P1C⊥OA1，垂足为C，由等边三角形的性质及勾股定理可求出点P1的坐标，根据点P1是反比例函数y＝(k＞0)图象上的一点，利用待定系数法求出此反比例函数的解析式；作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D＝a，由于△P2A1A2为等边三角形，由等边三角形的性质及勾股定理，可用含a的代数式分别表示点P2的横、纵坐标，再代入反比例函数的解析式中，求出a的值，进而得出A2点的坐标．【详解】作P1C⊥OA1，垂足为C，∵△P1OA1为边长是2的等边三角形，∴OC＝1，P1C＝2×＝，∴P1(1，)．代入y＝，得k＝，所以反比例函数的解析式为y＝．作P2D⊥A1A2，垂足为D．设A1D＝a，则OD＝2+a，P2D＝a，∴P2(2+a，a)．∵P2(2+a，a)在反比例函数的图象上，∴代入y＝，得(2+a)•a＝，化简得a2+2a﹣1＝0解得：a＝﹣1±．∵a＞0，∴a＝﹣1+．∴A1A2＝﹣2+2，∴OA2＝OA1+A1A2＝2，所以点A2的坐标为(2，0)．故答案为：(2，0)．【点睛】此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．12、3π【解析】试题分析：此题考查扇形面积的计算，熟记扇形面积公式，即可求解.根据扇形面积公式，计算这个扇形的面积为.考点：扇形面积的计算13、【分析】根据连续两次下调后，该楼盘的价格为每平方米5265元，可得出一元二次方程.【详解】根据题意可得，楼盘原价为每平方米6500元，每次下调的百分率为，经过两次下调即为，最终价格为每平方米5265元.故得：【点睛】本题主要考察了一元二次方程的应用，熟练掌握解平均变化率的相关方程题时解题的关键.14、＝45【分析】设这次有x队参加比赛，由于赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数＝45场，依此等量关系列出方程．【详解】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得：＝45，故答案是：．【点睛】考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题的关键在于理解清楚题意，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．需注意赛制是“单循环形式”，需使两两之间比赛的总场数除以1．15、1【分析】求出次品所占的百分比，即可求出1000件中次品的件数．【详解】解：1000×＝1（件），故答案为：1．【点睛】考查样本估计总体，求出样本中次品所占的百分比是解题的关键．16、（，2）．【解析】由题意得：，即点P的坐标.17、1【分析】根据三角函数的定义即可求解．【详解】∵cotB=，

∴AC==3BC=1．

故答案是：1．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义及运用，解题关键在于掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，余切为邻边比对边．18、【详解】根据题意得：△=（﹣2）2－4×m=4－4m＞0，解得m<.故答案为m<.【点睛】本题考查一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式：（1）当△=b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当△=b2﹣4ac=0时，方程有有两个相等的实数根；（3）当△=b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根.三、解答题(共66分)19、（1）；（2）两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为．【分析】（1）先判断其中的中心对称图形，再根据概率公式求解即得答案；（2）先画出树状图得到所有可能的情况，再判断两次都是轴对称图形的情况，然后根据概率公式计算即可.【详解】解：（1）中心对称图形的卡片是A和D，所以从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为，故答案为；（2）轴对称图形的卡片是B、C、E.画树状图如下：由树状图知，共有20种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，分别是（B，C）、（B，E）、（C，B）、（C，E）、（E，B）、（E，C），∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率=．【点睛】本题考查了用画树状图或列表法求两次事件的概率、中心对称图形和轴对称图形的定义等知识，熟知中心对称图形和轴对称图形的定义以及用画树状图或列表法求概率的方法是解题的关键.20、（1）；（2）；（3）是，【分析】（1）若，则,代入数值即可求得CD,从而求得的半径.（2）当与相切时，则CD⊥AB，利用△ACD∽△ABO，得出比例式求得CD，AD的长，过P点作PE⊥AO于E点，再利用△CPE∽△CAD，得出比例式求得P点的坐标，即可求得△POB的面积.（3）①若与AB有一个交点，则与AB相切，由（2）可得PD⊥AB，PD=,则②若与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，过P点作PG⊥AB于G点，则DG=，PG为△DCF的中位线，PG=,则,综上所述，△PAB的面积是定值，为.【详解】（1）根据题意得：OA=8，OB=6，OC=3∴AC=5∵∴即∴CD=∴的半径为（2）在直角三角形AOB中，OA=8，OB=6，∴AB=，当与相切时，CD⊥AB，∴∠ADC=∠AOB=90°，∠CAD=∠BAO∴△ACD∽△ABO∴，即∴CD=3，AD=4∵CD为圆P的直径∴CP=过P点作PE⊥AO于E点，则∠PEC=∠ADC=90°，∠PCE=∠ACD∴△CPE∽△CAD∴即∴CE=∴OE=故P点的纵坐标为∴△POB的面积=（3）①若与AB有一个交点，则与AB相切，由（2）可得PD⊥AB，PD=,则②若与AB有两个交点，设另一个交点为F，连接CF,则∠CFD=90°，由（2）可得CF=3，过P点作PG⊥AB于G点，则DG=，PG为△DCF的中位线，PG=,则.综上所述，△PAB的面积是定值，为.【点睛】本题考查的是圆及相似三角形的综合应用，熟练的掌握直线与圆的位置关系，相似三角形的判定是关键.21、原式=x，当x＝﹣1时，原式＝﹣1【分析】先对分子分母分别进行因式分解，能约分的先约分，再算括号，化除法为乘法，再进行约分；再从0、2、4、﹣1中选使得公分母不为0的数值代入最简分式中即可.【详解】解：原式∵x﹣2≠0，x﹣4≠0，x≠0∴x≠2且x≠4且x≠0∴当x＝﹣1时，原式＝﹣1.【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22、(1)画图见解析，（2，–2）；(2)画图见解析，7.1．【解析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可；根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．【详解】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，四边形AA2C2C的面积是=12故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）7.1．【点睛】本题考查了作图﹣位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解答本题的关键．23、（1）（2）S＝−（t−）2＋，t＝，S有最大值，最大值为．【分析】（1）利用分线段成比例定理构建方程即可解决问题．（2）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．【详解】（1）∵PQ⊥AC，∴∠AQP＝∠C＝90°，∴PQ∥BC，∴，在Rt△ACB中，AB＝∴，解得t＝，∴t为时，PQ⊥AC．（2）如图，作PH⊥AC于H．∵PH∥BC，∴，∴，∴PH＝（5−t），∴S＝•AQ•PH＝×t×（5−t）＝−t2＋t＝−（t−）2＋，∵−＜0，∴t＝，S有最大值，最大值为．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24、变短了2.8米.【解析】试题分析：试题解析：根据AC∥BD∥OP，得出△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，再利用相似三角形的性质进行求解，即可得出答案．试题解析：如图：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP，∴，即，解得，MA=4米；同理,由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.2米，则马晓明的身影变短了4−1.2=2.8米．∴变短了，短了2.8米．25、感知：（1）详见解析；（1）m1；拓展：m1，理由详见解析；应用：16，m1．【解析】感知：（1）由题意可得CA＝CB，∠A＝∠ABC＝25°，由旋转的性质可得BA＝BD，∠ABD＝90°，可得∠DBE＝∠ABC，即可证△ACB≌△BED；（1）由△ACB≌△BED，可得BC＝DE＝m，根据三角形面积求法可求△BCD的面积；拓展：作DG⊥CB交CB的延长线于G，可证△ACB≌△BGD，可得BC＝DG＝m，根据三角形面积求法可求△BCD的面积；应用：过点A作A