有限样本空间与随机事件高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第十章概率10.1随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件引入

通过我们上一章的学习可知，许多实际问题都可以用数据分析的方法解决，即通过随机抽样收集数据,再选择适当的统计图表描述和表达数据，并从样本中提取所需要的信息，估计总体的规律，从而解决相应的问题.

同时我们也发现这样一个问题，当样本容量较小时，每次得到的结果往往不同，但如果有足够多的数据，就可以从中发现一些规律.

问题1：某同学将每天从家到校的时间作了一个记录

(精确到分).

思考(1)：该同学从家到学校所需时间能事先预知吗？如记录一周数据如下，这些时间有什么特点?第一周2526302427

该同学每天从家到学校所需时间是不能预知的，且每天所花的时间不一定相同.

思考(2)：如果该同学将一学期记录的数据绘制直方图如右，你能发现有什么规律吗?

该同学每天从家到学校所需时间具有相对稳定的分布规律，如大多数天数在25~29分钟内.

问题2：从装有5个白球和10个红球的袋子中随机摸出一个，事先能确定它的颜色吗？但如果有放回地重复摸很多很多次，每次记录摸到的球的颜色，你认为会有规律吗？

任何一次随机取一个球，事先都不能确定它的颜色.但如果有放回地重复取很多很多次，就会发现取到球的颜色会呈现一定的规律，例如白色大约占1/3，红色大约占2/3.问题3：类似于问题1和问题2中的现象有什么共同特点？

就一次观测而言，出现结果具有偶然性，但在大量重复观测下，各个出现结果的频率具有稳定性.这类现象叫做随机现象.随机现象是概率论研究的对象.也是我们本章要探讨的内容.随机现象

知识探究(一)

问题4：考察下列试验，各有多少个可能结果，事先能否预知出现哪个结果？能否确定所有可能的结果？(1)将一枚硬币抛掷2次，观察正面、反面出现的情况；(2)从你所在的班级随机选择10名学生，观察近视的人数；(3)在一批灯管中任意抽取一只，测试它的寿命；(4)从一批发芽的水稻种子中随即选取一些，观察分蘖数；(5)记录某地区七月份的降水量.2种可能的结果，试验前不能预知会出现哪一个结果

，可以确定所有可能的结果.11种可能的结果，试验前不能预知会出现哪一种结果

，可以确定所有可能的结果.无限种可能的结果，试验前不能预知会出现哪一个结果

，不能确定所有可能的结果.很多种可能的结果，试验前不能预知会出现哪一个结果

，不能确定所有可能的结果.无限种可能的结果，试验前不能预知会出现哪一个结果

，不能确定所有可能的结果.

1概念：

我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E表示.随机试验

2.特点：

我们主要研究的是具有以下特点的随机试验：

(1)试验可以在相同条件下重复进行；

(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但是现在不能确定出现哪一个结果。

思考：我们把类似于以上的方法叫随机试验，而且目前我们只重点研究(1)(2)两种情况，那么这两种有什么共同的特点呢？

问题4：体育彩票摇奖时，将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2，…，9的球放入摇奖器中，经过充分搅拌后摇出一个球，观察这个球的号码.

这个随机试验共有多少个可能结果？如何表示这些结果呢？如果要用集合来进一步刻画这些可能结果，又该怎样表示?返回共有10个可能的结果；若设摇出球的号码为m，则m可取0，1，2，…，9;所有可能结果用集合表示为{0，1，2，…，9}.

在这个试验中，我们把这里m叫样本点，集合{0，1，2，…，9}叫样本空间.

样本空间

(1)样本点：

随机试验E

的每个可能的基本结果.一般用

ω

表示.(2)样本空间：

全体样本点的集合.

一般用Ω

表示样本空间.(3)有限样本空间:

如果一个随机试验有

n

个可能结果的ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间

Ω={ω1，ω2，…，ωn}

为有限样本空间.

由刚才我们所学的可知，我们目前所研究的随机试验的样本空间都是有限样本空间.

返回例析

例1.抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.

∵落地时只有正面向上和反面向上两个可能结果，

∴试验的样本空间可以表示Ω={正面向上，反面向上}.

如果用h表示“正面向上”,t表示“反面向上”，则样本空间又可表示为Ω={h，t}解：

例2.抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.解：

设ω表示朝上的“点数为

ω”，则

ω有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，∴试验的样本空间可以表示为Ω={1,2,3,4,5,6}.一般地，我们应尽可能将样本点符号化和数据化

例3.抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间.

抛掷两枚硬币，若第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，则

试验的样本点可用（x，y）表示。

∴试验的样本空间Ω={（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）}.解：

思考(1)：如果我们用用1表示“正面朝上”，0表示“背面朝上”，那么样本空间还可以怎么表示？

思考(2)：你能用初中学过的树状图来列举出所有的样本点吗？Ω={(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)}101010第一枚第二枚一般地，我们在列举样本点时可以借助于树状图和表格练习(4)抛掷三枚硬币，观察他们落地时面朝上的情况。写出下列各随机试验的样本空间.(1)采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；(2)采用抽签的方式，随机选择一名同学，观察其ABO血型；(3)随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；知识探究(二)

问题5：在上面体育彩票摇号试验中,摇出“球的号码为奇数”是随机事件吗?

摇出“球的号码为3的倍数”是随机事件吗?如何用集合的形式来表示它们?

思考：这两个随机事件的集合与这个随机试验的样本空间有什么关系?

如何利用集合语言来解释“一个随机事件发生”的意义？“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.

若用A表示随机事件“球的号码为奇数”，则

A发生，当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一，即事件A发生等价于摇出的号码属于集合{1,3,5,7,9}

∴事件A可用集合{1,3,5,7,9}来表示.同理，若用B表示随机事件“球的号码为3的倍数”，则

事件B可用集合{3,6,9}来表示.

集合{1,3,5,7,9}和{3,6,9}都是样本空间合表示为Ω={0，1，2，…，9}的子集.

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个随机试验的的样本空间的子集来表示。随机事件

一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个随机试验的的样本空间的子集来表示。

(1)随机事件

我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件。

只包含一个样本点的事件称为基本事件。

随机事件一般用大写字母A,B,C,…表示。

在每次实验中，当且仅当A中的某个样本点出现，称为事件A发生。(2)必然事件

Ω作为是自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω都会发生，我们成Ω为必然事件。

(3)不可能事件

空集

∅不包含任何样本点，在每次实验中都不会发生，我们称

∅为不可能事件。返回

例4.如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.

把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示下列事件：M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”例析

思考(1)：这个随机试验的观察点是什么，有多少种可能的结果

？

这个试验的观察点是A,B,C三个元件的正常与否。共有8种不同情况。

思考(2)：如何才能将“这个电路中各元件是否正常”数学化和数字化

？

一是可以用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态;

二是将表示

A,B,C三个元件的是否正常的数字按顺序排列得到的有序数组作为样本点.

例4.如右图，一个电路中有A、B、C三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.

把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常.

(1)写出试验的样本空间；

(2)用集合表示下列事件：

M=“恰好两个元件正常”；N=“电路是通路”；T=“电路是断路”解：

(1)分别用x1,

x2和x3表示元件A,

B和C的可能状态，则这个电路的工作状态可用(x1,x2,

x3)表示.

进一步，假设用1表示元件状态的“正常”，用0表示状态“失效”，则样本空间为Ω=

{(0,0,0)，

(1,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，

(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1),(1,1,1)}.

思考(3)：你能用树状图来表示所有的样本点吗？01元件A0101元件B01010101元件C000001010011100101110可能结果111(2)

∵“恰好两个元件正常”等价于

(x1,x2,

x3)∈Ω，且x1,x2,

x3中恰有两个1，∴M={(1,1,0)，(1,0,1)，(0,1,1)}.∵“电路是通路”等价于

(x1,x2,

x3)∈Ω，且x1=1x2,

x3中至少有1个1,∴N={(1,1,0)，(1,0,1)，(1,1,1)}.∵“电路是断路”等价于

(x1,x2,

x3)∈Ω，且x1=0，或

x2=x3=0,∴T={(0,0,0)，(0,1,0)，(0,0,1)，(0,1,1),

(1,0,0)}.练习

抛掷一黄、一蓝两枚两枚均匀的正四面体骰子，分别观察底面的数子.

(1)用表格表示试验的所有可能结果；

(2)列举下列事件所含的样本点：A=