直线与直线垂直 高一下学期数学人教A版（2019）必修2

8.6空间直线、平面的垂直

8.6.1直线与直线垂直

导学习目标1、理解异面直线所成角的概念，会用平移的方法求异面直线所成角；2、能对直线与直线互相垂直进行判定；3、通过对空间两直线垂直的学习，培养直观想象、逻辑推理素养.导复习旧知1、空间中直线与直线的位置关系有哪些？共面直线异面直线：平行直线：相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；在同一平面内，没有公共点；不同在任何一个平面内，没有公共点.在初中我们已经研究了平行直线和相交直线.本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系.直观感知导ABDC不同用倾斜程度（角度）来表示我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于90°的角称为这两条直线所成的角（或夹角）．观察：如图示,在正方体ABCD-A'B'C'D'中，直线A'C'与直线AB，直线A'D'与直线AB都是异面直线，直线A'C'与A'D'相对于直线AB的位置相同吗?如果不同，如何表示这种差异呢?思概念生成

平移异面直线相交直线思概念生成2.异面直线所成角的范围（1）如果两条异面直线所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b.（2）规定：当两条直线平行或重合时，我们规定它们所成的角为0°.(0°,90°]两条异面直线所成的角θ的取值范围：空间两条直线所成的角θ的取值范围：[0°,90°]思概念生成

不会，（等角定理）O2O1b’a’b’a’O3a’为简便，O点常取在两异面直线中的一条上思⁠

⁠概念辨析课本P148不一定1、判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.(1)如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线

垂直.()(2)垂直于同一条直线的两条直线平行.（

）

×√思⁠

⁠典例解析

解：上底面有：A′B′，A′D′，B′C′，C′D′，下底面有：AB，AD，BC，CD，

解

：在正方体ABCD-A′B′C′D′中,∵CC′∥BB′,

∴∠B′BA为直线BA′与CC′所成的角.

而∠B′BA=45°.

∴直线BA′与CC′所成角的大小为45°.解：连接A′C′,BC′.∴∠BA′C′为直线BA′与AC所成的角.

在正方体ABCD-A′B′C′D′中，△A′BC′是等边三角形，

∴∠BA′C′=60°，思⁠

⁠典例解析

解：连接AC,BD交于点E,取BB1中点F，连接EF.∴EF//DB1,MN//AC∴∠EFA为直线DB1与MN所成的角或其补角.

∵FA=FC,E为AC的中点∴∠EFA

=90°，思⁠

⁠方法归纳

求两条异面直线所成的角的一般步骤：

1．作：恰当地选择一个点（经常在其中一条线上取一点），作出（常用平移法)异面直线所成的角(或其补角)；

2．证：证明(1)中所作出的角(或其补角)就是所求异面直线所成的角；（注：证明线线平行）

3．求：通过解三角形或其他方法，求出(1)中所构造的角的大小；（注：假如所构造的角的大小为α，若0°<α≤90°,则α即为所求异面直线所成角的大小；若90°<α<180°,则180°－α即为所求）．思典例解析

证明：如图示，连接B1D1.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体，∴

BB1//DD1.∴四边形BB1D1D是平行四边形.∴B1D1//BD.∴直线AO1与B1D1所成的角即为AO1与BD所成的角.

连接AB1，AD1，易证AB1=AD1.又O1为底面A1B1C1D1的中心，∴O1是B1D1的中点，∴

AO1⊥B1D1，∴AO1⊥BD.思⁠

⁠方法归纳

思⁠

⁠练习巩固课本P148BDCA'B'C'D'A1.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB＝AD＝

，AA'＝2，求:

(1)直线BC和A'C'所成的角的大小；

(2)直线AA'和BC'所成的角的大小.解：(1)在长方体ABCD-A′B′C′D′中,∵BC∥B′C′,

∴∠B′C′A′为直线BC与A′C′所成的角.

在Rt△A′B′C′中，

A′B′=B′C′，∴∠B′C′A′=45°.∴直线BC与A′C′所成的角的大小为45°.

(2)∵AA′∥BB′,∴∠B′BC′为直线AA′与BC′所成的角.

在Rt△B′BC′中，

BB′=2，B′C′=，∴tan∠B′BC′=，∴∠B′BC′=60°，∴直线AA′与BC′所成的角的大小为60°.检课本P148练习巩固

2.如图，在正三棱柱ABC-A′B′C′中，D为棱AC的中点，AB=BB′